Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Метод основан на использовании свойств ортогональности собственных вектопов матрицы и ее транспонированной. Мы не буд'м проводить общей индукции от а-го шага к )г+ 1-му, а ограничимся рассмотрением перехода от матрицы 3-го порядка к матрице 4-го порядка, Лля удобства компоненты векторов будем обозначать, вопреки обычаю, различными буквами. Предположим, что все собственные числа матрицы А, вещественны и различны. Итак, пусть )т (г= 1, 2, 3) собственные числа матриц Аз и А', где а„а,а ага Аз= аз, а,з ам ага а„ а„ Пусть далее Х„=(х„у„, гг)' и Х,'=(х,', у„', г„')' (г=1, 2, 3) совокупность собственных векторов этих матриц.
а) Моррис н Х ед !1], 121; Моррис [51. 3О) ф 481 вскзлзтовный мвтод Эти собственные векторы могут быть нормированы так, что ! ! Хз Хз ! х, х, у, г, хз Уз гз хз Уз гз ! Уз Уз ! ! гз гз ! У, ! гз х, хз ! У! Уз гз х, х, у, г, хз Уз гз ! У, (2) г,' Уз гз хз ),х = — анх+ а„у+ а,зг.+ аыи ) У = аззх+ аз!У+ аззг+ аз и Лг = аз,х.+ а„у+ а.„г+ а„и )и =- а„х+ а„у+ аззг+ аззи. (3) Умножим первые три ураннения системы (3), соответственно, на х„', у„', г,' и сложим. Получим: л (хх„'+ уу„'+ гг') = (а„х„'+ а,„у' + а„г„') х+ откуда в силу того, что (х,', У', г„')' есть собственный вектор для матрицы А,' ).
(хх„' -+ уу' .+ ге,',) = ),„(хх„'+ уу„'+ гг„') — )- (а, ге„'-~- а у' + а,г,') и и, следовательно, ! хх'+ Уу„+ гг„= — „ (4) где Р» = аз!к!+ аззУг+ аззгг (5) Пусть Это следует из установленных в ф 1О п. 3 свойств ортогональности собственных векторов матрицы н ее транспоннрованной. Пусть А, матрица 4-го порядка, полученная из А, окаймлением, Х=(х. у, г, и)' ее собственный вектор, принадлевзащцй собственному числу ).. Имеем 302 ПОЛНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (гл.
ш Тогда, в силу ортогональных свойств (2), справедливо следующее соотношение: ~~.', Р,(х,'х+ у'у+ г,'г) =Р, (7) где (8) Р = а„х + а„у+ а„г = — (а„— Л) и ЄЄ а,— Л=1 (9) Уравнение (9) мы буделг называть эскалаторной формой характеристического уравнения или эскалаторным уравнением. Далее, умножая (4) последовательно на х„у„, г„(3=1, 2, 3) и складывая, получим, снова принимая во внимание свойства ортогональности (2): ,-4 3 4 3 Р 3г ° Р„г,. л'а Л вЂ” Л (1О) Лналогнчно 3 -4 Р„., Л,— А 3 х' ~~3 Рх„ 3 Р Р,гв 33 — Л (11) Таким образом, найдя собственное число Л из уравнения (9), мы находим по формулам (10) и (11) собственные векторы матриц А и А,', принадлежащие этому числу, с точностью до численного множителя.
Для возлюжности продолжения процесса мы должны еще нормировать их в смысле формулы (2). Действительно, з ~~й (а„х„+ асу + а„г ) (х'х+у„'у+ г',г) = = а„(х,х,+х,х,+ х х,) х+а44(х,у,+х,у„+хту,) у+ Заменив в уравнении (7) выражение х'х+у'у+г'г на — — ', 3 — ' соглзсно (4), получим следующее уравнение для определения собствен- ных чисел матрицы А,: ЗО8 зскаллтогный мвтод $481 Нетрудно проверить (снова используя свойства (2)), что з з хх'+ уу'+ гг' ~~ РР = ~м (л„— л)з' з з з хх'+ уу'+ аз'+ ии' 1 '~з зРг + ьи (л„ вЂ” л)з ' з 1 Таким образом, мы удовлетворим условию нормированности при з 1 Заметим, что если левую часть эскалаторного уравнения обозначить через у (Л) Следовательно ъ.~ Р,.Р„ у (Л) = — а, -+ Л-+ зу Г з з У (л) =1+У,(л ",")„.
(1 2) то Таким образом, —, =у'(л). мы можем считать, что а = + и', выбирая знак у" (Л) было положительным. Это дает и' = — —, если У'(Л) ) 0; уу (л) и'=, если У'(Л) (О. у' — у (л) ' Не теряя общности, 1 так, чтобы — „= + из (13) В заключение отметим контрольные равенства: з з 3 ~~,'з Р„х'„= — а„;,"~ Р„у, '= а„; ~~~~ Р з' = а з з з х~~~ Р„х = аыз ~~,Р У = а,; ~~Р з = аз '1 (14) з=1 Л,+Л,+Л,+Л =ам. Последние равенства показывают, что все „н о в ы е" злементы матрицы Аз употребляются нами для контра тя. Хорошее совпадение контрольных формул гарантирует правильность вычислений на каждом шагу. При окончании процесса полезно проверить длв найденных векторов выполнение. условия ортогональности.
Мы описали процесс только для мзтриц четвертого порядка: переход к общему случаю очевиден. При соблюдении контрольных 304 пОлнАя пРОБлемА соБственных знАчений 1гл. 1ч равенств метод гарзнтирует очень большую точность как для всех собственных чисел, так и для компонент принадлежащих им собственных векторов. В случае симметричной матрицы эскзлаторный процесс естественно облегчается, так как при этом все величины, отмеченные штрихом (т. е.
относящиеся к транспонированной матрице) будут совпадать с соответствующими величинами без штрихов. Из вида эскалаторного уравнения можно в этом случае заключить, что собственные корни последовательно окаймляемых матриц разделяются. Это обстоятельство сильно облегчает определение корней, которые обычно находятся по методу Ньютона. Заметим, что эскалаторная форма характеристического уравнения оказывается удобнее для применения способа Ньютона.
чем развернутая, так как вычисление 7()) и У'(>) осуществляется очень легко. Не вдаваясь в подробности, отметим, что в случае, когда последовательные эскалаторные уравнения имеют одинаковые или комплексные корни, описанный процесс должен быть некоторым образом ') изменен.
Найдем при помощи эскалаторного метода собственные числа и собственные векторы для матрицы Леверье. Решение будет состоять нз трех этапов. 1 этап. Лля матрицы А, — 5.509882 1.870086 1 0.287865 — 11.811654 уравнение для определения собственных чисел будет )з+ 17,321536),+ 64.542487 = 0; его корни: Хг = — 11.895952, )а = — 5.425584. Для контроля образуем ).1+Ха= — 17.321536 и вычислим след матрицы Аз: Зр Аг = 17 32! 536. Далее, вычисляем собственные векторы матриц Аз и А,', решая соответствующие системы, и нормируем полученные векторы: 1) Моррис и Хзд ~2). 9 48] 305 эсклллтовный мвтод Первый этап окончен.
11 этап. Образуем матрицу — 5.509882 1.870086 0.422908 0.287865 — 11.811654 5.711900 0.049099 4.308033 — 12.970687 Выписываем на отдельный листок вновь введенные коэффициенты ань азз и ам, а„ в виде столбцов и, пРикладываЯ их к столбцам собственных векторов матрицы А,, находим величины Р', и Рз (накоплением). Для удобства дальнейших вычислений выписываем их рядом с собственными векторами в схеме (1), располагая в строку. Теперь мы моьтем написать эскалаторное уравнение для матрицы А,: 24.124621 0.503193 ) (Л) = 12.970681+ Л+ 1! 895952 Л + 5 425584 ) — — О.
— 15 — 16.651 — 17.3458 — ! 7.3975 — 17.397655 3.104 4.755 9.574 11.225 — '2.029 — 3.680 — 1! .895952 — Л вЂ” 5.425584 — Л 12.970687 + Л Р»Р' 5.501548 11.971916 — 4.4268!3 5А498 1!.9202 — 4.3751 5.501703 11.972071 — 4.426968 7.772 5.074 0.053 0.045 5.796 1.439 2.504 1.067 0.006 0.004 4.385061 4.334936 4.4267 — 11.895958 — Л РР 0.0422 0.042031 0.000279 0.042031 !! — 0.000001 — 5.425584 — Л У(Л) е Р,Р, 0.0938 0.797059 0.797014 0.8123 ( — 11.895952 — Л)2 » 2 2 0.003511 0.0035 0.003511 1.800525 0.000000 ( — 5.425584 — Л)2 У'(Л) ЬЛ 1.800570 — 0.000155 3.510 2.071 — !.651 — 0.6948 1.8158 — 0.0517 Таким образом, Л, = — 17.391655. Аналогично находим )з = — 7.594378 и Л,= — 5.300190. Контролем Л +) +Лз= — — 30 292223 Яр Аз= 30 292223 30 звк.
згв. Д. к, Фвддеев в в. н, Федд»е»» Определяем его корни по методу Ньютона, располагая вычисление по схеме: 306 ПОЛНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [гл. Ту Перейдем теперь к определению компонент собственных векторов матриц Аз и А', которые находятся, с точностью до множителя, по формулам, аналогичным формулам (10) и (11). При этом удобно составить вспомогательные схемы (!П) н (!Ч). Р;х; Р~ха 4.237716 0,070318 — 0.191024 0.240123 — 1.645356 2.068264 5.618671 0.093231 1П 4.308034 0.049099 5.711902 0.422908 лг + 5.300190 Аг + 7.594378 А~ + 17.397655 — 0,151613 — 7.974863 — 0.232473 0.461086 0.181762 0.083528 .!)г= 1 и .= '.=В.
(1=1, 2 3). уу ( ) г г 1 А)з = 0.644055, !'.)з — — О. 172627. без труда находим компоненты и А.,' (в окончательную схему мы соответствующий множитель нор- Вычисляя, получим В, = 0.745248, Используя предыдущие схемы собственных векторов матриц Аа их вписываем после умножения на мироваиия).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
