Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Числа же а,, д,, ..., д„г булут коэффициентами частного рг(г) от деления полинома сг (Г) на à — г . Соответственно числа аю с,, ..., с„, будут коэффициентами частного уг(1) от деления р1(г) на г — (щ По большей части собственные векторы матрицы удается определить, используя промегкуточные результаты вычислений, проведенных для определения коэффициентов характеристического полинома. Конечно, для определения собственного вектора, принадлежащего тому или др> гому собственному значению, это собственное значение должно быть уже вычислено.
Методы этой группы являются т о ч н ы м н, т. е. если их осуществлять для матриц, элементы которых заданы точно (рациональными числами) и вычисления проводить точно (по правилам действий над обыкновенными дробями), то в результате будет получено точное значение коэффициентов характеристического полинома, и компоненты собственных векторов окажутся выраженными точными формулами через собственные значения.
Наряду с точными методами для решения проблемы собственных значений имеются методы итерационные, в которых собственные значения получаются как пределы некоторых числовых после- з 41] встойчивость пговлвмы совственных значений 259 довательностей, так же как и компоненты принадлежащих им собственных векторов. В итерационных методах, как правило, собственные значения вычисляются непосредственно, без предварительного вычисления коэффициентов характеристического полннома. Это существенно упрощает задачу, так как вычисление корней полинома, коэффициенты которого известны, достаточно трудоемко.
Однзко итерационные методы более приспособлены к решению частичной проблемы собственных значений. Под частичной проблемой мы подразумеваем задачу нахождения одного или нескольких собственных значений и соответствующих нм собственных векзоров. Полная и частичная проблемы собственных значений совершенно различны как по методам их решения, так и по области приложений. Решение полной проблемы для матриц даже не очень высокого порядка неизбежно оказывается весьма громоздким, и возможность решения частичной проблемы, минуя тяжести решения полной, является очень ценной для практики.
Настоящая глава посвященз изложению точных методов для решения полной проблемы собственных значений. Итерационные методы решения полной проблемы будут рассмотрены в гл. Я11, частичная же проблема будет научаться, начиная со следующей главы. Отметим, что все предлагаемые ниже методы (как в этой главе, так н в последующих), кроме метода Леверье (1840 г.) п метода Якоби (1846 г.), появились в тридцатых годах нашего столетии нли позднее. При изложении численных методов мы будем, как правило, предполагать элементы матриц вещественными. $ 41. Устойчивость проблемы собственных значений При постановке проблемы собственных значений для матриц, элементы которых заданы приближенно, естественно возникает вопрос об устойчивости полученного решения, иными словами, вопрос о том, как изменяются собственные значения и собственные векторы при изменении элементов данной матрицы в пределах допустимой погрешности.
То. что в отдельных случаях проблема собственных значений не может быть устойчивой, ясно из следующих соображений. Лопустим, что данная матрица, если ее численное задание рассматривать как точное, имеет лишь простые собственные значения, однако, при некотором определенном изменении ее элементов в пределах точности задания можно придти к матрице, имеющей кратное собственное значение, с нелинейным элементарным делителем. В этом случае каноническая форма матрицы при изменении ее элементов в пределах точности задания претерпевает к а ч е с т в е н н о е изменение, переходя от чисто диагональной формы к общей канонической форме. В частности, даже число собственных векторов изменяется пОлнАя пновлемл сОБственных знАчениЙ (ГЛ.
1Ч 260 АХ;=Л1Х; (1=-1, 2...,, Л), (с(А) Х;+ А г(Х1 = А1 11'Хг+ 1(Л;Х1. Тогда (2) Пусть ~'1, ..., (гн — собственные векторы сопряженной матрицы А*, соответствующие собственным значениям Л,, ..., Л„. Тогда (((А)хо г,)+(А((х1), )г,.)=Л,((Х, и))+(Л,(Х1Ч (г,). (6) Положив в равенстве (3) г= )', получим ( (дА) Хн Ъ'1) + (А (1(Х1), (гг) = (1(ХО л1(г1) + 1(Л; (Х1, Ъ',.), откуда ((ЛА) Хь Ъ'1) (хь ь'г) (4) ибо А'1'; = Л1Ъ'1. Положим теперь 1~ )'. Тогда, в силу равенств (Хь ~'.)=0 и (А(дХЗ), (l;) =Л (дХ1, Ъ' ), получим (Л,— Лу)((ХН (',) =(((А) Хь Ь,), откуда (ахн ~;)= ((ЛА)Х1, р) Л1 — ЛГ Пусть г(Х1 = ~~,'1 з1 Х,. ,=1 Тогда н, следовательно, ( (ЛА) Хг, 1г)) (Хч м)В1 -.1) "ри '+( (6) скачкообразно.
В этих условиях, конечно, полная проблема собственных значений, вместе с определением собственных векторов, просто теряет смысл. В условиях же, близких к описанной ситуации, проблема определения собственных векторов наверное не имеет устойчивого решения. Пусть А данная матрица и А + 1тА близкая к ней матрица. Выясним как изменяются собственные значения и собственные векторы матрицы А, когда она получает приращение 1(А.
Проведем подсчет в предположении, что все собственные значения матрицы А различны, отбрасывая величины второго порядка малости, т. е. будем рассматривать ПА (и соответственно 11Х и и),) как дифференциалы, а не как конечные приращения. Пусть э 41) устОйчиВОсть пРОБлемы сОБстВенных значений 261 Коэффициент ап остается, естественно, неопределенным, в силу неоднозначности собственного векторз, и без нарушения общности можно считать, что кн — — О, Перейдем теперь к оценкам.
Из формулы (4) получим где с =1 ~(ХЬ )га) ~ 51 но, что с1) 1. Если собственные векторы вещественны, то СОЬ -1,' где 511 угол между векторзми Х; и 5'О Число с; назовем коэффициентом перекоса матрицы А, соответствующим собственному значению ьп Таким образом, изменение ); при данной ',~г(А1, 'может быть тем болшпе, чем больше соответствующий этому собственному значению коэффициент перекоса сь Для нормальных матриц, в частности, для эрмитовых и ун парных матриц ( и'Л1 ( ( () дА 1~, ~ г)Х1 1 -~;(г(АЙ ~ Х;,' а=1 (6) так что задача может быть неустойчивой, только если велик хоть один коэффициент перекоса илн если имеются близкие собственные значения. Приведем теперь результаты, касающиеся изменения собственных значений вещественной матрицы при случайных изменениях элементов матрицы. Пусть элементы матрицы А являются независимыми случайными величинами со средними значениями а1 и с одной и той же дисперсией аа.
Тогда любое вещественное собственное значение будет случайной величиной, имеющей в первом приближении дисперсию с(Л)аа, где с(Л) коэффициент перекоса, соответствующий этому собственному значению'). В случае, если ац- — -а);, т. е. матрица из 1) Д. К. Ф а д д е е в 141. ибо для нормальных матриц Х; =- У1. Поэтому для нормальных матриц задача определения собственных значений все г д а у с т о й ч н в а.
)(ля произвольных же матриц задача определения собственных значений будет не устойчивой только при большом коэффициенте перекоса. Что же касается определения собственных векторов, то, как показывают формулы (б) и (6), 262 !гл. ш полная пговлемл совстввнных знлчвний 5 7 6 5 51 7 6 5 7 1О 8 7 6 8 10 9 7 !О 8 7 6 8 10 9 А+ г7А = А= 5 7 9 10 5 7 9 10 Как мы видели, матрица А плохо обусловлена. Характеристические полиномы для матриц А и А+г7А соответственно будут Га — 35Гз+ 146!а — 100!.+ 1 !г 35 1!з+ 149!а 110 6!+ 7 8 и потому собственными значениями первой матрицы будут (с точностью до трех десятичных знаков) числа 0.010, 0.843, 3.858, 30.289, для второй числа 0,079, 0.844, 3.874, 30 303.
Мы видим, что результаты полностью согласуются со сказанным выше. Изменение одного элемента матрицы на О.! вызвало изменение собственных значений самое большее на 0.069, в то время как коэффициенты характеристического полинома изменились аначнтельно, не только относительно, но и абсолютно, а именно, максимально на 10.6. Однако значительно меньшее изменение коэффициентов характеристического полинома может привести к большему изменению всех или части корней. Так, если „округлить" коэффициент 35.1, заменив его на 35.0, то, как легко вычислить, наибольший корень полинома Га — 35!з+ 149!з — 110.6!+ 7.8 будет 30.!85. Тем самым иаменение наибольшего корня превосходит 0.1.
Погрешности, возникающие от возможной неустойчивости. конечно, не зависят от выбора метода численного решения задачи, в отличие средних значений симметрична, но допускаются не симметричные вариации, дисперсия каждого собственного значения равна за. Для симметричных же матриц при допустимых симметричных изменениях ее элементов такой же результат получается, если предположить, что дисперсия диагональных элементов равна аз, а недиагональных —, а . Собственные значения в этом случае являются (в первом 2 2 приближении) независимыми случайными величинами. Что же касается коэффициентов характеристического полинома, то их дисперсии могут быть довольно большими для кажлого отдельного коэффициента, однако при этом коэффициенты будут уже не независимыми и вероятные их изменения связаны так, что они не' приводят к большим изменениям собственных значений.
Тем не менее неосторожное округление коэффициентов в процессе их вычисления может нарушить их взаимную связанность и привес~и затем к неправильным вначениям собственных чисел. Рассмотрим пример, иллюстрирующий сказанное выше. Возьмем 2ОЗ [( 42[ МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА от погрешностей, возникающих от неизбежного округления промежуточных результатов. Вопроса об оценке этих погрешностей мы не будем касаться. Отметим, что плохая обусловленность матрицы в смысле решения системы никак ие связана с устойчивостью проблемы собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
