Беркинблит, Глаголева - Электричество в живых организмах (Квант) - 1988 (947484), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. сопротивление схемы, подобной той, которая изображена на рис. 32, но с бесконечным числом звеньев. Обозначим это неизвестное нам сопротивление через Л„. Каждый кусочек кабеля можно ааменить двумя проводниками (см. ряс. 32, б). Сопротивление кусочка жилы вычисляется Лг по известной формуле А =р — и равно р, — „,, где р;— удельное сопротивление вещества жилы, а — радиус жилы. Сопротивление соответствующего кусочка оболочки вычисляется по той же формуле, но длина > проводника в этом случае равна б — толщине оболочки, а площадь сечения Я вЂ” это площадь боковой поверхности цилиндра Ь 2яа Лх: значит, это сопротивление равно р 2 .
Вы'" 2иааг ' ражения —, н р — ) называются совротнвлениями >килы и оболочки на единицу длины кабеля соответственно и обозначаются г; и г (нх смысл ясен: сопротивление единицы длины жилы и оболочки). Значит, сопротивление кая;- дого ответвления равно гь,!Лх (г, деленное на Гьх, потому что площадь оболочки пропорциональна длине); сопротивление участка жилы длиной, Г>х равно, естественно, г, Ьх.
Если отрезать от кабеля одно звено (отделено полукругом на рис. 32, а), то, так как кабель бесконечный, оставшаяся часть будет иметь такое же сопротивление, как и исходный кабель, т. е. В„. Значит, весь кабель можно представить в виде простой схемы. Эта схема состоит иа двух параллельно соединенных ветвей (см. рис. 32, б): сопротивление одной ветви равно сопротивлению участка оболочки г„,/Лх, сопротивление другой ветви равно сумме сопротивления кусочка жилы *) Удельное сонротивление мембраны Вге, о котором говорилось е гл.
3, — ото нронаеедение удельного сопротивления материала мембраны на ее толщину: йт = Ре~б 126 г,гьх и последовательно присоединенной оставшейся части кабеля с искомым сопротивлением Л„. Общее сопротивление такой схемы, тоже равное Л„, вычисляется, как обычно при параллельном соединении сопротивлений, из $ $ ( соотношения — = — + —, т.
е. в нашем случае Л Л«)7» ( ( $ — + Преобразовав зто равенство, получим г гж г, + ˄— = — Л„г«ты+ Лт + Л„ или г г, = Лх г;()х+ Ла. В етом равенстве членом с йх можно пренебречь, так как длину отрезанного участка можно сделать сколь угодно малой. Получаем, что г гг = = Лвю откуда окончательно Л ='г'г '" Л = — фг "Р (61) 3 а меч а н и е. В вашем выводе выражения «можяо пренебречь», «сколь угодно малая» можно сделать строгими, если использовать термины и аппарат дифференциального исчисления.
Мы но прибегли к нему потому, что в ваши цели ве входило доказательство того, что сопротивление кабеля ковечпо: мы только хотели показать, как его можво вычислить. Поатому вам хочется привести едесь два авалогичиых приема, которые если и ие могут устоять против требовавия абсолютной строгости, то полезны практически. Первый пример: обращение бесконечной периодической дроби в обыквовеикую.
Пусть дана дробь 0,(57)... Обозначим ее через х, т. е. х = 0,(57)... = 0,575757... Ясно, что (00х = 57,575757 = = 57 + х. Значит, 99х = 57, откуда х = 57!99 = (9IЗЗ. Как ввдите, здесь тоже «бесконечность» дроби ие помеха, а скорее преимущество: выражение для дроби 0,575757 (беа мвоготочия) ве проще, 575 757 а, пожалуй, сложнее: Второй пример: вайдем формулу суммы бесконечно убывающем геометрической прогрессии: ,«(Ч») (,в Ясно, что дл' = д+ т«+ «л + ... + д" + ..., откуда 8 — дб = (, и окончательно Б = П(1 — д).
Физический смысл формулы (6.1) состоит в следующем: если к бесконечному кабелю прилеп«ить напряжение )г, то по кабелю потечет ток, сила которого Е определяется по ванону Ома: 1=)г/Л„=)гДГг;г . (27 На первый взгляд, все происходит так же, как в обычном сигнальном устройстве, например дверном звонке,— там тоже по проводам течет ток силой 1 = 'г'ЕЛ. Но стоп! О каком именно токе идет речь? В звонке в любой точке цепи сила тока одна и та же.
А для кабеля существенно то — н в этом его отличие от провода,— что изоляция не является идеальной, и поэтому ток (увы!) течет не только яо жиле, но постоянно на каждом участочке вытокдет через изоляцию на обратньп» провод. Достаточно очевидно, что сила тона 1 = ох?у' г,г может регистрироваться только в самом начале кабеля, а дальше сила тока, текущего по жиле, будет убывать. Сигнал убывает и убывает Нтобы выяснить, по какому закону будет убывать ток, рассмотрим опять маленький кусочек кабеля, т. с. одно «звено» нашей схемы. Сила тока убывает потому, что в кан«дой точке кабеля ток «разветвляется»: одна часть идет через изоляцию, а другая — дальше, в оставшуюся часть кабеля. При этом силы токов, идущих по ветвям, как всегда при параллельном соединении, об- ЛЕ ратно пропорциональны сопротивлениям, т.
е. . Это равенство означает, что в каждой точке /Лх т кабеля утечка составляет определенную долю тока, текущего в этой точке по кабелю. Значит, сила тока в кабеле убывает в некотором смысле равномерно: на участке некоторой длины «теряется одна и та же доля тока. Попробуем выразить закон убывания силы тока формулой. Пусть на участке длиной 1 утечка составляет 50%.
Если обозначить входной ток через 1», то ясно, что 1(0) =Ео 1(М) =0,5.1, 1(2() =0 5'Ео 1(З() = 0,5'1,. 1(а)=0,5хл.1, илн 1(а)=1«'2 хд. Получается, что значения силы токов на границах участков образуют геометрическую прогрессию. Таким образом, закон изменения силы тока в кабеле выражается показательной функцией, причем основание а здесь зависит от выбора параметра г, так скааать, единицы длины. Если бы мы выбирали в качестве а участок, на котором сила тока убывает не в два раза, а в а раа, то полУчили бы фоРмУлУ 1 (х) = 1а.(1/а)хд или 1 = 1 ° а-"~'.
В математике в качестве основания показательной функции выбирают число е — основание натуральных логарифмов, равнее примерно 2,718... Тогда наш закон выразится формулой (6.2) 1(х)=1а е 1ь (здесь г. — ато то расстояние, на котором сила тока в кабеле убывает в е раз). Эту формулу можно получить проще, если использовать дифференциальное исчисление. Более того, тогда мы можем найти величину параметра Х.
Действительно, переписав формулу со с. (28 в виде ЛХЫх= — 1гггггг 1 (х) и перейдя к пределу, мы получим Г (х) = — )г ~.,~т,„1 (х) (знак «минус» тут появился потому, что Л1 отрицательно, так как ток убывает). Другими словами, искомая функция удовлетворяет дифференциальному уравнениюг у' = = — гау.
Решением такого дифференциального уравнения является функция вида Се "х (это доказывается в школьном курсе), т. е. в нашем случае -х рг г,.~г (6.8) Сравнив формулы (6.2) и (6.3), мы видим, что параметр Х оказывается равным у'г (гп т. е. выраягается через сопротивления изоляции и сопротивление жилы кабеля: 2 = — = = —, (6.4) Величина Х называется константой затухания; формула (6.4) дает ее зависимость от удельных сопротивлений изоляции и жилы и от радиуса жилы кабеля. Так как напряжение в любой точке кабеля по закону Ома равно Р = 1 К„то для убывания разности потенциалов вдоль кабеля получаем Г(х)=1(х) Вх=1айхе-хд=7ае хР, (6.5) Таким образом, разность потенциалов на оболочке каэеля (т.
е. сдвиг МП для нерва) такяее убывает вдоль кабеля по экспоненте. Эти формулы (и многие другие) были получены з7. Томсоном и легли в основу теории, которая дала возможность провести все нужные инженерные расчеты. Так была решена проблема устойчивой трансатлантической телеграфной связи. Формулы (6.4) и (6.5) получены для кабеля бесконечной длины; реально таких кабелей, естественно, не существует.
Однако простой расчет показывает, что если длина кабеля в 10 — 20 раз превышает его константу затухания, тэ практически такой кабель можно считать бесконечным, Нервное волокно — бесконечный кабель Вернемся теперь к нервам. Злектрическую структуру нервного волокона в принципе угадал еще Гальвани. (Правда, он рассуждал о целом нерве, а не о составляющихегоотдельных нервных волокнах.) Он писал, что внутри нерва имеется проводящая среда, окруженная наолнрующей оболочкой, подобно проводу от электрической машины, заизолированному воском. С помощью специальных химических экспериментов Гальвани пришел к правильному выводу, что изоляция нерва образована жироподобными веществами. Дальнейшее изучение стросния улье отдельных нервных волокон подтвердило догадку Гальвани. А в 1946 г.
Ходжкин и Раштон экспериментально показали, что такис одиночные волокна, как гигантский аксон кальмара, ведут себя подобно бесконечному кгбелю, т. е. к ним полностью применима теория Томсона. Они вводили в аксон микроэлектрод и пропускали чер~ э него ток, создавая в этой точке изменение мембранно;о потенциала. С помощью второго микрозлектрода мно1ократно измеряли равность потенциалов на мембране па разных расстояниях от первого электрода (рис.
33, а). Потенциал действительно спадал по экспоненте. Константу затухания можно найти непосредственно по графику спада потенциала (рнс. 33, б). Оказалось, что длина аксона кальмара во много раз больше его константы затухания. После этого Ходжкин и Раштон провели расчеты, которые были, так сказать, обратной задачей по сравнению с первым приложением теории Томсона. Прн расчете трансатлантического кабеля нужно было, зная удельные сопротивления материалов жилы н изоляции кабеля, рассчитать его параметры (диаметр жилы, толщину изоляции). Здесь же был готовый кабель — аксон, но удельные сопротивления его оболочка — мембраны и жилы — аксоплазмы были неиз- вестны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
