Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 54
Текст из файла (страница 54)
т! ' '!Оп-! тп ) гп )и) 0-1 , ! -и,„!и) г ! '"1 Л)!), )0-1) Л)п) ЕО "О ' ' ' "О О Схема затем заполняется слева направо по рекуррентной формуле Л = — — З, ЛΠ— ЗЛ +Л. )!е!) ! н — !) )е )!) 1-! ! й г ! — !' Участву!ощие в формуле коэффициенты, очевидно, входят в схему в следующем расположении н-!) и) <! ° !) л. ль '! l ГИ Гивенс ') рекоиендует другой прием, позволяющий обойти вычисление коэффициентов характеристического полинома. Этот прием использует то обстоятельство, что полиномы г)!О, гуг, ..., у„образуют ряд Штурма. Наконец, как мь! видели в 9 49, здесь удобно проводить вычисление корней методом квадратичной интерполяции.
Вычисление собственных векторов для матрицы 5 может быть осуществлено так же, как в методе Хессенберга, т, е, посредством решения соответствующей треугольной системы (з„— )ч) и! + з!воа = О а!а иг + (дга )ч) пг + лаана = () (5) ап — ! Опа-! + (аеп г'!) е!и для компонент оо..., Л„собственного вектора (г"), принадлежащего ))).
Однако здесь удобно задаться первой компонентой (а не последней, как в методе Хессенберга) и затем последовательно вычислят> вторую, третью и т. д. !) Гн вене [25 21 заа. 014. и. к. Фаеаеее е В н Фаааеееа 322 (гл и полная гшоБлемл собственных значений Оказывается возможным дать и явные формулы лля компонент собственного вектора, принадлежащего собственному значению ).1. Именно, пь = 1гь-1(Л1). 1 (б) агФЫ ° ° зь-1 ь Действительно, подстановка этих значений для компонент в левую часть 1г-го уравнения системы (б) дает ! ! зь-1ь ., „9е-1()!)+(Ель Л!) г ---,— "Рл 1(11! 1 Б1 . Яа- ь-1 зы . Хл-1 1. ! ! +аль 1 ть(Л!) — — НЛ! — Еьл)йь-1(11) аж "аль+1 я11...
Ел 1а — э (Л1) — а'„,„1у„,(Л,)]=0 при 2 ()е (л — !. 5=(ТЕ1 Т -1,я)'АТЕЕ . Тя-,я нз которого следует, что каждый собственный вектор (.Г матрицы А выражается через соответствующий собственный вектор !г матриць! 5 по формуле (У) т. е. (l получается нз !г посредством цепочки умножениИ на матрицы поворотов Т1Т При каждом отдельном умножении будут меняться только две компоненты предыдущего вектора — 1-я и ~'-я — по формулам о'. = со. — Етг 1 1 о =ао,.+со..
(8) Здесь через о1 и п~ обозначены компоненты предыдущего вектора, через т1' и о.— следующего. 1 Хотя количество умножений в этом процессе весьма значительно, ошибки округления накапливаются медленно, так как они умножаются на коэффициенты с и з, по модулю меньшие единицы. Наконец, отметим, что если окажется, что один или несколько элементов ал, „равны нулю, то матрица 5 разобьется на два или несколько якобиевых ящика и задача вычисления собственных . значений и собственных векторов только облегчится. Это Так!и образом, уравнения от второго до л — 1-го удовлетворяются. Очевидно, удовлетворяется и первое уравнение.
Последнее же является следствием остальных. Однако пользоваться явными формулами (6) менее целесообразно, чем численно решать систему (б), как по объему вычислений, так и по надежности результата. Для перехода от собственных векторов матрицы 5 к собственным векторам матрицы А нужно использовать соотношение 323 9 51! метод вэлшения явление наверное будет иметь место, если исходнаа матрица имеет. кратные собственные значения. Мы закончим этот параграф вычислением характеристического полинома для матрицы, приведенной нами к трехдиагональному виду в табл. !Н.13, определением собственных значений этой матрицы и вычислением двух собственных векторов, принадлежащих наибольшему н наименьшему собственным значениям.
Таблица 7!Т!4 Вычисление коэффициентов характеристического полннома по рекуррентным формулам 0 ~ ! ! 2 ! 1 — 3.99999997 — 3.20784986 4.75! 99990 2.21170431 — 2.11185592 — 0.36194532 0.28615247 1 — 2.60414343 0.70054343 1 0.90360000 !.60414343 0.060977255 0.60370643 0.0003030309 0.792150!! Здесь в первой части таблицы расволожеиы коэффициенты последовательных полиномов ~7! (по столбцам), во второй записаны коэффициенты рекуррентных формул зм и з!,г (вычисленные по данным табл.
1Н.13). Таким образом находим, что искомый характеристический полипом будет 3 99999997!з+ 4 75!99990!а 2 11185592! +0 28615247 Его наибольший и наименьший корни будут Л, = 2.32274880 н Л, = 0.24226070. Йля определения принадлежаших им собственных векторов найдем сначала соответствующие собственные векторы матрицы 5, решая систему (5). Получим 1; = (1, 1.3915194, — 0.19994896, 0.00370089)' !'ч=.=:.(1, — 0.79?!3467, — 0.54680289, — 0,02817925)', 324 (ГЛ.
>Ч пОлнАя пРОБлемА совственных значений Далее вычисляем последовательно Т>2Ч. =(1 1 3915194 — 0 16731157 0 10954506)' Т21721111 == (1, 1.0774967, — '0.16731157, 0.88731461)' Т Т Т (2,=-(7,=(1, 0.793587, 0.747805, 0.887315)' Т,,ъУ, == (1, — 0.79713467, — 0.43597992, 0.33122345)' Т2>Т> У> =- (1, — 0.34370275, — 0.43597992, — 0.79183400)' Тм) 2172111 = (7, = (1, О. 133129. — О. 538968, — О. 791834)'. Отметим, что указанный процесс можно применять и к несимметричной матрице, только при этом в результате вместо трехдиагональной матрицы получится почти треугольнзя матрица 0 0 0 0 -'н а>2 Б„ Б а 3 ° ..
Б Н вЂ” 11 Л вЂ” 12 Ч вЂ” 11 ' ' ' Н вЂ” 121-1 ',.— >В Бн> БЛ2 Зн> ' ' ' Бжв — 1 3 . лн Таким образом, в случае несимметричной матрицы цепочка вращений приводит ее почти к такому >ке виду, как и в методе Хессенбсрга и в методе ортогонализации итераций.
Проблема собственных значений решается аналогично указанным не~одам. ф 52. Уточнение полной проблемы собственных значений считая числа бй>, так же как и компоненты векторов Ь(7; и ц121, малыми. Пусть Л данная матрица, собственные значения которой попарно различны. Пусть мы располагаем приближенными значениями А>, ..., )э, для собственных чисел матрицы Л, приблн>кенными собственными векторами (71, ..., (7Н матрицы Л, так же как и прибли>кенными собственными векторами $'1, ..., Ъ'в сопряженной матрицы Л'. Ставится задача об уточнении всей совокупности перечисленных величин.
Будем искать уточненные значения в виде а 62) тточнвнив полной пговлемы совстввнных значений 326 Без нарушения общности можно считать, что (2) (3) Очевидно, что коэффициенты нг) и йы буду~ малыми числами. Выразим поправки Ь>ч и коэффициенты 7гн и йы через невязки известного нам решения полной проблемы собственных значений, т.
е, через ., = Аи,. — л,и,. г; = А*Ъ'; — Л,Ъ',. (4) уравнение Айч = Лгйт перепишем в виде Аи;+АЫ3; =)чи,+)чМ1г+Ы,;и;+ЬЛ;МI,. Введя в это равенство невязку г; и отбросив последний член прзвой части равенства, получим А бис — ~„. би, = —., + а,ин Составим теперь скалярные произведения с векторами $; (7' = П ..,, и). Тогда (Абио Ьх) — Л;(Ли„Ъ'у) = — (г,, Ъ'Г) +Ыч(ин \'у). (6) Но, с точностью до малых 2-го порядка, (А би„1;) =(бин А*1;) =(бин ЛД) = Лу(биь ('у), Поэтому (Л вЂ” >ч)(бин ~/7) — — (гн Ъ71)+АЛЬ(ин Уу).
(7) Положив 1=у, получим (8) действительно, собственные векторы определены с точностью до скалярного множителя и потому мы вправе считать, что 1-я координата уточненного собственного вектора по отношению к базису и,,..., и„равна единице. На том же основании мы вправе считать, что 326 [гл. ~ч полная пРОБлемл совстзенных значений Будем теперь считать, что ! чьу. Так как с точностью до малых 2-~о порядка (Ь()п (г)) йг (ЕУ), И ) дЛг(ип У,)=0, то из равенства (7) получим й; = (г~ (г!) 0=(Л,— Л,)((гу Ь;). Аналогично (9) Л, = — 17,863, Л, = — 17.!52, Лз — — 7,574, Л, = — 5,299. )го =— (го ()!) (10) ( Л, — Ау) ((l т (г)) Из вида этих формул мы заключаем, что для уточнения собствен- ных значений и собственных векторов используются по сушеству лишь результаты контрольных вычислений, произведенных после получения исходного приближения к решению полной проблемы собственных значений.
Отметим, что при этом коэффициенты ЬВ и Д;, связаны друг с другом легко проверяемым соотношением (и,, ь;)л,,+(ин (г,)ц,.= — (иь ь;), так что для вычисления коэффнциентов )г; даже нет необходимости вычислять невязки г', г Уточненные значения собственных чисел могут быть вычислены также по формуле (гь (г,) (АЦ, Ъ;) "+ ' "+(й,, У,)= (О,, !В (1 !) нз которой видно, что для получения уточненного значения для соб- ственного числа достаточно лишь анать приближенные значения для собственных векторов (7; и !ГО Отметим, что указанный процесс есть не что иное, как приме- нение одного шага метода Ньютона к нелинейной системе АО,= А;(уе АФ, = Л,(г,.
для симметричной матрицы можно считать (/,=(гг и потому (гь и,) (и, б)) (гь и,) ""=(Л,— Лз)(((г, ()!) Приведем результаты уточнения полной проблемы собственных аначений для матрицы Леверье. В качестве исходных приближений возьмем данные эскалаторного метода, округленные ло трех десятич- ных анаков. Имеем $52) гточнение по.тной поозлвмы совстввнных значений 327 Имеем также (72 ~ !79 Р4 и, (79 (7, ! и, ! Ь; !.!35 ! — ОО!4 0.112 , '0.780 0.071 ! — 1.14! !~ О.ОП ( 0.808! 0.999848 ) 0.999!!! ' !.000543 ! 0.999343 ~ В последней строчке размещены соответствующие скалярные произведения (У;, '9';) при / =1, 2, 3, 4. Вычисления проведем для ! = 1. Имеем ('1 '"5) '('1-'7)(774 '5? 8,. ~ 557, 47, бй, — 0.01 9ЯЯ84 — О.
019873 0.16972496 0.169806 - О 18712129 - ОЛ872Ы 0.80509352 О.8О8482 — 0.00110982 — О. 000 16259 О ( 0.00013616 0.00021028 ! — 0.00027565 — О. 00064394 — О. 0001 2429 — ОЛЮОО8721 ООЮО59352 0.00228956 0.00181651 ОЛЮОО1ОП -О.ООО1ЕПО 0.01662120 0.00107144 — О. 711386 — 10.282240 — 12.562090 В последнем столбце помещается собственный вектор, принадлежажнй собственному значению )2, нормированный так, чтобы его последняя компонента совпадала с последней компонентой собственного вектора, вычисленного эскалаторным методом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
