Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Второй вариант заключается в фактическом построении матрицы А, и вычислении итераций посредством А,. Этот вариант требует большего объема вычислений, но обеспечивает значительно лучшие результаты в смысле точности. В обоих вариантах возможно применение приемов улучшения сходимости. Пример. Рассмотрим снова матрицу (7) Э 54. Метод исчерпывания требует для определения второго собственного числа знания как первого собственного числа, так и принадлежащих ему собственных векторов как матрицы А, так и матрицы 'А'. Поэтому при пользовании этим методом необходимо наряду ф 59! метод исчегпывлния с вычислением последовательности итераций А" 1'е вычислять и последовательность итеРаций А'ага.
Таким обРазом, пРи опРеделении )ч мы всегда можем уточнить значение )ч при помощи метода скалярного произведения. В нашем примере, используя двадцать итераций вектора 1'а = = — (1, 1, 1, 1)' матрицей А н матрнцей А', мы получили для )ч аначение )ч = 1.000000 (см. п. 1, 6 54). Для компонент собственных векторов матриц А н А' мы получаем, нормируя компоненты векторов А'еуе и А'"'У, значения: 1.00000 1.00000 1.79757 — 0.00027 0.00018 5.01676 — 1. 79838 — О. 14256. Точные значения компонент первого собственного вектора матрицы А суть 1, 1.8, О, — 1.8. Следуя теории, нужно прежде всего нормировать векторы !7, и У, так, чтобы !!7,, У,) =!.
Вычисляя множитель нормирования, получим с = 0.795678. Таким образом, для компонент первых собственных векторов матриц А и А' мы получим значения: !.00000 0.79568 — 0.00021 3.99173 — 0.11343. 1,79757 0.00018 — 1,79838 Теперь мы можем образовать матричное произведение 17,$Г,. Именно: 0.79568 — 0.00021 1.43029 — 0.00038 0.000!4 0 — 1.43093 0.00038 Далее образуем матрицу А,. А,=А — ), 7/,1;= 0.20432 0.00021 — 0.43029 — 0.00014 1.43093 0.77816 — 0.02525 — 0.88927 и обРазУем итеРации вектоРа Уа =(1, 1,1, 1)' этой матРицей. 3.99! 73 7.1754! 0.00072 — 7.17866 — 2.99173 — 6.84208 0.55484 — 1.46579 — 0.1!343 — 0.20390 — 0.00002 0.20399 0.1! 343 0.53723 — 0.02523 — 0.09288 374 чАстичнля пРОБлемА совствгнных значений (гл. ч Приведем 17-ю и 18-ю итерации матрицей А,.
— 0.01861 — О. 01242. Отношения компонент 17-й и 18-й итераций дадут для ), значения; 0.667 0.668 0.666 0.667. Из 18-й итерации получим посредством нормирования к единичной первой компоненте Уа=(1.00, 6.20, — 0.333, — 4.73)'. Мы видим, что как само второе собственное число ), так и компоненты второго собственного вектора определяются методом нсчерпывания более точно, чем методом ),-разности.
Однако этот метод требует в случае несимметричной матрицы много дополнительной работы. В случае симметричной матрицы метод исчерпывания может быть рекомендован. При вычислении второго собственного числа и компонент второго собственного вектора иожно пользоваться описанной модификацией в метода исчерпывания, при которой вектор А,)'е вычисляется, минуя итерации матрицей А,, по формуле (2). Вычисляя, получим Б (А~Уз = (4 67377 8 40142 0.00084 — 8 40521)'.
Теперь вычисляем АгУБ по формуле (2) прн в=9 и 10. Это дает: Аг "а — 0,00869 — 0.05388 0.00290 0.04107 А~Уз — 0.20724 — 1.27708 0,06915 0.93446 А1 Уо — 0.00580 — 0.03597 0.00193 0.02741 А10'г — 0.13725 — 0.86065 0.04679 0.63739. 375 6 601 метОд понижения Отношения компонент равны: 0.662 0.674 0.677 0.682, так что )я 0.67 с точностью до 10 . Далее, нормируя А~г'Уз, получим Уз= — (1.00, 6.27, — 0.34, — 4.64)'.
Метод исчерпывания почти без изменений может быть перенесен на матрицы с комплексными злементами и вегцественные матрицы с комплексными собственными значениями. При его обосновании нужно рассмотреть вместо строк $"г строки 1г,'., составленные из чисел комплексно-сопряженных с компонентами собственных векторов ~'г матрицы А*, принадлежащих собственным значениям )ч. При применении метода исчерпывания в случае вещественной матрицы, для которой определена пара комплексно. сопряженных значений с соответствующими им собственными векторами, следует проводить процесс исчерпывания по формуле А, = А — )ТУ,~ ', — ),,У,1гт = А — 2Ке ()ч77,1г,).
Это позволяет оставаться в классе вещественных матриц. $60. Метод понижения Пусть для матрицы А вычислено первое собственное значение Х, и принадлежащий ему собственный вектор У,=(иг, ..., и„)'. Рассмотрим матрицу и,0...0 Р— аа1'''О и„О...! Нетрудно проверить, что 1 — 0...0 щ ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЧЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [гл. ч )ч а12 и, 111 и и1 из из а22 — — аж ... ааи — = а,„ 1 и1 Р ~АР= ир ип О а — — а....
а — — а ! А2 и 12 ''' ив и 12 и1 Ь„... Ь,„ О Таким образом, ! Р 1АР— 1Е 1 1= (1 1 — ~) ~~  — 1Е !. Следовательно, собственными значениями матрицы А кроме Л, будут собственные значения матрицы а — 1-го порядка В. Если нормировать вектор сг1 так, что и,=1, то мы будем иметь а22 — игам ... а22 — иза„, В= а„,— и„а12 ... а„„вЂ” и а„, Для нахождения Хг нам, очевидно, нужно построить последовательность Вгр, ..., В 1' и находить >~ как отношения любых компонент построенных векторов.
Дзлее, пусть Л некоторый собственный вектор матрицы В соответствующий собственному значению 1.. Тогда матрица Р 1АР будет иметь собственный вектор ~ 11. Определим г,. 1" г1 1 Имеем Матрица Р 'АР подобна матрице А и потому собственные числа обеих матриц одинаковы. Но 377 ф 60) метод понижения Приравнивая первые компоненты в этом векторном равенстве, получим )чг,+агава+ ... +агав„=адан откуда а ага+ ... +атал„ г1 Наконец, собственный вектор У матрицы А определится по фор- муле г$ а,г,+ге и„г,+г„ П р н и е р. Определим второе собственное число и компоненты принадлежащего ему собственного вектора для матрицы (7) в 54.
Как мы видели, для этой матрицы было определено первое собственное число ) 1.001 (9 54, и. 1) н компоненты принадлежащего ему собственного вектора 1, 1.79757, 0.00018, — 1.79838 (э 59). Для определения ье вычислим матрицу 0.33333 0.77778 — 1.46424 — 0.02525 0.55538 — 0.02525 — 0.88889 — 6.84606 0.11111 Далее образуем итерации вектора г'е = (1, 1, 1)' матрицей В.
Приведем результат !5-й н 16-й итераций: 0.06339 0.04243 — О. 02502 — 0.01661 Определим )ч нз отношения компонент 16-й и 15-й итераций. Это дает: 0.668 0.668 0.669. Далее определим компоненты второго собственного вектора, считая Е = Вгаг'е. Для этого сначала определим апга+ аьга+ аыга 0.00484 — 0.014 да — Хг — 0.333 В~в~; — О. 09565 0 00725 В" Ка — 0 06388 О. 00484 378 члстичнля пгоглвмл совствгнных знлчгний [гл. т Далее вычисляем компоненты и,, и,, и, вектора (7»: из.= — 0.0900, ил — — 0.00484, и, = 0.0685. Таким образом, компоненты вектора (7 суть — 0,0145; — 0.0900; 0.00484; 0.0685, так что после нормирования (7»=(1, 6.21, — 0.333, — 4.72)'. ф 61.
Координатная релаксация Метод, описанный в этом параграфе, применим только в случае, если матрица А симметрична. В некотором роде он близок к итерационныл~ методам для решения линейных систем, основанным на релаксации того или другого функционзла. В данном случае роль такого функционала играет отношение Редея. Вычислим прежде всего, как изменяется отношение р (Х) = — '— (АХ,Х) (Х, Х) при изменении Х в определенном направлении. Пусть Х' = Х+ а?', (1) где У вЂ” некоторый фиксированный вектор, определяющий направление изменения вектора Х Тогда (АХ', Х') =(АХ+аАУ, Х+аУ)=(АХ, Х)+з(АХ, )')+ +в(АУ, Х)[-яа(АУ, У) =(АХ, Х)+ 2а(АХ, У)+а»(АУ, У) и, следовательно, Х' =(4Х',Х) (АХ, Х)+2»(АХ, У)+»»(А?; ?') (Х*, Х') (Х, Х)+ 2» (Х, У)+»» (?', У) Подберем теперь множитель а так, чтобы отношение (л(Х') достигало наибольшего значения.
Вычисляя производную р.(Х') по а, получим »И (Х») [2(АХ, У)+ 2» (АУ, ?')] [(Х, Х)+ 2» (Х, ?')+»з(У, У)] л» КХ, Х)+ 2 (Х, У)+» (У, У)]» [2 (Х, У)+ 2» (У, У)] [(АХ, Х)+ 2» (АХ, У) +»» (АУ, ? )] [(Х, Х) + 2» (Х, У) +»т (У, ?')]» и потому для определения а будем иметь уравнение [(АХ, У)(У, У) — (АУ, У)(Х У)] аз+[(АХ Х)(У, У) — (АУ, У)(Х, Х)] в+ + (АХ, Х) (Х, У) — (АХ, )') (Х, Х) = лаз+ Ьа + с = О.
(3) Исследование уравнении (3) показывает, что его корни всегда вещественны и различны. Правда, может случаться, что коэффициент при аз обращается в нуль. Тогда следует условно считать, что один из корней уравнения равен оо. Это будет, если один из экстремумов достигается на векторе У. Вторым исключением является случай, когда р(Х') оказывается не зависящим от а. В этом случае 3УО й 611 кооРдинАтнля РеллксАция уравнение (3) превращается в тождество О = О. Геометрический смысл сказанного очень прост.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
