Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Применение первой модификации позволяет построить инвариантное полпространство, натянутое на векторы (7н ..., (7„ канонического базиса, соответствующие собственным значениям гч, ..., ),„. Тем самым применение первой модификации сводит частичную проблему для матрицы л-го порядка к решению полной проблемы для мзтрицы порядка г. При г=а, очевидно, первая модификация теряет содержательность. Поэтому она может применяться лишь при г значительно меньших а. Иначе обстоит дело со второй модификацией и мало отличающейся от нее третьей.
Здесь при г = л мы приходим к так называемому треугольному степенному методу, который решает полную проблему собственных значений для матрицы и будет нами изложен в 9 78 гл. Ч1!!. При больших г, в частности при г = л, метод дает хорошие результаты лишь в случае, если все собственные значения, подлежащие определению, вещественны и различны. Наличие комплексных корней и собственных значений, принадлежащих ящикам Жордана высших порядков, сильно затрудняет проведение процесса, в чем мы убедились даже при рассмотрении случая г= 2. 9 58.
Метод ),-разности Метод ).-разности дает возможность, зная наибольшее по модулю собственное значение )ч, находить следующее собственное значение )., и принадлежащий ему собственный вектор прн условии, что Метод состоит в следующем. Пусть вычислена последовательность Уг Уа ° ° ° ° Уж ° ° Уа (!) и из нее определено )ч —. Здесь у„— любая компонента векУаьг Уа тора Уа= 4а'г'. ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЕ (гл. и Образуем разность Ьу» — — у»,,— Льу» —— с (Л вЂ” Л,) Л»~+ ... + с„(~ — Л,) ЛА, (2) Так как )., по модулю больше, чем все остальные собственные зна- чения, и с.,чьо, то первый член этой разности будет преобладать, н мы сможем определить ), аналогично тому, как мы определяли ), Именно, у»»г — Л~у» У» ~1У»-1 (3) Однако прн таком определении Л» мы наталкиваемся на исчезновение значащих цифр, так как в числителе и знаменателе отношения (3) нам приходится вычитать величины.
близкие друг другу. Г!рактическн целесообразно, найдя Л, из отношения у» ., и у», в е р н у т ь с я н а з а д и определить ) нз отношения ). У'"+' --''~'", гл ( /г, (4) у»ь Л!уе-~ А» ' 'г'з — )ПА" г'з = ае (Л, — Л,) Лз Х + ... + а„() „— Л,) Л„Х„ показывает, что компоненты вектора Х, могут быть найдены аналогично тому, как мы определяли компоненты вектора Х, в 9 53. Для примера определим второе собственное число матрицы (7) 9 54. В качестве Л, будем брать как значение, полученное непосредственно из отношений компонент 20-й и 19-й итераций (Л,ж 1.001), так и уточненное при помощи скалярного произведения значение (Л, 1.000000). Принимая за у» первую компоненту вектора А»1;, получим (при Л, 1.000000), учитывая 17-ю, 18-ю н 19-ю итерации (Си=18); Уха»1 1ПУлв 4.677943 — 4.676009 0.001934 0 66 „', = 4,'676009 4,673!10 — О',002399— Аналогично, принимая за у» четвертую компоненту вектора А" 1'р получим — 0.00913! оо)з667 =0 6681 беря в качестве гл наименьшее из чисел, при котором и р е о б л ад а н и е ) над следующими собственными числами уже начинает сказываться.
Указанный прием дает для Л, довольно грубые значения, однако часто достаточные для нужд практики. Теоретически возможно при помощи аналогичного процесса определять и следующие собственные числа. Очевидно, что для определения второго собственного вектора процесс составления Л-разности надо произвести в последовательности АУМ А'1'ч, ..., А»г'Б, ... Действительно, рззность 369 метод Л-вознести % 58) Таким образом, знание достаточно точного значения Л, лало возможность определить и Л, относительно точно (трн знака после запятой) 1точно Ла = 0.666 ...).
Если в качестве )„ мы возьмем более грубое значение Л, ,1.001, то, вычисляя прежнее отношение, мы столкнемся с описанным явлением исчезновения значащих цифр, В эаом случае в качестве и надо веясь число значительно меньшее чем 20. Так, рассматривая 9-ю, 10-ю и 11-ю итерации вектора АаУо А1оуо 4.5365193 7.5407651 0.0476287 — 7.7678185 4,1901061 4.3570945 4.4667878 получим, вычисляя величины у„,, — Лу и =10 0.04309 0.27986 — 0.01548 — 0,20213, Отношения этих величин лают для Ла значения 0.658 0.684 0.690 0.698. Таким образом, знание весьма грубого значения для )ч позволило нам все же, используя ранние итерации, получить для Ла значение, верное с точностью до трех единиц второго знака.
Приближенные значения для компонент нторого собственного вектора мы можем получить как соответствующие отношения компонент вектора А~в'Уо — Л,А 1'о. Взяв и=9, мы получим, используя ранее вычисленные компоненты вектора А Уо — Л,А Ур, следую1о о щие знзчения для компонент собственного вектора (после нормирования): 1.00; 6А9; — 0.36; — 4.69. ))ля рассматриваемой матрицы второй собственный вектор имеет компоненты 1, ==6.2, — — = — 0.333 ..., — — = — 4.733 31 1 71 5 ' ' 3 24 Заа. 974. Д К.
Фаддеев а В, Н. Фаддеева Аа Уо 4.4665336 7.1243407 0.0699857 — 7.470? 539 и=9 0.06552 0.40930 — 0.02242 — 0.28959 Амуо 4.5841480 7. 8281 626 0.0321941 — 7.9777169 зта ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (гл. ч так что результаты вычисления достаточно хорошо согласуются с точными данными. Метод Л-разности может быть обобщен следующим образом. Пусть известны Л, и Л, и требуется определить Лг, причем известно также, что / Ла , ') ! Л„!.
В этом случае мы составляем „вторую Л,Лгразность", т, е. Д У„=- (У„., — )ЗУк.,) — Л, (У, „, — Л,УЕ) ==- = Ук - г — ()ч + Аг) Ук ч 1+ Агагуа. Легко видеть, что ЬЕУА — — сг(Лг — Л,) (Лг — Лг) Лг+ ., + с„(ЛБ )ч) (га Лг) Л"„ и, при достаточно большом К Л а дг -Уа Пропааание знаков при составлении второй Л,Л,-разности булет еще значительнее, чем при использовании первой )ч-разности, так что в случае вещественных Л, и Л, метод почти не применим, Относительно хорошие результаты получаются лишь в случае, когда Л, и А, образуют комплексную пару. В этом случае вторую л,Лг-разность целесообразно искать в виде дгУа = Ук - г+ РУА ~-г + г)УА гле Р и д коэффициенты квадратного трехчлена (г — Л,)(г — Л,) н могут быть вычислены по формулам (19) 9 53. Более того, если за простым вещественным корнем Л, илн комплексной парой Л, и Лг следует комплексная пара, то используя Л-разности вместо итераций з формулах (19) 9 53, мы сможем получить коэффициенты квадратного трехчлена (à — Лг)(~ — Лг) илн (1 — Лг) (1 —.
Л,) соответственно. $59. Метод нсчерпыванни Методы исчерпывання и понижения (9 60) дают возможность определять последующее собственное значение и принадлежащий ему собственный вектор, после того как предшествующие собственные значения и принадлежащие им собственные векторы известны с достаточной степенью точности. В отличие от методов 9 бб и 9 58, направленных к той же цели, применение метолов нсчерпывания н понижения не влечет потери точности. Поэтому этн методы лают возможность, в частности, решить полную проблему собственных знзчений при помощи цепочки решений частичных проблем.
Для простоты изложения будем предполагать, что все собственные значения матрицы А вещественны. ф бб) метод исчвгпывлния Для проведения одного шага метода исчерпывания для матрицы А нужно знать предварительно не только какое-.либо ее собственное значение Х, (не обязательно наибольшее по модулю) и принадлежащий ему собственный вектор (/, = (и,, и,, ..., и„)', но также и собственный вектор 1/, = (п,,п„, ..., о„)' матри~1ы А', принадлежащий собственному значению ), Будем предполагать, кроме того, что все собственные аначения матрицы А попарно различны, так что с1шествуют базисы (/,, ..., Ьв и 1',, ..., 1'„, состоящие из собственных векторов матриц А и А', удовлетворяющих условиям нормированности ((/н 1/;) =-1 при ! = 1.
2,..., л. Составим матричное произведение (/,Ъ",, где 1/, 'строка, составленная из компонент вектора )гн Это будет квадратная матрица иго, и,оа игов и,о, иана . иао„ иво, и„та ... ивт1, Заметим, чго матричное произведение Ь",(/, равно числу 1, так как оно равно скалярному произведению ((/о 1г,).
!(алее образуем матрицу А, = А--),,(/гЪ",. Докажем, что матрица А, обладает теми же собственными числами и векторами, что и матрица А, за исключением первого собственного числа, вместо которого появляется собственное число, равное нулю. Действительно, А,и,= А(/,— '„((/,1/) и,= Аи,— ),(/,ГН,'и,) =Аи,— 'ч(/,= О А(/, = Аи,--)„(и,(/,') и, = Аиг — ),и,(У,'(/,) =).,Г/„ так как Ъ (/,.=!, 1г,'(/г=(Р'о Е/;)=0 в силу ортогональных свойств векторов (/,, (/а ..., (/„н 1/,, 1'а ..., 1/„. Указанное свойство матрицы А дает возможность, исходя из векторной последовательности А,'г'з, ..., А',аУз, ... определить ) и (/а аналогично тому, как мы определяли )ч и (/, нз последовательности А);, ..., А" гз, ..., так как собственное число >, будет первым собственным числом для матрицы А,.
й(ы будем называть зтот процесс процессом исчерпывания. Покажем, что (2) Аг Уз=А 1'о — )1 (/Р~Уо т. е. что для практического применения указанного процесса нет надобности вычислять матрицу А, на самом деле и образовывать 372 частичная пгозлкыл совствеиных значений (гл. ч РЯЛ вектоРов А,Уэ,..., Аг"'Ге, ..., а достаточно вычислить лишь два соседних вектора А, + 1' и А гэ по формуле (2). Для установления равенства (2) введем так называемое билинейное разложение матрицы А. 1)а основании ортогональных свойств системы собственных векторов матрицы А и ее транспонированной верно мзтричное равен- ство В=(У,)У',+и,)У.'+ ... +(У„)У'„, Умножая это равенство слева на А и заменяя А(У, на Л;(У;(У=!, 2,, и), получим, что А=Л,(У,)У',+),я(У )г,'+ ...
+)„(У„Р„' Процесс исчерпывания уничтожает первое слагаемое в этом разложении, так что А,= 1,(У,(У,',+ ... +Л„(У„~"., Далее А" = Л~(У,)У, + Л"'(У Ъ'. + ... + Л„"'(У„'к'„. Аналогично А'," = ья (У,(/, + ... +. Л'„"(У„)У„. Аг = А — Л~~(У,)l~, Поэтому откуда вытекает равенство (2). Таким образом. применять метод исчерпывания можно в двух вариантах. В одном из них надо вычислить вектор (У,)У,'гэ, образовать векторы А™г +'"гз и Аг Уе по формуле (2) и затем определить ),, и (У, обычным для степенного метода образом. В этом варианте происходит значительное уничтожение значащих цифр и потому в качестве т приходится брать число, значительно меньшее, чем число и~ераций, применявшихся для определения числа 1, и компонент собственных векторов (У, и )Ун Точность при использовании этого варианта получается невысокой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
