ilin1 (947407), страница 102
Текст из файла (страница 102)
° а хлз+ В (х!л хлз)) ° (12.57) С л еде т в и е. Если функция и=)(х!, хя, ..., х ) удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 12.15, и, сверх того, все частные производные этой функции порядка и+! непрерьзвны в рассматриваемой е-окрестности точки !з(о, то остаточный член„ т. е. последний член в формулах (12.50) и (12.57), может быть.
записан в виде ! МФ л+1 — ) (1 — 1)л ['~'(х; — х;) — ~ х !о 1=! Х 1(х!+1(х, — х!), ха+1(х,— хо),..., х,„+1(х,„— хы)) й. Такую форму остаточного члена естественно назвать интег р а л ь н о й. Для получения формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме следует записать в интегральной форме остаточный член в формуле Тейлора для функции одной переменной Е(1), рассмотренной при доказательстве теоремы 12.15, т. е. воспользоваться результатами п.
4 0 4 гл. 9. В рас- причем в формулах (12.55) йх и йу находятся из соотношений. (12,54) при сЫ=Ь1=1 — 0=1. Таким образом, в формулах (12.55) йх=ЖЬх=Ьх и йу=й1Ьу=Ьу. (12.56) Подставляя сРи)1, и й"++и)ь+о!! !,! из (12.55) в формулу (12.53) и учитывая соотношения (!2.56), мы получим формулу Тейлора, (12.50) . Приведем развернутое выражение формулы Тейлора (12.50)! длЯ фУнкции и=7(хь хь ..., х,„): .оОО Гл. 12. Функцнн нескольких переменных ! сматриваемом случае указанный остаточный член имеет вид ! ( Ры+и (1) (1 1)лй( и! 3 о Это и приводит нас к написанному выше выражению остаточного члена для функции и=1(хь хм -., х ).
4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Те о р ем а 12.15'. Пусть и) 1 — целое число, функция и= =1(М) =1(хь хз, ..., х ) задана и п — 1 раз дифференцируема в :е-окрестности точки Ме(х,е, х,о, ..., х о) и и раз дуфференцируема в самой точке Ме е.
Тогда для любой точки М из указанной е-окрестности справед.лива следующая формула: 1(м)=1(ме)+ — йи~ + — йзи~ + ... + ! й"и~ +о(р"), (12.58) в которой через р обозначено расстояние р(мо, М), а символ о(р") обозначает бесконечно малую при р- 0 (или при М- Ме) функцию более высокого порядка малости, чем р". Формула (12.58) называется формулой Т ей л о р а (с цент!ром в точке Ма) с остаточным членом в ф о р м е П е а н о. За меча н и е. В более подробной записи формула Тейлора (12.58) имеет вид 1(хт, х, ° ° °, х ) =1(х! хз, ° ° ° х )+ Ч-Ч! Г о д а д + ~,— ~~(х,— х,) — + ...+(х.— х.) — 1х а=! х 1(хоз, хт, ..., хо)+о(Р"). (12.59) Заметим, что в правой части (12.59) стоит сумма многочлена степени и от т переменных хь хз, ..., х и остаточного члена о(р").
Обозначим через у„(М) разность между 1(М) и указанным !многочленом, т. е. положим д„(м) =1(м) — 1(м.)— — ~~ — ~(х,— х!) — + ... + (х — х ) — ~ 1(м,). (12.60) А1 'Г дхт дхун ~ а ! Теорема 12.15е будет доказана, если мы установим, что при выполнении условий этой теоремы д (М) =о(р"). ь Прн п=1 следует требовать, чтобы функцнн и=1(М) была только задана а! е-окрестности точки Ме н днфференцнруема в самой точке Мм $5. Производные и дифференциалы высших порядков 501 Доказательству теоремы 12.16* предпошлем две леммы. Л ем ма 1.
Если функиия 1(М) =1(х1, хь ..., х ) и раз дифференцируема в точке Ме(х1о, хво, ..., х„'), то как сама функция у„(М), определяемая равенством (12.60), так и все ее частные производные по любым переменным хь хь ..., х до порядка и включительно обра1цаются в нуль в точке М, ,Д о к а з а т е л ь с т в о. При и = 1 функция (12.60) принимает вид кс (М) =- 1з (М) — 1з (Ме) — (х — хо1) — (Ме) — ...
— (х,„— х ~) — (Ме), д1 о д1 хз х„, и равенства дз(М ) =О, з (М,) =0 при всех 1=1, 2, ..., пз продх; веряются элементарно. Для проведения индукции предположим, что лемма справедлива для некоторого номера п~1, н докажем, что в таком случае она справедлива и для номера и+1. Пусть функция 1(М) и+1 раз дифференцируема в точке Ме и у„+1 (М) = л+1 =1(М) — 1(М,) — в„, — 1(х,— х1) — + ... + (х — х ) — ~ 1(М,). (12.61) Равенство у„+1(М) =0 проверяется элементарно (достаточно учесть, что каждая круглая скобка (х; — хзе) в (12.61) обращается в нуль в точке Мо). Нам остается доказать, что для любого 1=1, 2, ..., т сама функция ~"+' (М) и все частные производные этой функции до дкз порядка и включительно обращаются в нуль в точке Ме, а для этого в силу сделанного нами предположения о справедливости леммы для номера и достаточно доказать, что функция л+' (М) дхс определяется равенством типа (12.60), а точнее, равенством дя д1 д1 — (М) - — (М) — — (Ме)— дкз дхв дк.
л — ~ — ~(хз — х',) — + ... + (х„— хо) — ~ — (М,). (12.62) А1 ! ' дхз лз дхл ! дхе й-1 Так как все переменные хз (1= 1, 2, ..., т) равноправны и входят в выражение для д чч(М) симметрично, то достаточно доказать равенство (12.62) для 1=1, т. е, доказать равенство 502 Гл.
12. Функции нескольких переменных де„+, дУ дУ вЂ” (М) = (М) (Мо) дхь дхь дхх — ~' — [(х,— хо) +... -1-(х — хо) " (Мо) (1263) Ы 1 ' дхь дх„,~ дхь ь=! Из (12.61) очевидно, что для доказательства (12.63) достаточно убедиться, что для каждого номера я=1, 2, ..., п+1 при фикСИРОВаииых ХЬ ХО, -., Хен — [(»,— ') — +(,— ) — +."+( — ) — ~ 1(М.)= Г д о д о д дх, ~ 1 дх, е дхе дхм = й [(х, — хо) — + (х, — х ) — + ...
+ (х — х ) — — (М,). дхд е дхе дхм ~ дхд (12.64) Так как при дифференцировании по х1 переменные хь хо, ... ..., х фиксированы, то величину Р=(х,— х ) — +... +(х — х )— дхе дхм при дифференцировании по х1 можно рассматривать как постоянд д ную. К этому следует добавить, что поскольку символы —,—, дхь дхе — используются для образования частных производных д дх„, функции 1 в фиксированной точке МФ то при дифферен- цировании по хо указанные символы нужно рассматривать как по- стоянные величины.
В силу сказанного для доказательства равенства (12.64) доста- точно убедиться в справедливости равенства — ~(х,— хо) — + Р ~ =я — ~(х,— хо) — + Р), (12.65) дхь [ дхь 1 дхь [ дхь д х(ифференцируя функцию [(хе+ хо) — + Р~ по х1 как дхь сложную и учитывая отмеченную выше независимость от хо симд волов Р и —, мы получим равенство (12.65). Индукцня завердхь шеи а. Лемма 1 доказана. Л е м м а 2.
Пусть д(М) =д(хь хь ..., х ) — произвольная функция, удовлетворяющая двум требованиям: 1) д(М) и раз дифференцируема в точке Мо(х1о, хео, ..., х Р); 2) сама функция д(М) и все ее частные производные по любньм. переменным хь хь ..., х до порядка и включительно обращаются й б. Производные и лифференниалы высших порядков в нуль в указанной точке Ме. Тогда для функции д(М) справедлива оценка К(М) =о(р"), (12.66) в которой через р обозначено расстояние р(М, Ма) между точка- миМ и Ме. Д о к а з а т ел ь ст в о.
При а=1 утверждение леммы вытекает нз условия днфференцируемости* функции п(М) в точке Ме, кои тоРое имеет вид У(М) — Д (М,) = » — (М )(хг — хе)+о(Р). с.ч ду дхг 1=! дя Учитывая, что д(Ме) =О, ~ (М„)=0 для всех 1=1, 2, ..., гп мы дхг н получим, что д (М) = о (р) . Для проведения индукции предположим, что лемма 2 справедлива для некоторого номера п»1, и докажем, что в таком случае она справедлива и для номера и+1. Пусть функция у(М) удовлетворяет двум требованиям леммы 2 дл я номер а и+1.
Тогда, очевидно, любая частная производная этой функции первого порядка — (М), 1=1, 2, ..., пз, будет ду дхг удовлетворять двум требованиям леммы 2 д л я н о м е р а и, а потому (в силу сделанного нами предположения о справедливости леммы 2 для номера и) будет справедлива оценка — (М) = о (р"). (12.66*) дх; Заметим теперь, что поскольку п»1, то и+1»2 и функция п(М), удовлетворяющая двум требованиям леммы 2 для номера п+1, во всяком случае, один раз дифференцируема в окрестности точки Ме. Поэтому для этой функции д(М) выполнены условия теоремы 12.15 для номера п=0.
Согласно указанной теореме для любой точки М из достаточно малой е-окрестности точки Ме на отрезке ** МеМ найдется точка йг такая, что справедлива формула д(М) =д(Ме)'+ — Р (х,— хе) И (й1) (12 67) 1! 44 ' дхг ;1 Заметим теперь, что поскольку точка йг лежит между точками Ме н М, а р — это расстояние между точками Мо и М, то Р("1, Мо)~р, и потому из (12.66*) вытекает, что ()ч') = о (р"). дд дхг * См. соотношение (12.16) из и. 2 $ 4 настоишей главы. ** Т. е.
на множестве точек вида л4е+1(М вЂ” М,), гле 1 — любое число нз сегмента 0<1<1, Гл. 12. Функции нескольких переменных Подставляя последнюю оценку в (12.67) и учитывая, что д(Мо) = =О, мы получим д (М) = о (р") Я (хг — хо (. Так как (хг — хо(~ ~ (хг — хо)'= р, то мы окончательно нос=1 луч им, что а (М) = о (р" "') . Индукция завершена. Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 12.15' легко проводится с помощью леммы 1 и 2. В самом деле, выше уже отмечалось, что для доказательства теоремы 12.15 достаточно установить, что при выполнении условий этой тсорсмы для функции (12.60) справедлива оценка д„(М) =о(р"). В силу леммы 1 сама функция (12.60) ивсе ее частные производные по любым переменным хь хь ..., х до порядка и включительно обращаются в нуль в точке Мо.
Но тогда в силу леммы 2 для функции (12.60) справедлива оценка д„(М) =о(р"). Теорема 12,15' доказана. $6. ЛОКАЛЬНЫН ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ еп ПЕРЕМЕННЫХ 1. Понятие экстремума функции ен переменных. Необходимые условия экстремума. Пусть функция гп переменных и=((М) = =1(хь х,, ..., х ) определена в некоторой окрестности точки Мо(хР, хе~, ..., х,о) пространства Е'". Оп редел ение 1. Будем говорить, что функция и=1'(М) имеет в точке Мо лакал ьный максимум (локальный мин им рм), если найдется такая 5-окрестность точки Мо, в пределах которой значение Г(Мо) является наибольшим 1наименьшиму среди всех значений ((М) этой Функции. О п р е д е л е н и е 2.
Будем говорить, что функция и=1'(М)' имеет в точке Мо л о к а л ь н ы й э к с т р ем ум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум. Установим необходимые условия локального экстремума функции и=1(М), обладающей в данной точке Мо частными,производными первого порядка по всем переменным. Докажем следующее У т в е р ж д е н и е если Функция и=1'(м) =1'(хь хь -, хт) обладает в точке Мо(х о, хне, ..., х„') частньчми производными первого порядка по всем переменным хь хь ...., х и имеет в этой 505 $6. Локальный экстремум точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в точке Мо в нуль, г.
е. — (Мо) =0 — (Мо) =0* (Мо) =0 (12 68) Дока э а тельство. Установим справедливость первого ра- венства (12.68). Фиксируем у функции и=)(хь хь ..., х ) аргу- менты хо, хо, ..., х„, положив их равными соответствующим коор- динатам точки Мо, т. е. положив хо=хо', хо=хо', ..., х, =х„'. При этом мы полУчим фУнкцию и=1(хь хоо, ..., х о) одной пеРеменной хь Производная этой функции однон переменной в точке х~=х1о ди совпадает с частной производной — (М„). дк, Так как функция гп переменных и=1(М) имеет локальный экстремум в точке Мо, то указанная функция одной переменной и=1'(хь хоо, ..., х ') имеет локальный экстРемУм в точке х~=хР, и поэтому (в силу результатов п. 2 $1 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
