Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Именно, число умножений н делений нз !з-м шагу будет 288 полнля пвовлкмл совствкнных знлчений игл, сч ,р о 3' О О О К о0 3-3 О 00 СО СО о Р 00 'О ~ Т О СО С~ 00 00 о $~ О СС С С СС О 00 СО СОО 0 00 С- СО СО О ОСО СС О С СО СО О О О О С:. О 00 СО 00 0' О О СО О: О С 0 о о ! о о ".0 0 СО О ОС Ю О С СО С СЧ ф С С'0 00 О О о 0.' 00 СО СО СО С 00 С5 С~ 00 О О ~ 00 С о 00 С1 Ь О ФР СО С СО 00 0 С' С СО С0 ОС о 00 0- СС С С О СО О 00 ОС о о о Я О В С'4 ф 00 00 О 00 О о о ОС ЯЙ О СО Осл 00 00 СО СС С' СО о о о о о о ИОСОЯ оооо о-оо о о о о о о р В О ! в((( ! яаБ8 О' О О О ! 00 00 и о й о О Щ о о о о М и Ф О С О О Ф 0 О к О О Ю О О о о 'О О ! С. б 00 о СО СО С О С СС сО о с..' О ОС С СС 00 05 СО о о 00 0 00 00 г- 00 н о СО СО 00 00 О С О Я 00 О О С- 0 О С '0 С' СС Й О СО 00 ф С'4 СС ! й 4б1 289 метод а.
м. данилевского то собственный вектор () матрицы А, пршшдлежащнй собственному значению )., выражается через собственный вектор Г матрицы Р по формуле и=ы=ьд ... я» у. Компоненты уц..., У„вектора У'находятся без труда как решения системы Р»У. = )У1 .) 1+ Р» — !У» )'Ув У +Р»-ву ="Ув у» ',-ру»=-)у. Полагая у„= 1, получим последовательно У„,=Лӄ— Р,=Л вЂ” р, У» — 2 = "У»-1 Р2 ='2 Р1) Ре У1='У вЂ” Р»-1=' " — Р1) — --Р -1 Первое уравнение системы будет удовлетворяться тождественно, так как )," — р1)." ' — ... — Р»=-0.
Лля вычисления компонент уг следует применять рекуррентные формулы. Эти формулы совпадают с формулами схемы Корнера для деления характеристического полинома на 1 — в. Обозначим далее 1») гв-Ц Г») !1-Ц Г -Ц го (2) Компоненты вектора У!!) вычисляются по компонентам век- р!) тора у по двучленным формулам 12-!-Ц у!2)=у!ьч-ц+у(1";ца(а) (1 )2+1) 211 $2 У!1) у!12.1 ЦЛ))е) В.!-1 21 21, В Формулы для вычисления компонент собственного вектора транспонированной матрицы имеют несколько более простой рисунок. Переходя в равенстве (1) к транспонированным матрицам, получим З'А'(о ')'=Р', так что собственный вектор матрицы А', принадлежащий собственному значению )„свяаан с соответствующим собственным вектором Л матрицы Р' соотношением )г=(Л ')'г=(З 1)'(З 1)' ...
(З„'1)'Л, 19 зв!с вге. Д. к. ее»»деев в в. н. Фвддеевв 990 ПОЛНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЭНАЧЕНИй Компоненты 2,, ..., 2„ вектора 2. находятся из системы [гл. ~ч ,=Л2, 21 = ).2з 2„=), „ Р„21+Р„121+ ... +Р12„=),2„, Полагая 2,=1, получим последовательно 2,=), г,=),е, . ..., 2„=).. Последнее уравнение выполняется тождественно. Далее где 7 Е(а) Е144 1) (5 1 ) Л(в) Л144 е) (5 1 ) к[в 1) ..., Л)1 =(З-1)'Л'-). На этот раз каждое преобразование (ЯА ) будет менять лишь одну (1+1)-ю компоненту предыдущего вектора, так что компонентами вектора 2.
будут 2,, 2а,..., 2А, НА+1, ..., о„. При этом ы) — —., ~-ХЕ)+*.„- Х ",.",)= 1 а ~) +),А А-~-1 з = ~~ пг)А24 + ,'~ л)4АО), (4) где 4) а). лг'ь = (А) аа 1А (1 4 44+1) 1 лгаеь а = )а) а~"+)1 а Формулы (3) и (4) для вычисления собственных векторов матрицы А и ее транспонированной различны по своей структуре, но требуют приблизительно одинакового числа вычислительных операций. Для нахождения собственных векторов матрицы А, конечно. можно использовзть любую из этих формул, транспонируя при желании матрицу А в начале процесса. В качестве примера рассмотрим вычисление собственного вектора матрицы Леверье, принадлежащего собственному значению )ч.
используя данные табл. 1Ч. 8. Для ), получено приближенное значение. равное — 5.298695. 291 9 46) метод А. м. дАнилеВскОГО Пользуясь схемой Хорнера 1 47.888430 797.27875 5349,4555 12296.550 (! — 5.298695 1 42.589735 571.60873 2320.6752 — 0.0000789, вычислим компоненты собственного вектора г' матрицы Р. Получим 'г' = 'г ! = (2320.6752; 57!.60873; 42.589735; 1)'. По формулам (3) находим последовательно )'!! = (1621.9458; 307.42343; 12.31 8876; 1.0653607)' )'!Ю = ( 893.32453; 106,05874; 14.003580; 2.3482620)' УО! = У = ( 308.95339; 30.530599; 19.210958; 3.009538)', После нормировки к единичной первой компоненте получим 0 = (1,000000; 0.098819; 0.062181; 0.009741)'. Для нахождения собственного вектора транспонированной матрицы, принадлежащего )ч предварительно вычисляем числа т;а, при и = 1, 2, 3, именно 52.03!073 655.86178 14.379516 247.97733 0.87969479 28.413718 — 0.09161237 0.93864923.
19.140507 3.4738506 — 0.170562 — 0.021659 Далее вычисляем д = (1, — 5.298695, 28.076169, — 148.76706)' )г = (1, 0.641980, 0.535599, 0.0138036)'. Отметим, что прн вычислении, особенно последней компоненты, происходит значительное уничтожение значащих цифр, что делает результат недостаточно надежным. Если ), есть кратное собственное значение, то для него легко вычисляется вся „башня" корневых векторов.
Она будет только одна, так как (в силу предположения линейной независимости векторов е,, Ае,, ..., А" е,) матрица А имеет взаимно простые злементарные делители. Корневые векторы матрицы А (или ее трзнспонированной А') вычисляются по формулам (3) (или (4)), в которых компоненты собственных векторов г' (или Л) должны быть заменены компонентами корневых векторов мзтрицы Р (или Р'), Последние находятся без труда. 292 полная пвовлемл совстввнных знлчвний (гл. пг Как было показано выше, компоненты у,, уа, ..., у„ собственного вектора Г матрицы Р суть коэффициенты частного от деления характеристического полинома на ~ — Л.
Соответственно, компоненты корневых векторов суть коэффициенты от деления хзрактеристического полинома на (1 — Л)', (1 — Л)', ..., (1 в Л) , где лг есть кратность собственного значения, причем первой компонентой всегда является свободный член. Эти компоненты находятся последовательно по схеме Хорнера. Для матрицы же Р' корневые векторы суть г=(1, Л, Л', ..., )." ') 2, = (О, 1, 2Л, ..., (л — 1) Л" ) (л — П(л — 2) -аа Л (О О О 1 С~~ ~~Л~ ж) В качестве примера рассмотрим матрицу 13 16 16 — 5 — 7 — 6 — 6 — 8 — 7 собственные значения которой суть Л,=Л,= 1, Ла= — 3. Коэффициенты характеристического полинома матрицы вычисляются в табл.
!Ч. 9. Эти вычисления дают, что характеристический полипом матрицы равен Р-+ Р— 51+ 3. Найдем собственный и корневой вектор, принадлежащие собственному значению Л= 1. Применяя схему Хорнера, получим 1, 1, — 5, Зй1 1, 2, — 3 1, 3 так что собственный вектор У матрицы Р равен ( — 3. 2, 1)', а корневой У= (О, 3.
1)'. Поэтому собственным вектором матрицы А будет У=Бг8ау=(16, — 4, — 8)', а корневым О = 5,Вам = (32, — 9, — 14)'. Алгебраическое изложение метода А. М. Данилевского, данное в книге В. Н. Фаддеевой [Ц, эквивалентно переходу от базиса е„ва, ..., е„к базису Агв е„, А'" е„, ..., А'е„, е„, в результате чего каноническая матрица Фробениуса получается в несколько иной форме.
298 9 4б) катод л. м. длнилввского Таблица (К У Определение ковффициентов характеристического полннома по методу А. М. Данилевского 16 13 16 13 — 18 — 21 — 2.2 1.4 0.4 — 1.8 3.6 0.4 1.2 0.2 8.6 — 1.2 — 3.2 9.0 1.0 — 3.0 0.6 1.8 0.9375 2.1250 0.9375 0.9375 1.1250 — 0.0625 Отметим одну деталь, связывающую метод Данилевского и метод Хессенберга.
Элементы л-го столбца матрицы А1Ю являются, по самому построению, коэффициентами в равенстве откудз следует, что полипом (Г) — (а п)Ы(ь-г- л1ь1 обладает тем свойством, что вектор рь(А) е,.=Ля+„имеет первые (г компонент в исходном бззисе равными нулю. Поэтому вектор 2ь~, ' и полипом еь(7) совпадают с соответствующим вектором и соответствующим полиномом в методе Хессенберга. Тем сзмым все числа, образующие Ф-й столбец матрицы А<ю, встречаются в вычислениях, проводимых по методу Хессенберга — верхние (з в качестве коэффициентов (с обратными знаками) полиномов фь(7), нижние л — 7г в качестве компонент вектора Еа+н Обратимся теперь к рассмотрению возможных вырождений процесса. Может оказатьсЯ, что на некотоРом шагУ а1ьа1д ь — — О.
Это показывает. что система векторов е„Авы ..., А"е,, евьа, ..., е„лц- 294 ПОЛНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [гл. гч нейно-зависима. Если при этом окажется, что хоть одно из чисел а1АА1 Ф 0 при у') и+ 1, то в матрице А<А> НужНО переставить я+ 1-ю и у-ю строки и одновременно я+ 1-й и г'-й столбцы. Такая перестановка равносильна переходу от базиса е,, Ае,,..., А"-'е„ е„„,, ..., е,..., е„к базису е„Ае,,..., А"-'е,, ею..., еь, „..., е„. Легко видеть, что если еы Ае,, ..., А" 'е, линейно-неззвисимы, то такое г' обязательно найдется.
После совершенной трансформации процесс продолжается. Прн вычислении собственных векторов сделанная трансформация, конечно, должна быть учтена. (В надлежащий момент нужно переставить в+1-ю и г-ю компоненты соответствующих векторов.) Указанная трансформация может быть полезна, даже если а~„"~,А + О, но среди чисел а1А1, у) и+1, есть число аначительно большее по Уь модулю, чем а~"~,А, так как она увеличивает точность вычисления.
Если такая трансформация проделывается на каждом шаге, мы приходим к схеме, подобной схеме главных элементов метода Гаусса. Если же все О1АА1=0 при Г')~я+1, что обозначает, что уже вектоРы гы Аен ..., А"е, линейно-зависимы, то матРица АШ> имеет внд а<"1 аг аш> Аа 0 0 ... 0 1 О ... О О О 1 ай) ( Ад~1 0 и, следовательно, характеристический полипом матрицы А равен произведению характеристических полиномов матриц Аг 1 и А~, ~. Матрица А~~ 1 уже есть каноническая матрица Фробениуса. Она соответствует индуцированному оператору на инвариантном подпространстве, натянутом на векторы е,, ..., Аь-ген К матрице А~Ю нужно снова применить общий процесс приведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
