Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Действительно, плохая обусловленность означает только, что среди собственных значений имеются малые по модулю по сравнению с другими собственными значениями. 5 42. Метод А. Н. Крылова Работа А. Н. Крылова (1( явилась первой в большом цикле работ. посвященных приведению векового уравнения к полиномиальному виду. Идея А.
Н. Крылова заключалась в предварителыюм преобразовании уравнения ໠— 1 а„... аья а22 а22 ~ ' ' ' а2 =0 т(2) = ае» аиа, .. а„„вЂ” 1 в эквивалентное ему, вообще говоря, уравнение вида [22 ... ь2и ~22 ~ — б Ь» — 1 О (С) = ~ (в (2) а»-. 1 а„... а,„ а„— 1 ... ааи а22 'Р (г) = а,» иие ...
а„„вЂ” 1 раавертывание которого по степеням г осуществляется, очевидно, значительно проще, при помощи разложения определителя по минорам 1-го столбца, Для осуществления указанного преобрааования А. Н. Крылов вводит в рассмотрение дифференциальное уравнение, связанное с данной матрицей; одновременно он ставит вопрос о нахождении чисто алгебраического преобразования, переводящего уравнение (1) в уравнение (2). Выяснению алгебраической сущности преобразования А. Н. Крылона посвящены работы Н. Н. Лузина [1[, [2(, И. Н. Хлад»вского [1(, Ф.
Р. Гантмахера [1[, Д. К. Фаддеева [1(. Мы изложим метод А. Н. Крылова в его алгебраической интерпретации. Равенство нулю определителя полная РРОБлемл совствеппык знАчений (ГЛ, 1Ч 7хь = ацх, +аьаха+ ... +а,пх„ гха = аа!Хь+а22Х2+- ... +ПЗПХ (4) 1хп = ап,х, + аптхп+ ... -+ аппхп имела решение х,, х,, ..., хп, отличное от нулевого. Преобразуем систему (4) следующим образом. Умноьким первое уравнение на г и заменим гхь...,, 1хп ик выражениями (4) через Хь, ..., Х,, Это дает 1Х,=Ь„Х,+Ь„Х,+ ... +Ь,~Хп, (5) где ьь Ьеа = ~ аьпапа 2=-1 (6) Умножим далее уравнение (5) на 1 и заменим снова ~хь, архе ., схп их выражениями через х,, .... х„.
Мы получим с'хь = Ьаьхь+ Ьгаха+ +- 11зпхп. Повторяя этот процесс (и — 1) раз, мы перейдем от системы (4) к системе Гх, = Ьпх, + Ь„хь+ ... + Ьн,х„ Рхь — ЬььХ1 + Ь ьХ2 + + ЬтпХьь (7) Х1 ЬпьХ1+ Ьп2Х2+ ' ' ' + ЬььпХьь' коэффициенты которой Ь;2 будут определяться по рекуррентным формулам Ь,в = апп Ьга.= ~ Ь;,,а,а (1 = '2, ..., л; Ь = 1,..., П). (8) Очевидно, что определитель систеиы (7) будет иметь вид (2). Система (7) имеет ненулевое решение для всех значений г, удовлетворяющих уравнению ьп (7) = О. Таким образом, В (г) обращается в нуль при всех г, являющихся корнями уравнения ььп(1) = — О. Покажем, что 1 О ...
О П 12 ' ' ' !п — ььь Р (2) ч (2) ! Ьп — ьь Ьп-1,2 ' Ьп — 1 и ь (9) есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы система однородных уравнений 265 э 42) МЕТОД А. И. КРЫЛОВА т. е. при М + 0 Е)(() отличается от искомого характеристического полинома только численным множителем. Пусть все корни а(1) различны. Так как все корни ~Р(1) являются корнями В(~), то 0(Г) делится на э(1). Так как, кроме того, степени О(О и з(1) одинаковы, частное должно быть постоянным (НЕ ЗаВИСЕтЬ От Г). СраВНИВая КОЭффИцИЕНтЫ Прн (в, ПОЛУЧИМ В (г) Р (г) В случае, если 4~(г) имеет кратные корни, равенство 0(1) = Х:у (г) (10) сохраняется, по следует хотя бы из соображений непрерывности. Можно проверить это равенство и непосредственно умножениел1 входящих в него определителей, если при этом нспольвовать соотношения (8), Нз равенства (1О) видно, что если й1= О, то гд(О тождественно равно нулю.
В этом случае указанное преобразование ничего не дает. Однако и при 1ч'=0 А. Н. Крылов предлагает особый прием, а:пебраическая сущность которого будет выяснена ниже. Обратимся теперь к коэффициентам д;а, определяющим 1) (Г). Введем в рассмотрение векторы В; с компонентами Ьм, Ьгз ..., Ьг„.
Равенства ч Ьы — ~~5;,,а,„(1= 2, ..., Л) в 1 покавывают, что (11) В, = А'Всем где А' — матрица, транспонированная к данной. Из равенства (11) следует, что В, = А" 'В,, (1= 2, ..., и). В свою очередь, В,=А'Вз, где Вв =(1, О,..., О)'. Таким образом, окончательно. Вг=А'гВ (1=1, 2, ..., Л). (12) Очевидно, что преобразовывать систему (4) можно, исходя, например, из второго уравнения этой системы. В этом случае 1 войдет во второй столбец определителя с) (1). а коэффициенты Ьщ будут определяться по формулам (12). где Вз=(0, 1, ..., О)'. Метод А.
Н. Крылова естественным образом обобщается, если ввести в рассмотрение вместо вектора Вз специального вида произвольный вектор Вз — — (Ьрм Ьзм ..., Ьзч)'. пОлнАя пРОБлемА сОБстзеннъ|х знАчений [Гл. 1Ч 266 Пусть и = Ьогхг+ Ьззхз+ .. + Ьовх~, (13) где х,, ха, ..., х„решение системы (4). Тогда, повторяя прежние рассуждения, получим: и =Ь21х1.+ 11шх2+ ... +Ьз„х„ гл = — Ь„х, + Ь„х, +- ...
+ Ь,„х„ 21х1+ 22 2 + ' ' ' +Ь2ихи (14) (ли=Ь„гх1+Ь„ахз+ ... +Ь„лх„, ЬО1 Ьол ()(г) 1 Ьп ... Ь,„ (15) Ь„, ... Ьип Повторяя прежние рассуждения, найдем, что 2.)(1) = 12(Г) 1"2', где на этот раз Ьог Ьа . Ьои Ьн Ь„... Ьп, (16) Ь21-1 1 ЬИ вЂ” 1,2 ' ' ' Ьч — 1 ч Так же как и для рассмотренного выше частного случая, преобразование ничего не дает, если М = О. Предположим поэтому сначала, что М Ф О.
На основании равенства 2)(1) = М1[2(Г) коэффициенты рг характеристического ( — 1)и 'А(1 полинома определяются как отношения . , где Л11 суть алгебраические пополнения элементов Г" ' в определителе 2)(Г). Определение коэффициентов характеристического полинома через указанные отношения и составляет сущность работы А. Н. Крылова. Однако проведенное исследование дает вовможность определить искомые коэффициенты, минуя вычисления миноров, сушественно сократив при этом число нужных операций.
Действительно, ввиду того, что элементы строк определителя (16) Явлвютса компонентами вектоРов Вв, ВО ..., В„ н Условие бг + О где Вг=-(Ь1, Ь22... „Ь,„)'=А"В,. Рассматривая (л+1) равенство (14) как систему линейных однородных уравнений с а+ 1 неизвестным и, хп ..., х„, получим, что ненулевое решение возможно в том и только в том случае, когда определи~ель 2б7 МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА равносильно линейной независимости этих векторов. Поэтому при Лг Ф О векторы Во, В,, В„, образуют базис пространства. Следовательно, вектор В„является их линейной комбинацией: в„ =,7,В„ , + ...
+,7„в,. (17) Покажем, что коэффициенты этого соотношения и являются коэффициентами р, характеристического полинома, записанного в виде: ~(1) — ( — 1) (г — р!1 — ... — р.1. Действительно, отняв от последней строки определвтеля О(1) линейну!о комбинацию предыдущих строк с соответствующими коэффициентами !7!, !)а ..., до, получим, на основании равенства (17), что !!о! ° ооа ~~зь-!, ! ' ' Во-!, о ~ — В„О...
О =( — 1)" (!" — д!1" ' — ... — 7„]ДГ. О(1) = Отсюда 7(1)= —,~ —,=( — 1)" 1г" — 7!г" ' — . — ((1 А'" =р,А'" ' + ... + р.„Е А' Во=Р!А'" Во+ . +Рова в„=р,в„,+ ... +р„в,. следует, что т. е. (17) Очевидно, что вместо системы (!7) для определения коэффициентов р, можно употреблять систему С„= р,с„, + ... +-р„с,, где векторы С„определяются равенствами С„=А"С .
Для определения коэффициентов р! при помощи решения системы (!7) илн (17') нужно произвести — ла(в+ 1) умножений и делений. 2 (17') что н требовалось доказать. Равенство (17) позволяет находить коэффициенты 7! =р,, !7о =Рю ° . ° , !7„ =Р„ как РешениЯ системы линейных УРавнений, эквивалентной этому векторному равенству.
Рзвенство (17) связывает метод Л. Н. Крылова с соотношением Кели — Гамильтона (примененным к матрице А'). Действительно, из соотношения 268 полная пвовлвма совстввнных значений [гд. ш В первоначальной форме метод А. Н. Крылова требовал — (п4+ 1 +4из+-2лз — и — 3) умножений и делений. В случае, если )гУ = О, система, эквивалентная равенству (17), не дает возможности определить коэффициенты характеристического полинома, так как определитель этой системы как раз равен Аг. Алгебраическая сущность упомянутого приема А.
Н. Крылова заключается в том, что возможно определить коэффициенты полинома наименьшей степени О(Х) такого, что 6(А)Се= — О, т. е. коэффициенты минимального аннулпрующего полинома. Вообще говоря, это будет минимальный полипом матрицы, и его корни будут совпадать со всеми корнями характеристического полинома, но будут иметь меньшую кратность. Однако при неудачном выборе вектора С„ вместо минимального полинома может получиться какой-либо его делитель и тогда часть корней уравнения ' А — тЕ ~ = О может быть потеряна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
