Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Именно, отношения компонен~ вектора ГА стремятся к отношениям компонент этого собственного вектора. Действительно, при а, Ф 0 Уа = А )' = )ча [лг(г! + а, ~ — '- ) (Уа + ... + а„( — ) (У„) = = а,А! ~(У', + О ( — ') ~ . (9) П р и и е р 1. Попытаемся определить первое собственное значение матрицы Леверье. 332 частичная пговлзмл совственных значений [гл. ч Возьмем вектор (1, О, О, О)' за исходный н образуем 20 итераций, нормируя их на каждом шагу посредством деления на первую компоненту.
Приведем только две последние итерации: АУ,з Отношения компонент 1.00000 — 17.4655 — 8.20321 143.3809 8.170! 3 — 143.0381 — 7.95957 149.2676 — 17.466 — 17.479 — 17 514 — 18.753 — 6.99265 132.0949 — 5.509882 1.870086 0.422908 0.287865 — 11.811654 5.711900 0.049099 4,308033 — 12.970687 Возьмем в качестве начального вектор (1, О, О)'. Приведем таблицу итераций, начиная с 12-й итерации: рю АУы )гз ' АУы Ры АУы 1.0000030 — 17.351783 1.0000000 — 17.378482 1.0000000 — 17.389552 — 8.1139091 141.126754 — 8.1332710 141.483894 — 8.1413264 141.632991 7,8783245 — 137.003170 7.90081!7 — 137А68256 7.9102563 — 137.625469 0.7644! 54 — 13.318201 0.7675407 — 13.362844 0.7689304 — 13.382030 Найдем отношения соответствующих компонент для 12-й, 13-й. 14-0 н 15-8 итерации: — 17.351783 — 17.378482 — 17.389552 — 17.393189 — 17.395694 †!7.396798 — 17.401310 — 17.399257 — 17.398356.
Три последних отношения позволяют нам считать, что ~„ = — 17.39 или )ч= — 17АО. Как мы видели в 9 48, с точностью до четырех знаков,' ).! =- — 17.3977. Из приведенных данных мы видим, что отношения различных компонент еше далеки друг от друга; это показывает, что процесс еше не установился. Действительно, с точностью до трех знаков, ).,= — 17.863. Процесс итерации сходится медленно нз-за того, что второе собственное значение )з= — 17.!52 мало отличается по модулю от первого.
П р и и е р 2. Определим первое собственное значение и принздлежащий ему собственный вектор для матрицы 6 63) наивольшее по модтлю совственное знлчение 333 Далее, для компонент собственного вектора находим следующие значения 1.00000 1 00000 1.00000 — 8.13327 — 8.14133 — 8.14472 7.90081 7.91026 7.91426. Мы видим. что последний результат уже довольно близко подходит к точному значению, так как в 6 48 было найдено, что У, = — (0.094129, — 0.766896, 0.745248)' или после соответствующего нормирования (У, = (1.00000, — 8.14729, 7.91730)'.
П риме р 3. Найдем первое собственное значение и принадлежащий ему вектор для матрицы О 22 О 02 0.12 0.14 0,02 О.! 4 0.04 — 0.06 0.12 0.04 0.28 0.08 0.14 — 0.06 0.08 0.26 В габл. 1И.1 были вычислены 14 итераций, исходя из вектора (0,76. 0.08, 1.12, 0.68)'. Вычисляя отношения компонент 14-й и 1'3-й итераций, находки для л, значение 0.4800. (Мы игнорируем вторую компоненту итераций из-за ее малости по сравнению с остальными компонентами). Отношения компонент 7-й и 6-й итераций дают для )ч значения 0.4800, 0.4792, 0.4808.
Для компонент собственного вектора из 14-й итерации находим следующие значения: 1.0000, 0.0000, 1.0000, 1.0000. Нетрудно проверить, что точное 'значение Л, = 0.48 и принадлежащий ему собственный вектор имеет компоненты 1, О, 1, 1. 2. Наибольшее собственное значение вещественное, кратное, но соответствующие ему элементарные делители линейны. В этом случае формула (3) остается верной, но несколько первых членов можно соединить вместе, так что у„= с,Ль + с„~ Лвч, + ...
+ с„Лв где г кратность Л,. Все дальнейшие рассуждения остаются в сите н потому ' — "'"=л,+о (10) ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНий !гл, ч Таким образом, и в этом случае. при условии а, Ф О, отношение У» г — дает приближенное значение наибольшего собственного числа. У» Вопрос о кратности корня не может быть решен без более детального исследования. Мы еще вернемся к этому вопросу ниже.
Векторы У»=А»УБ, также как и в предыдущем случае, сходятся по направлению к одному нз собственных векторов, принадлежащих ?, именно к собственному вектору, лежащему в циклическом подпространстве, порожденном вектором 1"е. Исходя из различных начальных векторов, мы придем, вообще говоря, к различным собственным векторам. П р н м е р 4.
Определим первое собственное значение матрицы ! 1.022551 0.116069 — 0.287028 — 0.429969 0.228401 0.742521 — 0.176368 †.0.283720 ! 0.326141 0.097221 0.197209 — 0,216487 ! 0.433864 О.!48965 — О.!93686 0.006472 решая характеристическое уравнение ?4 1 968753Л'+!.391184»а 0 415291»+ 0.044360 = О, получим для собственных чисел значения: Л = ~ = 0 667483 Лз = 0 346148 Л» = 0 287639 Определим Л, при помощи степенного метода, взяв за начальный вектор (1, 1, 1, 1)'. Приведем таблицу итераций, начиная с 9-й итерации: уэ АУБ 1'ю А 1'ю Ун А Ун 1.000000 0.666!60 1.000000 0.666822 1.000000 0.667151 1.844723 1.230507 1.847165 1.232545 1.848387 1.233563 0.676506 0.449420 0.674643 0.449211 0.673660 0.449088 0.875250 0.583298 0.875613 0.584025 0.875834 0.584399 4.396479 2.929385 4.397421 2.932603 4.397881 2.934201 Вычислим отношения компонент этих итераций: 0.666160 0.666822 0.667151 0.667042 0.667263 0.667373 0.664325 0.665850 0.666639 0.666466 0.666990 0.667249 Последние четыре отношения дают для Л, значение 0.667, верное с точностью до третьего знака.
Э 531 ИАивольшеу ОО модулю сОБстВеннОе знАчение 335 3. Два наибольшие по модулю собственные значения вещественны и противоположны по знаку. Из равенства (3) мы видим, что в этом случае четные и нечетные итерации имеют различные коэффициенты при соответствующих степенях ), так как у,.=( +,))3"+ Лз'-+ .. + )'", у, =(с — с)Л33"'+с Л33 '+ ... +с Л3"ь', аа 3 (3 3) 3'3 3 Ч и потому две соседние итерации не могут быть использованы для определения Л,. Однако мы можем определить Л' по одной из следующих формул: ). У33 Ю У33 У33 '.
),'",'=- = или уы (11) 1'„= а,),",и, +па( — )и) и,, + а,Лаи + (12) имеем У„+ )ЧУ„, = 2альи, +аз(ЛЗ+л) л.,"-'из+ ... = =ХА 2а,и,+0(Л— ',) ~ ӄ— )Ч У„„= 2аа ( л,)' иа+ 3 (л, — л,) л, — и, + . ( Л) (2а и +О("3) (13) 11 р и м е р 5. Нетрудно вычислить, что собственные значении матрицы 4.2 — 3.4 0.3 4.7 — 3.9 0.3 — 5.6 5,2 О.! суть Л,= — Ля=0.5, Л3=0.4, причем собственному значению 0.5 принадлежит собственный вектор (1, 1, — 1)', собственному значе- 2 5 нию — 0.5 принадлежит собственный вектор( — —, — — 1) 3' 6' ж( — 0,667, — 0.833, 1)'. Для нахождения собственных векторов, принадлежащих А, и )э= — — ), целесообразно построить векторы У„+Л,УА, и Уа-- — )ЧУ3,, Отношения компонент этих векторов будут стремиться, соответственно, к отношению компонент векторов и, и ию принадлежащих собственным числам Л, и ) .
Действительно, в силу равенства 336 члстичнАИ пгозлемл совственных знАчений [гл. ч Проведя вычисления получим !о )гг Гю 0.2 0.25972708 10 г 0.22548439 10 г 0.65159766 10 Огб 0.23588520 ° 1О г 0.23740533 ° 10 ' 0.59199296 ° 10 0.6 — 0.2!1!9890 !О "' — 0.24898850 1О ' — 0.531037!8 !О 0.28441339 10 0.21390121.10 0.71255344 10 Лля отношений соответствуюших компонент векторов У,ь и У|ж получим 0,25087782, 0.25096655, 0.25143936, откуда для Л, находим три приближенных значения 0.500877, 0.500966, 0.501437, так что, с точностью до трех десятичных анаков, )ч 0 501.
Палее находим 1:,,-!-0.50! У г (?, У.г — 0.501 Уы Ог О. ! 7 1.000 — 0.04?9 — 0.669 0.17, 1.000 — 0.0597 — -0.834 — 0.1778 — 0.998 0.0716 1.000. тогда уе = 27?г соз (?гз+ а) +- сгЛ! + .... Присутствие множителя соз(?г8+а) будет причиной того, что значения у„ будут сильно колебаться как по величине, так и по знаку. Таким образом, наличие комплексных корней, наибольших по модулю, сразу обнаруживается при составлении итераций. Положим р = — (Лг + Лг) = — 2г сов 6 (16) |7 '| 'г (15) Таким образом, компоненты собственных векторов определены с точностью до 2 ° 10 4. Наибольшие по модулю собственные значения образуют простую комплексную пару.
Пусть )ч и Лг комплексно-сопряженные, наибольшие по модулю собственные значения и )Лг~ < !)ч !. Согласно формуле (3) у = с,Л," + с„Л!, '+ ... + с„Л„', причем в этом случае с, и с кОмплексно сопряжены. Пусть и с, = ??е . сг .= ??е (14) |и=ге, ),,= — ге 9 53) нливолъшее по модулю соБствеиное знлчение ЗЗ7 Тогда ), и ), будут корнями квадратного уравнения 12+рГ-4-7=0 Коэффициенты р и г) могут быть определены из следующих соображений.
Пусть А настолько велико, что У с,д,'+ с,),!'. Тогда У „+ пуд+ !7уг,, — с,)а-'[)2+ р)ч+ е))+ + са).",' ! [)2 Ф р)е+ д1 = О. (17) Здесь приближенное равенство справедливо с ~очностью до 0[()212). Аналогичное приближенное равенство гл, +Рз + г)гд, 0 (! 8) будет справедливо для любой другой компоненты зл вектора а УЕ=А!ге. В качестве д„можно тзкже взять г„=уа,! или, более обще, любую компоненту вектора да= Л де, где Ле произвольный начальный вектор.
Из равенств (17) и (18) получим, вообще говоря, г — г Уд-! и ! Еп!Уа Уа-езл 2«-гУ2 (19) Уадде! 2212 .! уа-!22 да-гуд В частности, если взять гл = у„ ,, получим уа - !у!'+2 уду!! -': ! уа-!утее! уд 2 удуь-!-2 у а+ ! уг! ауде! — уь (20) Уд-еаь е! Ь-гУЕ+! =— 22 За». вге Д. К. Фаддеев в В. Н. Фаддеева Дадим более строгое обоснование формул (19) и (20). Это позволит выяснить условия их применимости н оцен!жь погрешность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
