ilin1 (947407), страница 99

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 99)

е. при совпадении направления е с направлением пгаб и, причем производная ди/де в этом направлении равна !йтаб и!. Доказанные два утверждения позволяют утверждать, что градиент не зависит от выбора системьи координат (ибо и направле- ' Этот факт устанавливается в аналитической геометрии. се* С помощью равенства (12.37) убедимся, что градиент функции и=((х, у, г) в точке Мв характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке Ме.

Точнее, докажем два утверждения: 1) производная функции и=((х, у, г) в точке Ме по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной и этой точке по любому другому направлению: 2) значение производной функции и=((х, у, г) по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке, равно ~йгаб и~, т. е. равно длине вектора пгаб и в данной точке. Для доказательства указанных двух утверждений заметим, что скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними*.

Поэтому выражение (12.37) можно переписать в виде — = !е! !атаби! соз~р, ди де Гл. 12. Функции нескольких переменных ние, и длина вектора нгаг(и в каждой данной точке инвариантны относительно выбора системы координат). Для выяснения геометрического смысла вектора дгао(и целесообразно ввести понятие п о в е р х н о с т е й у р о в н я функции и=/(х, у, г), понимая под этим термином те поверхности, на которых функция и=/(х, у, г) сохраняет постоянное значение, т.

е удовлетворяет соотношению 1(х, би, г) =с=сопи(. Если в каждой точке Мо(хо, у, го) поверхности уровня /(х, у„ г) =с построить касательную плоскость, то легко убедиться в том, что нормальным вектором такой плоскости будет являться вектор (12.36), т. е.

йтас)и". Отсюда следует, что вектор атаби в каждой точке М повсрхности уровня 1(х, у, г) =с ортогонален к этой поверхности. Совершенно аналогично определяются производная по направлению и гб1тадиент для дифференцируемой в данной точке Мо(х1о, хто,...,х,„) функции т переменных. ди Для такой функции производная — в данной точке де Мо(х1', хз', ...,хо„) по направлению, определяемому единичным вектором е=(созаь совах,...,сова ) оч, вводится как обычная производная по переменной 1 сложной функции и=/(х~о+ +1созаь хто+1созаз, ...,хо +1соза ) взятая в точке 1=0. Для любой дифференцируемой в данной точке Мо(х,о, ХР, ... ...,х' ) функции и=/(хь хж ...,х ) производная в этой точке по направлению, определяемому вектором е= (сов аь соз аь ..., ..., соз а ), равна — = — (М,) соз а, + — (М,) соз ах +...

+ — (М,) соа сс . ди ди ди ди до дх, ' ' дх, дх,„ (12.35о) Градиентом дифференцируемой в данной точке Мо(хго, хзо,.- ...,хо ) функции и=Дхь хз,...,х ) называется вектор, обозна- * Напомним, что нормальным вектором плоскости называется ненулевой вектор, перпендикулярный к этой плоскости. В п. 3 настояшего параграфа было установлено, что для поверхности, определяемой уравнением /(х, у) =2, нормальный вектор касательной плоскости в каждой точке этой поверхности имеет вид ( д/ д/ — — , — 1), Аналогично устанавливается, что для поверхности, опредедх ду ляемой уравнением Ях, у, 2) -с, нормальный вектор касательной плоскости в / д/ д/ д/ каждой точке этой поверхности равен ~ — ° — ° — = агади. дх Иу да / *' Так как все координаты единичного вектора по модулю не превосходят единицы, то для каждой нз этих координат найдется угол а; такой, что соответствуюшая /=я координата равна сов по (при этом можно считать, что 0<а,<п).

Таким образом, единичный вектор е можно записать в виде (сов он созпа, .-. ..., соза ). Величины сов по созаа, ..., созе принято называть направляющими косинусами. 485 й 5. Производные и дифференциалы высших порядков чаемый символом пгаб и имеющий координаты (' — '" (М„), ди (М,),..., ~'.(М,)), ( дхх дкэ дх Так как скалярное произведение двух векторов пространства Е" равно сумме произведений одноименных координатэтих векторов, то равенство (12.35") позволяет утверждать, что ди — .=- (е, нгаг) и) . де . Из неравенства Коши — Буняковского, справедливого для двух любых векторов пространства Е'" ", вытекает, что — "~ ((е! (атаби! = (Егас)и), !" де причем знак ~( переходит в знак = только в случае, когда векторы е и йтас( и коллинеарны.

Отсюда следует, что вектор вагаб и и в пространстве Е" обладает теми же двумя свойствами 1) и 2), что и в пространстве Е'. Заметим, что в случае функции и=)(х, у) двух переменных х и д единичный вектор е, определяющий направление в точке Мз, имеет координаты сова и з(па. Поэтому в указанном случае формула (12.35) принимает вид ди ди ди — = — соз а -(- — а(п а. де дх др й 5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1.

Частные производные высших порядков. Пусть частная проди изводная — по аргументу х» функции и=)(хь хз,...,хю), опредхг деленной в области (М), сушествует в каждой точке области (М). В этом случае указанная частная производная представляет со- * Для любых двух векторов а и Ь пространства Е справедливо неравенство Коши — Буняковского (а, Ь)э((а, а)(Ь, Ь) или, что то же самое, 1(а, Ь)1<( ( )аПЬ), причем в этом неравенстве знак ( переходит в знак = только в случае, когда векторы а и Ь коллннеарны В самом деле, при любом вещественном Л справедливо неравенство (Ла — Ь, Ла — Ь) =Лз(а, а) — 2Л(а, Ь)+(Ь, Ь))0, причем в этом неравенстве знак ~ )переходит в знак = только в случае, когда вектор Ла — Ь являегся нулевым, т. е. когда а и Ь коллинеарны.

Исключая случай нулевого вектора а, когда доказываемое неравенство заведомо справедливо со знаком =, мы можем утверждать, что дискриминант квадратного трехчлена Л'(а, а) — 2Л(а, Ь) + (Ь, Ь) удовлетворяет неравенству 4((а, Ь)' †(а, а)(Ь, Ь))(0, причем в этом неравенстве знак ~ (переходит в знак = только в случае, когда векторы а и Ь коллниеарны.

4зб Гл. !2. Функции нескольких переменных бой функцию переменных хь хь ..., х, также определенную в области (М). дц Может случиться, что эта функция — имеет частную продх, изводную по аргументу хь в некоторой точке М области (М). Тогда указанную частную производную по аргументу хк называют второй частной производной или частной производной второго порядка функции и=)(хь хь ..., х ) в точке М сначала по аргументу хь а затем по аргументу хь и обозначают одним из следующих символом: д'и гв рл д „д ' ~ "е"ь' и х х; д'и При этом если 1~й, то частная производная назыдхьдхе вается с м е ш а н н о й частной производной второго порядка.

После того как введено понятие второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и т. д. Если предположить, что нами уже введено понятие (и — 1)-й частной производной функции и=)(хь хь ...,х ) по аргументам хь хь,...,х~„, (отдельные или даже все номера которых могут совпадать) и что эта (и — 1)-я частная производная имеет в точке М частную производную по аргументу х;„, то указанную частную производную называют л-й ч а с т н о й и р о и з в одно й (или частной производной п-го порядка) функции и= =)(хь хь...,х ) в точке М по аргументам хь, хп, ...,х~„.

Таким образом, мы вводим понятие и-й частной производной индуктивно, переходя от первой частной производной к последующим. Соотношение, определяющее п-ю частную производную по аргументам хп, хь,..., х;„,х~„имеет внд д"и д У д" 'и дх дх~ ... дх, дх дх; ~ дх ... дх. дхь л ель и и Если не все индексы 1ь ьь ..., 1 совпадают между собой, то д'и частная производная д д д называется с м е ш а н н о й дх ...

дх;дх; л частной производной и-го порядка. Так как частная производная функции по аргументу х; определяется как обыкновенная производная функции одной переменной х; при фиксированных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных производных высших порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого порядка. В качестве примера вычислим частные производные второго порядка функции и = агс1к — . а 5 Проиэводиые и лиффереипиалы высших порядков 487 Имеем у глг х ду хе+ уй дх хе+ уй дги 2ху дйи хй — у' д ду (хе+у )й дх (х' + у')' х — у й й дйи 2ху дудх (х'+ у')' дуй (х'+ у')' ху у при хй + уйФ О, хе+ уй 0 при хй+ у' = 0 в точке (О, 0) существуют, но не равны друг другу.

Действительно, + У ) при хе+уй~О, ( + у')' дх 0 при х'+уй=О Поэтому !. — —. ди .г-о, кгйю дх !х=ю. х=о 1. д'и дх = 1(ш дудх )х=ю.ю=ю у ю дги =1 дхду )х=о, х=ю Проводя аналогичные вычисления, получим д'и д'и Таким образом, в точке (О, 0) — Ф вЂ”. дхду дудх Выясним достаточные условии независимости значений смешанных производных от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Введем важное понятие функции т переменных, и раз дифференцируемой в данной точке.

О п р е д е л е н и е. Функция и=)(хь хы ..., х ) называется и раз дифференцируемой в тачке М,(х1ю, хг', ...„х ю), если все ее частные производные порядка и — 1 являются дифференцируемыми в этой точке функциями. Из этого определения вытекает, что если функция и=)(хь хй, ... ..., х ) и раз дифференцируема в точке Мю, то при п)1 любая ее В рассмотренном примере смешанные частные производные дйц д'и — н — равны друг другу. Вообще говоря, значения смешандхду дудх ных производных зависят от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Убедимся, например, что дйи дйи смешанные частные производные — и — функции дудх дхду Гл. 12. Функции нескольких переменных частная производная первого порядка и — 1 раз дифференцируема в точке Мо, при п)2 любая ее частная производная второго порядка и — 2 раз дифференцируема в точке М, и т. д. Укажем достаточное условие и-кратной дифференцируемости функции в данной точке. Для того чтобы функция и=[(хь хя ..., х ) была и раз дифференцируелюй в точке Мо(х~о, хто, ..., х„„'), достаточно, чтобы все ее частные производные и-го порядка были непрерывными точке Мо.

Справедливость этого утверждения вытекает из определения дифференцируемости функции и теоремы 12.10 о достаточных условиях дифференцируемости. Теорем а 12.13. Пусть функция и=1(х, у) дважды дифференцируема в точке Мо(х,, уо). Тогда в этой точке частные производные „а> и )н а> равны. о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция и= 1(к, у) дважды диффеРенциРУема в точке Мо(хо, Уо), то частные пРоизводные 1 ' и 1„' определены в некоторой б-окрестности точки Мо и представляют собой дифференцируемые функции в этой точке. Рассмотрим выражение Ф=((хо+Ь, уо+Ь) — Р(хо+Ь, уо) — )(хо, Уо+Ь)+7(хо, Уо), (1233) гДе Ь вЂ” любое столь малое число, что точка М(хо+Ь, Уо+Ь) находится в указанной у-окрестности точки Мо. Выражение Ф можно РассматРивать как пРиРаЩение Ь~Р=Ф(хо+Ь) — сР(хо) ДиффеРенциРУемой на сегменте[хо, хо+Ь[ фУнкЦии со(х) =[(х, Уо+Ь) — 1(х, Уо) одной переменной к.

Характеристики

Список файлов книги