Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Следствие. ао+ а, -[- . + ао-г = Бр А. (10) Действительно, матрицы А и д подобны, и, следовательно, нх следы одинаковы. При фактическом осуществлении метода минимальных итераций равенство [10) дает хороший заключительный контроль. Теорема 68.6. ао а! гг % ОЗ! метод гю!Ннм»явных нтзеаций Локаэательсл»во. Полиномы 1 г — и! рз Р (г) = 3. !! †! 1 связаны такими же рекуррентными соотношениями, что н полинояы Р»(Г), в чем легко убедиться разложением определителя по элементам последнего столбца.
То, что Р!(г)=Р»(Г) н Рз(Г) Рз(г) непосредстве>шо. Следовательно, Р»(!) =- р! (1) при всех ! .=- 1, 2,..., а. ТеоРема 63.7, ВентоРы Рз,..., Р„, Удовлетаорлют соот- ношениям (Арьр)=О при !à — /~)1. (1! ) Действительно, для у = О, ..., 1 — 2 справедливость теоремы уже была установлена при доказательстве теоремы 63.1. Для ! ч. г' утверждение теоремы следует нз равенств (АРо Ре) = (Р„АР)). В заключение отметим, что вектор р, совпадает с градиентом с функционала 1» (Х) = — ' в точке Ре. Два основных свойства (АХ, Х) (Х, Х) градиента (Х, ",) =-О ($, АХ)= (1, 1) являются частным случаем свойств (Р! Р)=О (АР»,, Р!) =(Рь Р!) (12) системы векторов Ре, Р! Р -! 2. Достройка системы базисных векторов в случае вырождения.
В предыдущем пункте мы предполагалн, во-первых, что все собственные значения матрицы А различны и, во-вторых, что все коэффициенты а, в разложении выбранного нами начального вектора по собственным векторам о!личны от нуля. Эти условия обеспечивали линейную независимость векторов Х, АХ,..., А" 'Х. Если хотя бы одно из них не выполнено, то векторы Х, АХ, ..., А Х уже не будут линейно-независимыми, Если проводить над ними процесс ортогонализацни, то на некотором шагу процесс оборвется, именно, мы получим, что Р„= О при некотором г ( и. 398 [гл.
ш катод мннимлльных итеглцнй В этом случае полипом р,(1) будет, очевидно, минимальным аннулиРУюшим вектоР Рз полиномом. Покажем, как в вырожденном случае достроить систему вектоРов Рш ..., Р„, до оРтогонального базиса всего пРостРанства. Возьмем снова произвольный вектор )г и образуем вектор г — т Р~о'=1 ХсгР~ г-о (13) определяя коэффициенты с, из условия ортогональности вектора Р"> с постРоенными Ранее вектоРами Р„ ..., Р„ о Это дает с;= 'Р' (1=0, ..., г — 1). (14) (Рг Рг) В силУ оРтогональности вектоРов Рз, ..., Р„, ((Гг Р)) сы= (1б) Таким образом, для определения вектора (Уг надо вычислить лишь постоянные ((lп рд).
Это делается без труда на основании следующих сообРажений. Йз Разложениа начального вектоРа Рз по собственным векторам матрицы Р =пи,+ ... +а„и„(а, + О, !0<!=1) Вектор р10 ортогонален по построению ко всем векторам Ры ...„Р„,, т. е. пРинадлежит к подпРостРанствУ, оРтогональнодополнительному к Р„. Следовательно, и все его итерации будут ортогональны к Р„, ибо Р„ инвариантно и, по теореме 11.1, его ортогональное дополнение тоже инвариантно. Поэтому, применяя метод минимальных итераций к вектору Р~'1, мы построим систему вектоРов Р1аг1,..., Р)г1, попаРно оРтогональных не только дРУг к дРУгУ, но и ко всем векторам Рш ...,Р„,. Если г+1(а, мы продолжаем процесс достройки до тех пор, пока не дойдем до базиса всего прострзнства.
При этом все пространство естественным образом разобьется в прямую сумму нескольких попарно ортогональных инвариантных подпространств Р„, Рп .... Характеристический полипом матрицы будет равен произведению минимальных полиномов, аннулирующнх последовательные начальные векторы. 3. Определение собственных векторов. Рассмотрим сначала невырожденный случзй. Пусть мы уже построили ортогональный базис пространства р, ..., Р„,, систему ортогональных полиномов Ро(О ° Р~-г(г), Р„(1) и нашли корни характеристического поли- нома р„(1). Пусть У; собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1ч.
Тогда (гг=сюРо+ ' ' ' +сш-гР (15) 399 9 63! метод минимАльных итегоций пол)'чим ру —— а1)у(Л,)У,+ ... +а„р,() )У„, и, следовательно, (Уо р))= а,рт(Ло). Таким образом, с точностью до постоянного множителя (7 Ро (Лг) о + + Р»-г (Ло) (17) (Ро Ро) (Р»-ь Р»-т) Отметим, что значения р) (Л;) можно вычислять непосредственно по рекуррентньщ соотношениям для полиномов ра(!). В вырожденном случае векторы, вычисленные по формуле ро+ ° ° + рг — г Ро(Лг) Р -т Ви) (Ро Ро) ' ' ' (Рг-ь Рг-т) (17') где Л; корни полинома р„(1), будут собственными векторами, лежащими в инвариантном полпространстве Р„. Полная система собственных векторов определится, если применить описанный прием ко всем подпространствам Р„, Рн ..., в прямую сумму которых разбивается пространство Я в процессе достройки ортогонального базиса.
В качестве примера определим все собственные значения н принадлежащие им собственные векторы для матрицы (4) 9 5! 1.00 0.42 0.54 0.66 042 1.00 0.32 044 О. 54 О. 32 1. 00 О. 22 А= 0.66 0.44 0.22 1.00 оу (т) р (7) то 4 00000005!о+ + 4.75200016(о — 2.11! 856097+ 0.28615248. Вычисление ортогонального базиса и коэффициентов характеристического полинома дано з табл. Лг!. 1. В качестве начального вектора взят вектор ро = (1, 1, 1, 1)'. В первой части таблицы помещены компоненты последовательно вычисляемых векторов ро, Ар, р,, Ар,, ..., р . Во второй части записаны результаты контрольной проверки выполнения условий ортогональности для векторов р; и обычного контроля сумм дли векторов Ар;.
В третьей части таблицы помещены скалярные произ- веления (р, р ), (ро, Аро), (р,, р,), ..., причем (рь ро) = (Ар; н ро) вычисляются двумя способами, в четвертой находятся коэффициенты а; и р,. В последней части таблицы записаны коэффициенты полиномов ро(7), которые вычисляются рекуррентно, так же как в 9 51. В результате вычислений получим метод минимлльных итеглций 400 ~гл. ли Т ! оооо с'3 о ооао $БЗИ оооо О 1 о о о о ЯВЛЯЯ со о о сл Ъ о ь Оэ Ф~~Й оооо С'! 1' вФ Я о о о л о о осч о %се <ц о $ оооо 1 ! О уь о о Й о о оооо Я о 3 Фя СЧ СЧ Я СЧ оооо о о о о л о ь и и о й о о х о й". 3 а 3-о хм и ы аы ха хе Юй о хх о,ф Ф и й р Ф ы Ю.з В.м о и хм и» мЫ ам о О.Э лм х о Ф Ф й х ,й и М и о л ы' ОО ~- о о Оо о о д' о 8 о о о о ч о о о о оэ с~ ОР оо 8 о о о о 3лМ й 3 "~ ойдо 8 631 401 метод минимальных итегдций Полученные значения для коэффициентов хорошо согласуются с точными (см.
9 51). Вычисляя корни последнего полинома получим для собственных значений Л, = 2.32274880; ) = 0.79670672; )., = 0,63828385; )4 — — 0.24226068. Для нахождения принадлежаших нм собственных векторов предварительно, в табл. Л/!. 2, находим коэффициенты разложения. Тпблици )Ч.2 Вычисление коэффициентов разложения 3 ( 4 0.63828385 ~ 0.24226068 2.32274880 0.79670672 0.25 — 9.0778581 — 62.208059 — 803.58551 0.25 — 10.034518 — 37.083131 457.76070 Ро (Лд/(Рв Ро) Рл (Ла)/(Рт Рт) р, (ЛДДРФ р) Ра (Ло)/(Р рв) 0.25 0.13737198 0.075907030 0.047337111 025 — 12.425962 51.?17053 — 108.41408 Наконец, по формулам (17) вычисляем все собственные векторы матрицы А и нормируем их к единичной первой норме. Таблица !д/, 3 Собственные векторы матрицы А и, (/а 1.000000 0.793587 0.747804 0.887315 0.061916 — 0.291847 1.000000 — 0.651533 — 0.447443 1.000000 0.042210 — 0.425676 1.000000 0.133129 — 0.538970 — 0.791834 26 заа.
97а. д. к, Фаддеев а В. н. Фаддеева ро (Ло) р1(ЛЛ) =)о — ао Ла — ао ра(Л!) Л! — ао рв (Л,) Лч — аз р,(ЛВ Р'(Лд 1 0.02274880 1.84806281 0.00064121!25 1.81672838 0.00000448106 04 1.60345516 — 0.3877 10 5.348 1 †!.5032933 0.32202073 0.52549161 0.29068630 — 0.076069604 0.07741308 0?2760 10 — 0.134 1 — 1.6617162 0.16359786 — 0.3132532! 0.13226343 0.043332881 — 0.08!00979 0.3062 10 0.106 ' — '2.0577393 — 0223242531 0.43687069 — 0226375974 — 0.010262774 — О.
47703296 03658 10-9 — 0.457 402 (гл. Тч МЕТОД МННЯМАЛЬНЫХ НТЕРАЦИй В качестве второго примера рассмотрим матрицу 1О 6 3 6 5 2 3 2 2 А= Таблица П.4 Метод минимальных итераций в случае вырождения Арт Ра 19 13 42 24 6 и ! 39 ! О 72 72 72 39 13 24 1 — 16 15 1 — 13 Из приведенной таблицы видно, что в данном случае имеет мес~о вырождение, ибо уже ра= О. Отметим, что сумма а, + а равна следу оператора, индуцированного на подпрострзнстве, натянутом на векторы ре и р,, и не совпадает со следом матрицы А. )Аля достройки базиса пространства возьмем новый начальный вектор 'г'=(1, О, 0)'. Тогда в качестве рп) нужно взять вектор рн)= У— (1' Ро) (1 Рт) 71 1 1т (ро ро) (рь рг) 1,6 3 ' 6) За начальный вектор возьмем ре — — (1, 1, !)'.
Приводим вычисления по описанной выше схеме (мы не отступаем от схемы, хотя в контрольных вычислениях здесь нет необходимости, так как вычисления проводятся точно). 403 метод минимлдьнь>х итееаций 4 63) Действительно, пусть Х = ~ а>Р! (19) разложение искомого решения по базисным векторам. Наша задача ззключается в определении коэффициентов ао Пусть и =доро+ +оп-гРи-! Тогда Ь>=( '>' > (рь р!) ' Из уравнения (18) имеем уФ вЂ” а 11 — ! о=в «-з Но на основании рекурреитного соотношения (2) имеем Ар; =Р;+, + з>рз+ >з>рз Подставляя это выражение в (20) и приравнивая коэффициенты при векторах р; (! = О, 1, ..., и†!), получим для определения коэффициентов а; систему с трехдиагональной матрицей иене + р,и, (Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
