Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пусть Уг, — с!д! + сад; + О ( ( Ла ! ) .„-- ),'.,'+ !2).',+- О ( ~ )., 1"). Тогда (гл. ч члстнчн»я пеозлвм» совственных знлчаний Аналогично у»,е» вЂ” г»,у» —— (сзе(з — сззтз) (Лз — «ч) «., Л + О ( ) Лз Лз )) у«е», з — е»у»»з = (сз"з — сзс(з)(Л,,— Лз) ! '~ + (! 1 3 1 ). Поэтому '"-'"-' = — (Л,+Л,)+О(! — „"'( )=р+О(~ «'~ ) (! 9') если только сзг(з — с,,с(з+ О.
Аналогично У»с-зу»ьз У«еу»-з +О(! Лз ~ ) У»,У„„— У» (20') "-' — +О(~ Лз ) ) У»-»У»эз У» Отсюда находим соей=в Ь«з У» с точностью до величин порядка ( — з) . ~Л„) . После того как собственные значения Л, и «определены, соответствующие им собственные векторы легко определяются.
Именно, из приближенных равенств." У» ~ л~Л»»У» + и Л«' У »-н »зз У».ю = п«Л» У, + аз«з Уз (22) з) Э й т к е н (5), Отметим, что для формул (20') условие сзз)з — сзг(з ~ 0 всегда выполняется, ибо ззз = Л,с,. ззз = «чсз, так что сзззз — сзз(, = =с,сз(«з — гч) + О. Собственные значения Лз и Лз можно определять минуя вычисление р и решение квадратного уравнения. Именно, определив а=ге по однсй из формул (19) илн (20), найдем г и вычислим выражение') 1 р» = 2 [гу» «+г 'у»+з) = —., ~г(с,Л» "+с,Л.", ')-+г-з(с,Л»"'+сзЛ»")1= (21) = — — (сг»е""+ с,г»е-™це-зз+ ез 1 = у» соз 6. $ 531 НАивольшеь по мОдулю соьственное знАчение 339 находим У„.,— Л,Уь=л1ЛЕ(Л,— Л,) и, У„, -ЛУ„= Н,Л,"(Л, — Л,) и,, (23) откуда следует, что 1'а„, — Л,У„н Уь,, — )., Уа, с точностью до малых слагаемых, являются собственными векторамн, соотвегствующими собственным значениям Л, и ),, П р н и е р 6, Собственные значения матрицы 26 — 54 4 13 — 28 3 26 — 56 5 )о Уз )ю 0.2 1293880.4 3669538.0 — 26301835 0.4 654932.2 2528583.4 †119710 0.6 1348746.6 3708420.2 †276505 3297559.2 9906541.6 †659234 Беря за уд первую компоненту и за а» вторую компоненту, получим 17367716 1Оа Р— 86!ц8591 10а — — — 1.9999997 22578047 .1Ое Ч 86838591 1Оа 26.000015, откупа Л, 0.9999999 + 5,0000015! Л, 0.9999999 в 5.00000156 Йалее ()щ ЛЗУЗ) = = ( †226322 +-183476961, †94424 + 126429217, — 23942161+ 18542! 071)', так что после соответствующей нормировки О,=(1, 0.5250 — 0.13301, 1.0391+0.02311)'.
22ь суть )ч = 1 + 50 Аа = 1 — 5! н Лз = — 1. Собственный вектор, принадлежащий Л, (нормированный соответствующим образом) есть (7, —.= — — (1, 0.53974564 — 0.091414941, 1.03656599+ 0.015898271)'. Вычислим собственные значения Л, и Ля и принадлежащие им собственные векторы степенным методом. Имеем 340 ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [гл. ч Используя Упп У, н 1', получим Л,'=! .00000000+ 5.000000090 и, = (1, 0.5397452 — 0.09141550 1,0365660+ 0.0158983!)'. Аи, =-лчи, +и, ли,=л,и, Лиз —— А31 '3 ли„= А„и„, н, следовательно, А 'и3 -= Л3 и, + юг 'иа А из= Л3и А иа= )„.",иа (24) Лаил Пусть Уе начальный вектор.
Мы будем предполагать, что проекция вектора Уз в корневое подпространство, соответствующее собственному значению Л,, отлична от нуля и не является собственным вектором. Примем ее за первый вектор и, канонического базиса. Тогда у,=и,+а,и,-+... +а„и„ 5. Наибольшее по модулю собственное значение вещественно н находится в жордановом ящике второго порядка. Нами уже отмечалось, что ход итерационного степенного пропесса существенно зависит от структуры канонической формы Жордана, связаннон с данной матрицей.
В этом пункте мы на прос3евшем примере покажем характер тех изменений, которые возникают, если наибольшему по модулю собственному значению соответствует нелинейный элементарный делитель. Именно, рассмотрим случаЙ, когда )ч вещественно и принадлежит 1!ч О! в канонической форме Жордана ящику !1 ), а следующее собЬ4' ственное значение )я по модулю меньше, чем ), Лля простоты выкладок мы будем считать, как и прежде, что всем остальным собственным значениям соответствуют линенные элементарные делители. В рассматриваемом случае вместо базиса нз собственных векторов мы берел.
канонический базис и,, и,, ..., и„. Воздействие матрицы А на векторы этого базиса происходит по формулам й 53] нливольшвв по модулю совстввннов знлчвнив 341 и, в силу (24), Г» = А Уо = Л, Е/, + вЛ", 'СУв+ Ля аз(/в+ . + Л~а„ив. Любая компонента вектора 1'л будет иметь вид (мы по-прежнему опускаем первый индекс) а ,а-г в л у„= с,Л, + ст/и; + с,Л, + ... + с„),в.
(25) Отношение — по-прежнему стремится к Л,, но медленнее, чем Уа-лг Уа любая геометрическая прогрессия из-за наличия множителя в во втором слагаемом. Именно: Практически определить л, из отношения — становится почти неУавл Уа возможным '). Для определения собственного значения )ч следует поступать так же, как при определении комплексной пары собственных значений, т. е.
искать коэффициенты р = — 2Л, и д = ),,' квадратного уравнения, двойным корнем которого является ), Итак, пусть ув = с,Л,"+ всяЛл" "+ с,Ла-1- ..., Тогда уачл+ рул+ аул т = сЛла т(Лл+рЛт+ д)+ + с Лт ' [(Д+ 1) Лл + рДЛт+ д ()т — 1)) + О (Лд) = О (Ла). Аналогично г,,+рг +дав,=О(Л"), где га определяется тзк же. как и в предыдущем пункте. Из полученных приближенных равенств находим Уа,га, л — га-луа-лл у.,г, — г,,у, (19в) Уа В -1 ауле! у га — г у т) Отметим, что если ящик, к которому принадлежит Лл в канонической форме Жордана, имеет более сложную структуру, то в выражении (б) по.
являются и другие степени Лл, умноженные на соответствующие биномиаль ные коэффициенты: У, = с,Л, + с ДЛ, + са Л + ... + с„л„. а в-л а(а — 1) в-а а Отношение — стремится к Лт еще медленнее. Увял Ув 342 члстнчнля пговлемл совсгвинных значений (г.т. Легко проверить, что эти равенства будут справедливы с точ/Ла ть постыл до величин поРЯдка 11 — ) . Это делаетсЯ в точное~и так же, ~Л,/ как в предыдущем случае. Для определения собственного значения 1,» очевидно, до таточно определение одного из коэффициентов р плн»1. Однако совпадение чисел — — и к»1 служит контро.чем прав»»льности гипотезы о вхо- Р 2 жлении собственного значения 1., в кзнонический ящик. Сделанная гипотеза может быль подтверждена и хруп»ми средствами.
1!менно, найдя Л,. )/ »1, можно построить так называемые Л-разности бУь = Уа»» 1»Уа леул — Ьуа ., — 1, »ЛУы (26) Легко вычислить, что Ьу -- с,Л»,'-»+с,(й -( — 1)1.",+с,,1.",-''+ ... +с„1,"„'' — с,Л","— — с,дЛ»' — с Л»Л, — .. — с„1.„"1, = с,1,» -»-0(Л."), (27) ,',"" =Л,+0( —,'), т. е. — стремится к 1,, достаточно быстро.
Совпздение предка дела — с вычисленным ранее значением для Л, и факт быстрой аул+» ау„ дуя„ сходимости е' к А, служит подтверждением предположения о том, дул что Л, входит в ящик 1-го порядка. Далее ясно, что »Лху — 0 (Л») т. е. вторая 1,-разность мала по сравнению с самой компонентой Уь. Собственный вектор (У,, соответствующий собственному значению Л,, легко определяется. Именно из равенства У»=Л»Е»,-(-АЛ, Уе-+0(Лз) следует Уь~.» — Л» 1'а = Л» Е/а+ 0 (Лз), (28) т.
е. вектор гь,» — Л,1'„= Ох приближенно равен собственному вектору, соответствующему Л,. После нормировки точность приближенного равенства будет порядка 1 †' ! . Корневой вектор, соот- 1Л,! ветствующнй собственному значению Л, определен с точностью до слагаемого, поопорциоиального собственному вектору Уе. За одно 6 53! наивольшвя по модтлю совствзнное знкчиние 343 из возможных приближенных значений корневого вектора меже~ быть взят сам вектор У» свЛ1(7в+ с1А)ч 'с7в. к Однако прн больших значениях и этот корневой вектор, благодаря множителю (в во втором слагаемом, сильно „вытянут" в направлении собственного вектора (7в. Целесообразнее взять в качестве приближенного корневого вектора а (га,ук- — ((г — 1) Уа= Ук — л(Ук — л,Уа- )-= ! а — лБв=к,(Уо (29) Полученный вектор лишь скалярным множителем отличается от проекции (l, начального вектора У„ на корневое подпространство, соответствуюшее собственному значению ), П р н и е р 7.
Собственные значения матрицы — 9 — 2 — 9 — 13 — 2 — !2 !6 4 !6 суть )ч =- )в = 2; ).в = 1. Собственный вектор, соответствующий к, = 2 есть (.', =( — — —,, — - -„-,, 1) =( — 0.666667, — 0.833333, 1)', Приведем вычисления степенным методом. За начальный вектор Уо возьмем вектор (1, О, !)'. Его проекция на корневое подпространство есть (после нормировки) — — — — 1) ж( — 0.714286, — 0,857143, 1)'. — -- )-— 5 6 7' 7' Имеем уив! у!ю! 17301510 36700166 2!757958 46137350 — 1 †123207 †2!4408 †555745 60293!6 12845060 27262980.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
