Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Наибольшим же собственным значением является 1, = 63. Более внимательный анализ показывает, что последовательность Хе, Хн ... может сходиться к собственному вектору, соответствующему не наибольшему собственному значению, только если она, начиная с некоторого вектора, стабилизируется. Использование координатной одношаговой релаксации для нахождения наибольшего собственного значения, вообще говоря, невыгодно, ибо по ходу процесса приходится на каждом малом шаге решать квадратное уравнение (7).
Мы все же приведем пример (матрица (4) ф 51), показывающий ход процесса, опуская промежуточные вычисления. Здесь в последнем столбце приведены значения р(Хг). Групповая координатная релаксация заключается (АХ, Х) в следующем. Ищется максимум (или минимум) отношения за счет одновременного изменения нескольких координат предыдущего приближения. От шага к шагу выбираемые группы координат изменяются. )(алим описание одного шага процесса ').
Пусть Х некоторое приближение к собственному вектору, принадлежащему наибольшему по модулю собственому значению )ч, найденное в предыдущих Та шагах. Положим для определенности. что в рассматриваемом шаге изменяемые координаты имеют номера 1, ..., г. Натянем на векторы Х, г) Хестинс (1). Х 0.34 Х, 0.59995498 Х, 0,69781651 Ха 0 73541175 Х, 0.75062330 Х, 0.75694325 Ха 0.75958696 Хг 0.76068465 Хз 0 761!3138 Хв 0.76130659 Хгв 0 76137!02 Х„О. 76139227 Х„1.0000 0.20 0.412!1685 0.51354408 0.56051428 0.58274350 0.5935!423 0.59882656 0.60148 ! 18 0.60282! 11 0.603503!О 0.60386377 0.60403891 0.7933 0.90 0.76621642 0.67966297 0.62985366 0.6023!592 0.58729670 0.57913506 0.57469926 0.57228443 0.57096708 0.57024369 0.56985092 0.7484 0.75 0.7002!179 0.67841258 0.671618!5 0.67072572 0.67!63815 0.6728! ! 46 0.6Т377537 0.6Т445635 0,67490251 0.67517902 0.67535101 0.8870 1.8300504 2г2138031 2.2977743 2.3165637 2 3211276 2.3223053 2,3226235 2,3227126 2.3227381 2,3227456 2.3227477 2.3227485 ф 6!) 385 коогдинатнля Рвллксация Х'=с,Х+с,е,+ ...
+с„е„. (20) Тогда (АХ', Х') =,~~ Т;)с;еу, се-о (21) где Тш — — (АХ, Х) Т„=(АХ, е,) =(Х, Аег) =(Х, А,) Т; =(Аеп е))=аы (1, 7= — 1, 2, ..., г). (22) Здесь через А, обозначен ю'-й столбец матрицы А. В свою очередь (23) (Х', Х') = ~ Цсзсю йе.о где ~, = (Х, Х) = х";+ ... + х'„ ~о,=(Х, е) =х; ры — — (ео е.)=о0 (1, /=1, 2, ..., г), (24) о; — символ Кронекера. Обозначим Г=(ТВ) В =-(3„.). (25) Легко видеть, что максимум р (Х') равен наибольшему корню р' уравнения ~г — гв~=о, (26) а вектор, реализующий этот максимум. есть решение линейной однородной системы с матрицей à — и';В.
Полученное решение целесообразно нормировать так, чтобы со.=1. Таким образом, один шаг групповой координатной релаксации равносилен решению частичной обобщенной проблемы собственных значений для матрицы г+ 1-го порядка. Однако обобщенная проблема в данном случае легко сводится к обычной. Лля этого в подпространстве, натянутом на Х, е,, ..., е„ выби- Х раем ортонормальный базис л==, е,, ..., е,, где Х=(0,0, ...,О, ~х~ ' х„+,, ..., х„)'. Будем рассматривать вектор, реализующий максимум отношения Релея в виде (27) Х'= ео2+е,е,+ ... +е„е„. ео ..., е„ надпространство Я и будем искать максимум р (Х') в этом подпространстве.
Пусть Тогда г,' аиага) (АХ', Х') еа а (Х',Х) =, + [,а ааа = (АЛ. А.) ао~ = а'о = (2 А~) а; =он пРи Г,2=1, ..., г. (28) где (29) ПозтомУ числа за, ..., з, Явлаютса компонентами собственного век- тора матрицы аоо ао1 ааг а|а ап ° а|а (ЗО) ага аг! ° агг соответствуюшего наибольшему собственному значению, Это последнее и равно искомому максимуму.
Таким образом, з выбранном базисе каждый отдельный шаг метода групповой релаксации требует решения частичной проблемы собственных значениИ для матрицы порядка г+1. Метод групповой координатной релаксации имеет смысл применять лишь для матриц большого порядка. 9 62. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора 1. Метод Дерведюэ. ') Пусть Л и У суть приближенные значения для некоторого собственного значения мзтрицы А и принадлежашего этому собственному значению собственного вектора. Обозначим через Л'=Л+ДЛ и У*= — У+ДУ точные значения того и другого. Пусть АУ вЂ” ЛУ= г. Для определения Дл и ДУ имеем нелинейное уравнение АУ* = Л*и* или (2) А (и + ду) = (л+ дл) (у + ди). Отбрасывая члены 2-го порядка малости, получим Аи+ А ди = ли+ длу+ л ди или, принимая во Внимание (1), .+Ади — дли — лди=о.
') Д е р в е д ю э [2 [. 666 ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [гл. ч 9 62! УТОЧНЕНИЕ ОТДЕЛЬНОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ 387 Без нарушения обшности можно считать, что первая компонента вектора Ь(7 равна О, ибо собственный вектор с7" определен с точностью до постоянного множителя. Записав равенство (3) в компонентах, мы получим систему и линейных уравнений с и неизвестными 5Л, Ьпа, ..., Ьи„. Эта система имеет вид — л, 5Л+ а1а Ьиз+ ... + а„, Ьи„= — г, — и, 5Л+(пее — Л) Ьие+ ...
+ ламами„= — га (4) — и„ЬЛ+ а„, Ьиа+ ... + (а„„вЂ” Л) Ьа„— г„. 0.422908 5,711900 ~ 4.4!9313 0.00420498 — 0.05926046 0.06303143 — 1 1.870086 83 4472 5.578346 — 7.91426 4.308033 1.297199 19.375706 0.8761174 — 0.422908 — 0.00420498 9,156367 — 0.02501208 1.072309 0.02975214 — 1.870086 20.809673 — 10.492314 — 1.297199 29.941029 — 9.390253 1.438804 5.706124 — 0.00120195 0.01714090 1 ОА400053 5.6889803 0.00301300 — 0.0025277 — 0.0076578 1.0030130 0.9974724 0.9923423 Таким образом, ЬЛ = — 0.007658, Лиг = 0.00253, Ьиэ = 0 00301э и потому мы получаем уточненные значения Л, = — 17.397658, (/, = (1.00000, — 8.14725, 7.91727)'.
Полученные значения уже значительно ближе к точным (см. 3 53). 25ь Найди ЬЛ, диа, ..., Ьи„, можно повторить процесс. В качестве примера уточним собственное значение н принадлежащий ему собственный вектор для матрицы примера 2 9 53. На странице 333 было найдено, что Л,= 17.39 и (7,= — (1.00000, — 3.14472, 7.91426)'. Вычисляя невязку, получим г=( — 0.00420498, 0 0592605,— 0 0630314)'. Ниже приведено решение системы для определения ЬЛ, Ьиа и Ьи, по методу единственного деления 366 члстичнля пговлвмл совстввнных значений (гл. ч 2. Метод Виландта, Для уточнения отдельного собственного зна- чения и принадлежащего ему собственного вектора можно применить следующее видоизменение степенного метода, впервые предложенное Виландтом '), Пусть р есть приближение к собственному значению 1 матрицы А, 1 которому соответствует собственный вектор У.
Тогда число э =в Х вЂ” и будет собственным значением для матрицы В=(А — рЕ) ', которому будет соответствоззть, как это не трудно проверить, собственный вектор У. Остальными собственными значениями для матрицы В будут 1 и если р достаточно близко к )„то т будет значительно ь,— и преобладать над остальными собственными значениями матрицы В. Поэтому применение степенного метода с матрицей В уже при не- большом количестве итераций даст хорошее приближение для числа т.
Собственное значение ) найдется по формуле Л=р+ 1, (б) 11терации матрицей В=(А — БЕ) требуют либо фактического обращения матрицы А — рЕ, либо менее трудоемкого решения системы линейных уравнений (А — рЕ) У;= Уг о (6) дающее' сразу итерацию вектора У;, матрицей В. За вектор Уе следуе~ брать известное приближение к собственному вектору, Определитель матрицы А — рЕ будет близок к нулю и система (6) окажется плохо обусловленной. Однако характер плохой обусловленности здесь будет таким, что с малой точностью определяются абсолютные значения компонент вектора Уо но отношения компонент этого вектора будут, как правило, определяться с хорошей точностью.
Для вычисления же компонент собственного вектора только это и нужно, так как последние определяются лишь с точностью до скалярного множителя. Возможна еще одна модификация процесса, в которой итерации получаются в результате решения системы (А — р,Е) и,= У,, где р; есть приближение к собственному значению Х, уточненное на предыдущем шаге. Это дает ускорение сходимости процесса. Правда оно мало существенно, так как процесс и без него сходится очень быстро. Заметим еще, что при р очень близких к ) решение системы (А — „Е) У,=У,, т) 6 оде ни г»6», стр. 293 — 294. ~ 62) вточнение ОтдельнОГО сОБстВеннОГО значения 389 почти не отличается от решения однородной системы (А — рЕ) (7 =- 0 (9) 11,8801! 8 0.287865 ! 0.049099 ~ 0.03559796 5.70! 6526 4.4175652 1 0.15741308 0.08417425 1.2771853 — 8.1642308 3.070454 ! 7.905867! 16.6237365 5.5330323 4.3003042 1 1.0304751 (~ — 1.4755437 — 0.01379120~ 14.251154 0.5549315 14.237362 ' — 1033.3512 1063.367! ( — 130.5185 †10.3512 1064.3671 — 129.5! 85 1 1 получим, что Сl, =(1.0000, — 8.14725, 7.9!728)' н — =- — 0.007655 т (или — 0.007655, — 0.007662).
Это дает ),.= — 17.397655. Вектор У, также значительно ближе к собственному вектору. чем (I . 3. Метод возмущений. Метод возмущений разработан для ограниченных операторов в Гильбертовом пространстве'). В применении к матрицам он в основном заключается в следующем. Г) г, й е ! ! ! с Ш Мабь Апп., 1936, ! 13 (4), 600 — 619. М. К. Г а в у р н н. Вести. Ленингр. ун-та, 1952, 9, 77 — 95. для координат собственного вектора. Собственное значение т определяется как отношение соответствующих компонент векторов (7; и (7;,. В силу указанной выше плохой обусловленности системы, зти отношения определяются с не- 1 вьшокой точностью, но это не портит дела, так как число — играет 1 роль малой поправки в формуле ).=9+ — для определения собт стае><ного значения матрицы.
Метод Виландта проиллюстрируем на примере предыдущего пункта. Пусть р= — 17.39, (7а=(1.00; — 8.14; 7.91)'. Решая по методу единственного деления соответствующую систему 390 ЧАСТНАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (гл. ч Пусть симметричная матрица Ао имеет простое собственное значение )„ и соответствующий ему собственный вектор Х . Обозначим через й матрицу, определенную условиями й(Ао — А„Е) У =- У при любом У, ортогональном к Х,, и йХо = О.
Матрица й существует, ибо оператор с матрицей Ао †) Г будет невырожденным на подпростраестве, ортогональном к вектору Х,, Пусть А некоторзя другая симметричная матрица, ) ее собственное значение и Х соответствующий собственный вектор, причем (Х, Х,) зн О, что позволяет считать, без нарушения общности, что Х.== Х„+А, прн (А, Х,) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
