Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Как показали Н. Н. Лузин и И. Н. Хлодозский,') в качестве полинома 8(т) при специальном выборе вектора Се можно получить любой делитель минимального полинома. Этот результат уже был отмечен Я 8, п. 2). Если минимальный полином матрицы не совпадает с характеристическим полиномом, то И = О при любом выборе вектора С„. Действительно, в этом случае Ф(А)Се =- О, и, так как степень полн- нома ф(т) меньше л, векторы Ср, АСе, ..., А" С, линейно-ззвисимы.
Что же касается дополнительного вырождения, то его можно избежать за счет изменения начального вектора С„. Итак, метод А. Н. Крылова дает возможность определить коэффициенты характеристического полинома, если М чь О, или некоторого его делителя, вообще говоря, минимального полинома, если АУ = О. Практически обстоятельство Аг =- О обнаружится само собой в процессе прямого хода при решении системы (17) по методу Гаусса, Именно, в части урав~ е:ий исключатся все коэффициенты о д н о в р е м е н н о, так что эти уравнения обратятся в тождества О = О.
Эти уравнения (пусть число их равно л — гв) нужно отбросить; в оставшейся системе надо отбросить п — т последних столбцов, начиная со столбца свободных членов (т. е. со столбца ив компонент вектора С„). Последний из оставшихся столбпов, составленный из компонент вектора С„„ надо принять за свободный член новой системы. Решение системы дает коэффициенты линейной зависимости С,„ от Са, С,, ..., С„,, т.
е. коэффициенты минимального аннулирующего вектор С, полинома. Разберем теперь два примера, оба взятые из с~атьи А. Н. Крылова [1]. т) Н. Н. Лузин [Ц, [2]; И. Н. Х подо в,скнй [1]. $ 42! мйтод А. и. квылбВА В качестве первого примера определим коэффициенты характеристического полинома для матрицы — 5.509882 1 870086 0.287865 — 11.811654 0.049099 4.308033 0.006235 0 269851 1 397369 — 17 596207 взятой А. 'г1. Крьшовым нз работы Лсверье 11). По вычислениям Леверье 7(г) = г'+ 47.888430 Р+ 797.2789 Р+ 5349.4571+ 12296.555; >ч = — 17.86303; )а =.
— 17.15266; Хз — — — 7.57404; )ч =- — 5.29870. В таб.т. 1Ч. 1 мы приводим схему вычислений коэффициентов р„ рассматривая их как решения системы (17'). Таблица 71г. ! Вычисление коэффициентов характеристического уравнения по методу А.
Н. Крылова Са 1 С, 30.917951 ~ †1.01251 ! 1100.7201 66.38829 ! †9.5973 — 23.08728 ~ 576.5226 — 0.649152 — 4.04004 11 ~ — 5.166683 26.548910 / — 136.3606 1 705.6054 1 — 16.34603 230.62300 — 3361.2884 1.136758 — 34.41064 741.5585 0.104141 — 2.087086 16.91759 1 — 3027086 1.065352 623.0742 — 49.95292 652.3451 — 51.01328 1В Здесь в части 1 расположены последовательно вычисляемые компоненты векторов 4аСе ()з.=О, 1, 2, 3, 4) и обычные контрольные 1 0 0 0 — 5.509382 0.287865 0.049099 0.006235 — 4.705449 0.334184 0.002224 0.422908 5.
711900 — 12.970687 — 47.8887 — -797.287 †53.53 — 12296.8 0.008814 0.058717 0.229326 948.11566 —.905.62659 553.81860 — 4.68073 †31.0115 708.28462 14.93465 — 46.8387 — 7967287 — 5348.53 — 12295.8 270 пОлнАя пговлемА совственных значений !гл. ш 5 30 — 48 3 14 — 24 3 15 — 25 (18) В приведенной ниже таблице трн первых строчки содержат коэффициенты системы для определения д,: 125 1 ! 5 — 29 0 3 — 15 0 3 ~ — !5 Уже первый шаг процесса Гзусса показывает, что адесь имеет место случай вырождения. Урезанная система д,+5дз= — 29 3пз = — 15 дает в качестве решения да = — 5, д, = — 4. Таким образом, в этом случае мы определили коэффициенты полинома в т о р о й степени га+ 51+ 4, являющегося,тишь делителем характеристического полинома.
На практике при пользовании методом Крылова ситуация точного вырождения может появиться лишь при особых обстоятельствах (например, когда по существу физической задачи, приводящейся к исследованию собственных значений матрицы, эта матрица по фнзи- суммы. В строке 1! осуществляется контроль, аналогичный применявшемуся в $ 30 при вычислении последовательных итераций. В П! части содержится решение полученной системы, которое мы находим по схеме единственного деления. Окончательным контролем вычисления коэффициентов р, является сравнение аиачения р, со следом матрицы.
Так как 8р А = — 47.888 430, мы видим, что значение р,, найденное из решения системы, достаточно точно. Срзвнение с данными Леверье показывает, однако, что коэффициенты вычислены с меньшей степенью точности. Известная потеря точности является органическим недостатком метода А. М. Крылова и объясняется тем обстоятельством, что коэффициенты системы, определяющей рн являются величинами различных порядков, что приводит, как правило, к не очень хорошей обусловленности системы.
Несколько лучший результат можно получить, применяя для решения системы схему главных элементов, В качестве второго примера возьмем еще одну матрицу из статьи А. Н. Крылова [1!: $43) опгвдвлвнив совстввнных ввктоеов по мвтодх а. н, кгылова 271 ческому смыслу должна иметь минимальный полинам, отличный от характеристического). Чаше встречается случай приближенного вырождения. В этом случае система уравнений (!7) (или (17')) оказывается плохо обусловленной, но это не портит дела.
Лействительпо, проводя процесс прямого хода решения системы по методу исключения, нужно лишь остановиться, когда коэффициенты всех уравнений, начиная с неко~араго. почти исчезнут в пределах точности вычисления,и далее действовать так, как будто они обратились в нуль точно. В заключение заметим, что для матрицы вида ап ам а,„ а2! а22 О ам азп О О ... а„ , „ аья при условии, что элементы аао а„...., а„ , „ отличны от нуля, система уравнений (!7), построенная исходя из начального вектора О будет треугольной, нбо у вектора АСа все компоненты, кроме первых двух, равны нулю, у вектора А'С, все компоненты, кроме первых трех, равны нулю и т. д.
В частности, отмеченное обстоятельство будет иметь место для трехдиагональной матрицы. 5 43. Определение собственных векторов по методу А. Н. Крылова Предположим, что методом А. Н. Крылова найдены коэффициенты характеристического полинома и что все собственные числа вычислены и оказались различными. Покажем, как, используя проведенные вычисления, определить собственные векторы матрицы.
Пусть С исходный вектор в процессе А. Н. Крылова и пусть Х,, Х,, ..., Х„ собственные векторы матрицы А, принадлежащие ), Согласно теореие 6.3 векторы Х,, ..., Х„линейно-независимы. Разложим вектор Са по собственным векторам: Се=а,Хг+ ааХа+ ... +а„Хяе 272 полная пРОБлемА сОБстзенных знАчений (ГЛ.
2Ч Тогда Сг = АС0 = и2)тХ2+ я222Х2+ . ' + 2„10ХН (2) 0 — 2 0 — 1 0-1 в — 1 С 2=А С0= — 2222 Х2+-я) Х + ... +2210 Хи. Векторы Со С,, ..., С„, вычислены в процессе нахождения собственных чисел. Покажем, что собственные векторы могут быть получены в виде линейных комбинаций 1220С„-2+ риф— 2+ ... ' ~,„-~С0 (Е = 1, 2, ..., п) ~Ы.
Рассмотрим линейную где ~,(Е)=120ЕН '+1 Е" + +1Н„, (4) Подберем коэффициенты р,е...., ~), „, так, чтобы Р,()ч)„- О, ~,(),)=- ... =;Р,(>ч,)=О. Для этого достаточно взять в качестве е,(Е) полипом Т,(Е)=(Š— Ла) ... (Š— Л„) = (е — ~.,)(е — 1,,) ... (е — л„) ( — П т(е) — Š— Лт Е" — йгг" "--" — д , Š— 11 Здесь 00(Е) — характеристический полипом, коэффициенты и корин которого уже вычислены. Коэффициенты частного (6) легко вычисляются по схеме Хорнера, т. е. по рекуррентным формулам г!0 1' гм )122 у — 1 РЕ Е 1' ' ' '' и 1' (~) Таким образом, р20СР-2+рыС -2+ ... + ~2„2Се=ар,(12) Х,, т. е.
составленная нами линейная комбинация есть собственный вектор Хг с точностью до численного множителя. Конечно, коэффи- при подходяецем выборе коэффициентов комбинацию: ЬСв-~+ ~и ~~-2+ . + ~п л 2С0 = = а2 ф~)20),2 + ~Д),„+ + Я2 ф!0)'2 + Р1222 + + "(Рк)'-' '+Р )" ' -+ — 2191()ч) Хг + а291(02) Х2+ +3, „,)Х,-+ +англ )Ха+ -г-рь — )Х =- + 2.~, (10) Хл (З) 273 метод хзссвнввегл циент а, должен быть отличным от нуля; это обеспечивается успешным завершением процесса А. Н. Крылова.
Так как собственный вектор определен с точностью до постоянного множителя, мы можем принять за собственный вектор построенную линейную комбинацию. Аналогично Хг= 2."~4)СО 7 аь 7-.0 (8) где ~, =-)Д, — — Ру 7'==1 ' — 1 49) В качестве примера вьшислим собственный вектор матрицы Леверье, принадлежащий собственному числу )4=- — 5.29870.
Выпишем характеристическое уравнение с коэффициентами, взятымн из табл. 1Ч.1: Н+ 47.8887та+ 797.287Р+ 5349.53 г+ 12296.8 = О. Вычисляя числа 84 при 7'=О, 1, 2, 3, получим 1; 42.5900; 571.615; 2320.71. Составим линейные комбинации по формуле (8), располагая вычисления в таблице: Таблица 717. 2 Вычисление собственного вектора по методу А. Н.
Крылова га Сг ~~47 Се ( 54ОСО ) Ха ! Х4 344СО Последний столбец содеракнт компоненты собственного вектора Х,, нормированного так, что его первая компонента равна единице. Ниже мы увидим, что аначения компонент собственного вектора, вычисленного по методу А. Н. Крылова, хорошо согласуются со значениями, вычисленными другими методами. 9 44. Метод Хессеиберга В методе Хессенберга '), так же как и в методе Крылова, разыскивается нулевая линейная комбинация векторов.СО, АСО, ..., А СО. В то время как в методе Крылова коэффициенты такой линейной 4) 14 у р м ю л ь ) 3). Щ зак. 974.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
