Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, Р (иа) =- йг+ 0 ( ~ ' ) + 0 ( а ) Далее, в ф 53 было показано, что 1+ =-„„, 1 + 2», 2 350 ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (гл. ч Отсюда следует, что ошибка в определении гч при помощи бе-процесса может быть намного меньше, чем прн нахождении его прямо из последовательности иа, и„ ,, ... Отметим, что при фактическом проведении 3Я-процесса по формуле (13) как в числителе, так и в знаменателе происходит уничтожение значащих цифр.
Этого явления можно избежать следующим приемом. Пусть иь= с+Рю где с — число, составленное из установившихся десятичных знаков в послеловательностн иа. Тогда, как нетрудно проверить, Р (и„) = с+ Р ((А), причем второе слагаемое играет роль малой поправки по отношению к первому, Замечание. При нахожденяи первого собственного числа симметричной матрицы 3'-процесс надо применять не к компонентам итераций. а к соответствующим скалярным произведениям.
Покажем применение эз-процесса на примерах 9 53. В примере 2 9 53 для приведенных отношений применение 8А-процесса дает для )ч следующие значения: — 17.3974 — ! 7.3977 — 17.3977. С точностью до четырех знаков )ч = — !7.3977. Аналогично, в примере 3 9 53 применение эа-процесса к приведенным о~ношениям дает для )ч следующие значения: 0.66748 0.66748 О. 66748 0.66748. Таким образом, А, определяется уже с точностью до пяти знаков. (Точное значение Х, = 0.667483). эе-процесс можно применять также и к определению компонент первого собственного вектора.
При этом мы укажем два различных варианта этого процесса, в зависимости от того, можно ли считать известным )ч с достаточной степенью точности или иет. 1) Пусть мы знаем только последовательность итераций АА'г'в, причем для удобства вычислений пусть каждая итерация нормирована делением на компоненту ва с фиксированным номером. Обозначим любую другую компонекту вектора г'А через уь.
Если УА =- с1)ч + ся) э + ... + с„), А А А а,=б,).э-(-5,ЛА+ ... -~-А„Л"„, тскогений сходимости степенного метода то Указанное деление сводит а к единице, з Уа к оа, пРичем у) сгЛ1 + сгЛг + ... + »„Л оа — —— Ь,Л',+Ь,л,'+ ... +Ь„).„а --' С.'Л,соч (а ь)'С-О ( —,') . Несложное вычисление показывает, что Таким образом, если Ьг-процесс применен ко всем компонентам нор- миРованного век~оРа А»Усь то мы найдем отношениа коэффициентов, стоящих при степенях л, в вырзжениях уа. Коэффициенты же эти пропорциональны компонентам собственного вектора.
Так, для собственного вектора примера 2 предыдущего параграфа применение 81-процесса дает для компонент вектора значения 1.00000 — 8.14718 7.91721, которые значительно ближе к точным, чем значения, вычисле: н !е непосредственно из тех же итераций. 2) Если )ч известно достаточно точно, процесс улучшения можно построить следующим образом. Умножим все компоненты векторов А Уа, А Ге, А Уе, на Л,, 1, )ч соответственно и затем применим а-! сс а-1 ! к ним ссг-процесс.
Так как ,а 1с-!. ° »-1 ул,л,=)чс,+-Лг )чс + ... +).„)!с„, .а а а )са=),ссс-)-лгсг-)- ....+Л,',с„. 1'! ! У»,'л, =)чс,+ =- сг+ ... + —.— г„, г ''' ), то си У», У» — 1 Уа )! Уа,! ! л' — 1 а-! г .а-! а-! 11 .= Г С 'СЧ Лг (Л,— С. ) -1- ... +С,гс!)! )в !)! Лс!)! Х вЂ” — .»! Х [1+0()') ~ Далее, ) а-1 Л Ул- ! — 2У»+ Л, 'Уа,, = с, — 'Л (Л! — ~)г+ ... Л1 Ла'-'1 ... +с„+-!Л, Л„)г. 1 352 члстнчнАЕ пгоелемА совстяенных знАчений [гл. ч Отсюда л — ! А,УА,--ЙУ +Х! 'У '1 Отношения полученных чисел, вычисленных для разных компонент, дают отношения компонент собственного вектора. 4 55. Модификации степенного метода 1.
Степенной метод со сдвигом. Известно, что собс~венные значения А! матрицы А связаны с собственными значениями р; матрицы В = — А — сЕ простыми соотношениями Ал=рл+с, а собственные векторы обоих матриц совпадают. Эго обстоятельство дает возможность определять собственные значения матрицы А, применяя степенной метод к матрице А — сЕ. Такое.видоизменение степенного ллетода мы будем называть с т е п е н н ы м м е т о д о м с о сдвигом. Сдвиг меняет взаимоотношение между модулями собственных значений, причем при наличии комплексных корней, даже при вешествепнол! с, изменение этого взаиллоотношения может быть довольно сложным. Если же все собственные значения вешественны, то за счет сдвига можно сделать наибольшим по модулю как алгебраически наибольшее, так и алгебраически наименьшее.
Именно, (см. рис. 2) прн с (се= ', " наибольшим по модулю будет,л,, л!+Зл при с .. се наибольшим по модулю будет р„. Рнс. 2. Оптимальным значением с для вычисления А! является, кзк нег„+ хл трудно видеть, с = " , так как при таком выборе с сходнмость ! степенных итераций для определения и, будет наибыстрейшей. Соответственно, оптимальным значением для вычисления Х„ будет с, = †' =, †' . Конечно, высказанные соображения имеют лишь -л+ ! ! теоретическое знзчение, нбо, как правило, мы не знаем, даже грубо, ни лч ни >„,. Однако все-таки они дают возможность сделать некоторые рекомендации для целесообразного выбора с.
Так, если матрица А положительно-опредетенная, то имеет смысл сделст сдвиг при некотором положительном с и, попробовав вычислить итерации, по попедению их судить о целесообразности сделанного сдвига. 353 9 55) модиеикация ствпвннг)го метода же удается воспользоваться грубыми оценками для ход степенного процесса без сдвига с ходом степенного сдвигом, близким к оптимальному для матрицы (4) 9 51. Л, + Ла 0.7967 + 0.2423 2, 2 )йы проведем процесс со сдвигом, полагая с==0.5.
Итерируя матрицей А вектор (О.З, 0.5, 0.7, 0.9)', получим !е 1 ае О.З 0.31005932 . 10» 0.72018993 . 1Оа 0.5 0.24605904 ° !О' Ол57153328 ° 10' 0.7 0.23! 86358 ° 10' 0.53856100 ! 0' 0 9 0 27512042, 10а 0 63903554 . 1Оа 1.06310236 ° 10' 2.4693!975 ° 10' 0.57356095 ,10'.
Для отношений компонент получим соответственно В последнем столбце стабилизируется уже седьмой знак. Ту же точность в отношениях компонент мы получим из 9-й и 8-й итераций матрицей А, = А — 0.5Е. Действительно, !з 19 0.3 0.82648864 1Ов 0.15064813 10' 0.5 0.65589056 ° 10' О.!1955238 ° 169 0.7 0.61805179 10' О.!1265531 ° 1Оа 0.9 0.73335608 10' 0.13367238, 1Оа 2 83378707 . 109 0 51652820, 109 так что для 0.5+(уе)зг(уе)з получим значения 23 зак. 974 д. к. Фаддеев в в..
н. Фаддеева Иногда все Л, и Л„. Сравним процесса со Здесь 2.3227488 2.3227488 2.3227485 2.322?487 2.3227494 2.3227489 2.3227484 2.3227889. 2.3227489 2.3227489 2.3227487 2.3227486. О.! 6728203 . 1О' О.! 3275282 1Ое 0 12509420 1Ое 0.14843190 1Ое 354 .ЧАстнчнАя пРОБлемА ООБственпых знАЧБпий (гл. ч Для определения наименьшего собственного значения оптимальным будет сдвиг на Лр+ Лв 232+064 2 2 Приведем результат вычислений прн с=-1.5. Именно 1. 5+ (У!)вор(У») ш 0,2434512 0.2492658 0,2406113 0.2409250 1.5+ (у!) ЛУ!)Ав 0.2422607 0.2422606 0.2422607 0.2422607.
вл 1Л ~ )р'5р Ав~ Последнее следует из того, что Яр А"'= Л~+Л, + ... +А„, и, следовательно, »»врр -»~у»р»(ь)"» . » (ь) =р»о~'(и)'). Этот прием по существу равносилен применению метода Лобачев- ского к отысканию наибольшего по модулю корня характеристиче- ского уравнения матрицы.
2. Возведение матрицы в степень. Для построения высоких итераций вектора иногда целесообразно предварительно возвести данную матрицу в степень. Наиболее просто вычисляются последовательные степени матрицы А, Ав, А', Ав, А'в, ... Однзко возведение матрицы в квадра~, очевидно, по объему работ равносильно образованию и итераций вектора, так что вычисление матрицы Ав равносильно построению рвп итераций. Соответственно, вычисление А' Ув равносильно вычислению лп + 1 итерации и потому выигрыш з объеме работы получается, если )ви + 1 ( 2А, т. е.
если число итерации, необходимых для получения нужной точности, превосходит л1двл. Можно ограничиться вычислением некоторой фиксированной степени матрицы А и за~ем составлять итерации посредством вычисленной степени. Например, вычислив Ав, можно найти ААУБ, затем Ав (АБУо) = А" Уо и, наконец, А" У = А (А'вУ ).
Степени матрицы мокнут быть использованы и непосредственно для определения наибольшего по модулю собственного значения, в случае, если оно простое и вещественное. Именно, $5б) отыскание нескольких сОБстВенных знАчений 355 Несколько более удобной, чем формула (!), является формула ярА22+г зрА2 так как дополнительное вычисление 5рА' "' эквивалентно (по обьему 2, работы) одной итерации вектора матрицей А". Метод следов можег быть распространен на случай кратных и комплексных корней '). $56. Применение степенного метода к отысканию нескольких собственных значений В Э 53 мы рассмотрели несколько случаев, когда наибольшее по модулю собственное значение не изолировано, т. е. когда имелось другое собственное значение, равное нли близкое по модулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
