Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Сходимость процесса оказывается медленной, что лает основание предполагать наличие кратных собственных значений. Для вычисления р и д берем за у„ первую компоненту, за гк вторую. Тогда — 27483387 ° 1Р" р = — ., = — 4.0001831, — 27484862 ° 1Ов — 68705821 1ов 4.0003891, у<о! уцв> о 1 8126470 0 10223622 — —, = 2.000092 !7 д = 2 000097.
344 ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ [Гл. ч Если за уа взять первую компоненту, а за га третью, то совпадение — —, и 1 д будет еще лучше. Именно, Р э р = — 4.0000648, — г- = 2.000032 2 д = 4.0001373, 1г д = 2,000034. Таким образом, можно считать >и = 2.00003. Далее [г, =- ӄ— 2.00003уш б, = 1'.„— 20ОЯ (/а [/, 2096627 — 5232374 — 0.666668 — 0.714401 2620781 — 6278270 — 0.833334 — 0.857202 7324!44 !.000000 1.000000 †31449 Сравнивая найденные значения для сга и [/, с точными, мы видим хорошее совпадение для [7а и несколько хулшее для 5г,. Последнее можно объяснить не очень удачным выбором начального векторз, проекция которого на соответствующее корневое подпространство оказывается довольно близкои к собственному вектору. 6.
Имеются два близких по модулю наибольших по модулю собственных значения. В пунктах 4 и 5 ддя определения собственных значений мы применяли по сути дела один и тот же прием, и основанием для применения этого приема служило нарушение сходимости последовательности = . Из результатов пункта 1 следует, УА-г УА что причиной плохой сходимости этой последовательности может быть не только рзвенство наибольших модулей собственных значений, но и нх близость. В этом случае тоже может быть применен прием, заключающийся в использовании формул [19) или (20), однако при этом корни составленного квадратно~о уравнения уже будут вещественными н неизбежно близкими по модулю.
Решив квадратное уравнение, мы их определим с точностью до величин Г Л1 !А порядка ! †' ) ~АЕ) Заметим, что если последовательности отношений компонент сходятся быстро, указанный прием не позволяет определить однок р е м е н н о А, и 1, с удовлетворительной точностью, так нак формулы для определения коэффициентов р и д будут содержать в чи- . слителе и знаменателе числа; близкие к нулю: Процесс будет иметь плохую сходимость также, если ~)а[ не достаточно превосходит [)а[. П р и м е р 8. В качестве иллюстрации указанного приема вычислим наибольшее по модулю собственное значение матрицы Леверье.
9 531 наивольшяз по модтлю совстввннов значвниз 345 Используем для этого нормированные итерации вектора (1, О, О, 0)', вычисленного нами для примера 1. Имеем Р„ уш 1 20 1.0000000 1.0000000 !.0000000 — 8.1970024 — 8.2032008 — 8.2093658 8.1476812 8.!701265 8.1926032 — 7.3754981 — 7,9595730 — 8.5464!57 — 6.4248193 — 6.9926473 — 7.5631783.
Выпишем также нормирующие множители Р,з = — — 17.450861, Рш- — — — 17.458270, Р,0= — 17.465517. Очевидно, что Р 920Р ч Р!00 ' где Р и л составляются из компонент нормированных итераций по формулал! (19'). Гели за у„взять первую компоненту, за дз вторую, то Р == — ОООО!9 — — — 1.994611, Р = 34.8369!2 д =- О 092';!984 =- 0.994611. д = 303.27451. Таким образом, для определения Л, и Л2 имеем уравнение 12+ 34.836912! + 303.27451 = О, откуда Л~ = — 17.4!8456 — 32гО 12810 = — 17 4185 — 0.3579 = — 17 7764 Л, = — — 17.0606.
Прпнимая за уь первую компоненту, за дь сначала третью, а затем четвертую компоненты получим )ж = — 17.125; Ла = — ! 7, 148. Л, = — 17.831, Л, = — 17.866, Сравнияая полученные значения для Ло мы видим, что все три значения более близки лруг к . другу, чем значения, полученные в примере 1. Последнее значение Л, = — — 17.866 с точностью до 3.10 совпадает с точным значением. При этом ~ определяется примерно' с такой же точностью, как Л,. 346 чАстичнАЕ пРОБлемА соьстзенных знАчений !Гл, ч 5 54.
Ускорение сходнмостн степенного метода В этом парагрзфе будут изложены два приема ускорения сходимо ти степенного метода, в случае если наибольшее собственное значение вещественное и простое. 1. Скалярное произведение. Этот прием особенно удобен в применении к симметричной матрице; однако мы изложим его без этого предположения. Пусть наряду с последовательностью итераций вектора матрипей А !'т == Ат Уш ....
Ул =- А" !'ч. вычислена также последовательность итераций матрицей А' Введем базисы (/и ..., (/„и !/О ..., 1/„, составленные из собственных векторов матриц А и А', причем буден предполагать, что эти базисы удовлетворяют условиям ортогональности н нормирован- ности в смысле 4 !О п. 3. Пусть ув= — а,(/, +а,(/т+ ... +а„(/„ ~о = ЬМт + ЬРт -+ .. + Ь,К,. Тогда ()гл "~а) = (А" Уа А Ро) = (Ать) ш то) = — (а,Л, (/ +а~Л !/ + ...
+ а„Л„"(/„, Ьт)/, +Ьф'т+ ... ! — Ь„Ъ',). Аналогично (Ул т ха)=атЬтЛ, +атЬт)ть '+- ... -)-а„Ь„! ~ ~.. (4) Из равенств (3) н (4) получаем; (ую 2А) агат!т~ + а ЬЕЛЕ" + .:А. ттт-т И РРН '!л т, Ха) атэс» т+ ать Лы '+ =- Лт + 0 ® . (3) 'г!з этой оценки видно, что образование скалярного произведения сокращает число шагов итерации, нужных для определения Л, с данной точностью, почти вдвое. Однако при этом требуется дополнительное вычнсление последовательности (1'). Далее, в силу свойств ортогональности и нормнрованности системы векторов (/и ..., (/„ и !'м ..., 1'„, имеем (Кю аа) =атбт),т + атЬЗЛ,, + ...
+ О„Ь„),„. (3) 347 % 5$! яскоганив сходнмости стапанного метода В случае симметричной матрицы, прн Ло — — Уо последовательности (!) н (1') совпадают, и поэтому в этом случае применение метода скалярного произвеления особенно целесообразно. Начиная с некоторого шага процесса, нужно вычислять соответствующие скалярные произведения и определять ),! через их отношения.
Именно, (А'У, А У,) (А~ '!'о, АоУо) Так, в примере 3 6 53 мы легко вычисляем (А' Уо А' Уо) .= 0.00007528987 (А'Уо А'У!) =0 00015685433 что дает лля гч значение ОЛ79999 (вместо значений 0.4800, 0.4792, 0.4808, найденных из отношений компонент А'Уо и А'У,). В качестве второго примера рассмотрим матрицу 1.0000000 О 1.0000000 0 1.0000000 0.7777778 0.3333333 0.3333333 0 — 0.0252525 0.5555556 — 0.0252525 0 — 0.8888889 — 8.6444444 О.!111111 2 4 ! собственные числа которой суть 1, †, — и — , 3' 9 3' Для определения )ч образуем итерации А"Уо, беря в качестве У, вектор (1, 1, 1, !)'.
Приведем 17-ю, !8-ю, !9-ю н 20-ю итерации: А~! Уо А!оУ А'о Уо Аоо Уо 4.6731097 4.6760089 4.6779433 4.6792336 8.3733415 8.3912886 8,4032694 8А!12637 0.0028992 0.0019344 0.0012903 0.0008605 — 8.3861607 — 8.3998278 — 8.4089592 — 8.4150555 4.6631897 4.6694041 4.6735438 4.6763023. Отношения компонент этих итераций будут 1.000620 1.000414 1.000276 1.002143 1.001428 1.00095! 0.6672!9 0.667029 0.666899 1.001630 1.001087 1.000725. Здесь отношения третьих компонент сильно отличаются от остальных, в силу исчезновения знзчаших цифр.
Последний столбец дает 348 ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ' [гл. н Л,;1.001; найденное значение совпадает с точным с точностью до одной единицы третьего знака. Покажем теперь, как можно уточнить это значение применением способа скалярного произведения.
Для этого образуем итерации вектора (1, 1, 1, 1)', транспонированной матрицей А'. Вычисляя, получим А'МУо =- (0.7961118, — 0.0002189, 3.9939022, — О.1!34904)'. Далее, (АооУ А Уо) = 4.68!817 и (А'оКо А' ~Ко) = — 4 681816 Отношение (А-уо, А'"уо) 1.000000 (Аы) о 4 ) о) дает в качестве Л, значение 1.000000, верное с точностью до шести знаков после запятой. Вам е ч ание. Если, находя итерации, мы их иормируем, то для определения Л, нужно пользоваться олной из формул Л (АРА-г ка) (8) ()а-о Уа) или ()а, А'Ха г) 1 (ра, 2а-г) (9) (10) Уа Уачг Уа оо относительно которых известно, что уз=с,)ч+с А„+ ... +с„) а,а а (11) В качестве Уа можно взять, например, любую компоненту вектора )'а-— — Аа)'о, скалярное произведение соответствующих итераций и т.
д. Тогда, как было показано в 9 53 и в п. 1 й 64, можно приближенно определить первое собственное число Л, как отношеУао) ние иа = — —. Уа т) Эйткен (о! Здесь через )'а и 2а обозначены нормированные итерации ААУА н А'а2о. Способ нормировки при пользовании этими формулами безразличен. 2. йо-процесс '). Этот прием применим только в случае, когда 1Л,( ) 1)о1 ) 1Л,), так что )ч и Лз вещественны. Предположим, что мы определили ряд величин »4) яскогение сходимостн степенного мптода 349 иа = Л, ~1 — д,',а~ — 1г.',ар+ )),Ь'и'-а) + о (аа+ ига), (! 2) Сг , Сг где Ь = — '=11 — а ), д = — (1 — аг) и а;= —, 2)' 3 сг гч Если сходимость последовательности иа, инго иа 2, ...
недоста- точно быстрая, то ее можно сильно улучшить следующим приемом, который носит название 32-процесса. Образуем иа иа»2 Р(иа) = иа»2 иа»2 иа — 2иа»2-т- иаа2 (13) Покажем, что Р (иа) = )ч+ 0 ( ~2 ) + 0 1 12 )а, (14) С этой целью положим иа = ),г (1+ 2»), тогда иа гга: 2 1+за =Лг лагг иа»г 1+ га, г Разбивая последний определитель на сумму. четырех, получим Г аа а и! ='-' — ° += + "а 2 ин;г 2»+г ганг Но и, — 2иа „+ и», г = ),!3» — 22». 2+ 22„21. Таким образом ' »гг 'аан + )нггаг 2»3.2! 2» — 26»аг + 2»е Вычисляя, получим, что 2» 2»тн — — Ааа+ Ви'л, нг,— 22»3 2+ 3»„2 3 г ' где 2 — агта, —.,)' А = 1! — 2)гп —, В = о,д,,и'-,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
