ilin1 (947407), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Поэтому по формуле Лагранжа, обозначая через О некоторое число из интервала 0<в(1, можно записать: Ф=~1ср= р'(х +ВЬ)Ь= =У. (к,+ОЬ, У,+Ь) — 1„(хо+ВЬ, Уо))Ь= (12.39) =[[1.'(хо+ОЬ, у.+Ь) — ['(ко, уо)) — [[.'(Хо+ВЬ, уо) — 7.'(хо, у.)))Ь. Так как частная производная ),' является дифференцируемой в точке Мо функцией, то [1„'(хо+ОЬ, уо+Ь) — 1*~(хо, уо)1= (ко, Уо) ОЬ+[а1 н(ко, Уо) Ь+а1ВЬ+[11Ь, [1 '(хо+ОЬ, Уо) — 1 '(хо, уо)[=)чм„(хо, уо) ОЬ+аовЬ, где аь ~~ и ао — бесконечно малые при Ь- 0 функции. Подставляя найденные выражения для [)„'(хо+ОЬ, уо+Ь) — Ь'(хо, уоП [1.,'(хо+ОЬ, уо) — 1~'(ко, уо)1 в формулу (12.39), получим Ф=[)а1нн(хо, уо) +а)Ьо, (12.40) где а=а~в+[11 — аев — бесконечно малая при Ь- 0 функция.
Сдру- 4 к, Производные и дифференциалы высших порядков той стороны, выражение Ф, определяемое соотношением (12.38), можно рассматривать как приращение сз<)=ф(уо+й) — ф(уо) дифференцируемой на сегменте [уо, уо+Ь] функции ф (у) =1(хо+Ь, у)— — [(хо, у). Применяя формулу Лагранжа и учитывая дифференцируемость частной производной 1к' в точке Мо, мы получим совершенно аналогично предыдущему следующее выражение для Ф: Ф=У">ох(хо, Уо)+Р]йз, (12.41) где р — бесконечно малая при Ь-~Офункцня.
Приравнивая правые части соотношений (12.40) и (12.41) и сокращая обе части полученного равенства па йз, найдем, что [<з>,о(хо, уо)+а= =1<о>о (хо,уо) +[>, Так как а и р — бесконечно малые при й- 0 функции, то из последнего равенства следует, что 1<з>,о(хо, уо) = :=1<я>о,(хо, уо). Теорема доказана. Теорема 12.13 утверждает, что в данной точке Мо(хо, у,) имеет место Равенство 1<з>„„=[<я>в„, если в этой точке диффеРенцнРУемы 1„' и 1„'. Из дифференцируемости 1з'ир„'вточке М, вытекает сушествование в этой точке всех частных производных второго порядка.
Однако равенство [<з>„о и )<'>„х имеет место и при условии существования лишь производных 1<х>„о и 1<о>„„ио при дополнительном требовании непрерывности этих производных в рассматриваемой точке. Именно справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 12.13 . Пусть в некоторой окрестности точки Мо(хо, уо) функция и=>(х, у) имеет чистньсе производные [,', [ ', )<з>хо, ><з>о„. Пусть, кроме того, производные 1<з> и и [<з>н нелрерыв. ны в точке Мо Тогда в этой точке ><з> о=><з>о .
Для доказательства воспользуемся выражением Ф, определенным соотношением (12.38). Из (12.39) вытекает, что Ф представляет собой умноженную иа й разность значений функции 1 '(х, у) в точках (хо+Ой, уо+й) н (хоисОЬ, уо). Применяя к этой разности формулу Лагранжа конечных приращений по переменной у на сегменте [уо, уо+й], получим Ф=><з> „(х +Ой, уо+Осй)йз, где 0(О,<1. В силу непрерывности 1<~>„в в точке Мо(хо, уо) из последнего равенства получаем Ф=[[<з> в(хо Уо) +а(й)]йз где а(й)- 0 при Ь--О. С другой стороны, эта же величина Ф представляет собой умноженную на Ь разность значений функции )о'(х, у) в точках (хо+Ь, уо+Ояй) и (хо, уо+Озй).
Применяя к этой разности формулу Лагранжа конечных приращений по переменной х на сегменте [хо, хо+й] и учитывая непрерывность 1<з>,о в точке Мо(хо, уо), получим Ф=У<з>ох(хо, Уо)+Р(й)]йз, где р(й) 0 при Ь О. 490 Гл. !2. Функции неенолькнх переменных Приравнивая последние два выражения для Ф и рассуждая так же, как и в конце доказательства теоремы 12.13, мы убедимся в справедливости нужного нам равенства )а~хн(хе, уь) =Як (Ха, уе). Докажем теперь теорему о независимости значения любой смешанной частной производной и-го порядка от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Теорема 12.14. Лусть функция и=((хь хь ..., х ) п раз дифференцируема в точке Ме(х~~, хне, ...,х е). Тогда в этой точке значение любой смешанной частной производной и-го порядка не зависит от порядка, в котором производятся послебовательнсче дифференцирования.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно доказать независимость значения любой и-й смешанной производной от порядка проведения двух последовательных дифференцирований. Иными словами, достаточно доказать равенство (12.42) дх; ...дхе дх,,...дх,, дхе ... дх; дх; ...дх,. дь 'и Рассмотрим функцию Эта функция представляет содхг„... дх; бой дважды дифференцируемую функцию переменных х; и х;„„ Поэтому в силу теоремы 12.13 дх ыи де ыи дх~„.дх;„дх~„...дх дх,,дх; „дх; ...дх~ Отсюда и вытекает справедливость равенства (12.42).
Теорема доказана. Отметим, что в случае и раз дифференцируемой в точке Ме функции и=1(хь хь ..., х„) любую ее частную производную и-го порядка можно записать в виде д"и дх»'дхе»... дх~~ 1 е '' ~» где аь аь ..., а — целые числа, удовлетворяющие условиям: 0<а;<п, а1+ан+ ... +а =и. 2. Дифференциалы высших порядков. Выше мы испольэовали для обозначения дифференциалов аргументов функции и= =1(хь хь ..., х ) и для обозначения дифференциала самой этой функции символы ахь йхь ..., йх и йи соответственно.
Теперь нам придется использовать для обозначения дифференциалов аргументов указанной функции и дифференциала самой этой функции и другие символы. В частности, мы будем обозна- й 5 Производные и дифференциалы высших порндиов 491 чать дифференциалы аргументов функции и=1(х!, хь ..., х ) н дифференциал самой этой функции символами бх!, бхт, ..., бх и би соответственно. В этих обозначениях инвариантное по форме выражение для первого дифференциала этой функции (12.20) (см. п.
7, 9 3), будет иметь вид ди до ди би= — бх,+ — бх,+... + — бх . дх! дха дхт Возвращаясь к прежним обозначениям, рассмотрим выражение (12.20) для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке М(хь хт, ..., х ) функции и=1(х!, хь -., х ): ди ди 1 ди (12.20) дх! дхв дхм Предположим, что величина, стоящая в правой части (12.20), представляет собой функцию аргументов х!, хь ..., х, дифференцируемую в данной точке М(х,, хт, ..., х ).
Для этого достаточно потребовать, чтобы функция и=)(х!, хы, х ) была два раза дифференцнруема в данной точке М(х!, хт, ..., х ), а аргументы хь хт, ..., х являлись либо независимыми переменными, либо два раза дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных 1ь 1т, -, гм При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал б(йи)=б ~~~1~ ~д йхз| дха в=! от величины (12.20). О п р еде л е н и е 1.
Значение 6(йи) дифференциала от первого дифференциала (12.20), взятое при бх! — — йх!, бхз=йхт, ..., бх =йх, называется в то р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м функции и = =1(х!, хт, ..., х ) (в данной точке М(хь хт, ..., х ) и обозначается символом йзи. Итак, по определению е йзи = б(йи) в»с=а»,.
в»и=а»» в» й» Дифференциал дни любого порядка и введем по индукции. ' Символ( ) обозначает, что в выражении, заключенном в физ»,=г»„ щ =и»„ В» 4И» »урвне скобки, следует положить бхз=вхо бхз=охз, ..., бх =ох Гл. 12. Функции нескольких переменных 492 Предположим, что уже введен дифференциал д"-'и порядка. и — 1 и что функция и=1(х1, хь ..., х ) а раз дифференцируема в данной точке М(х!, хь ..., х ), а ее аргументы х!, хь ..., х являются либо независимыми переменными, либо а раз дифференцируемымн функциями некоторых независимых переменных 1ь 1ь ...
-, 1ь Определение 2, Значение 6(й" — 'и) дифференциала от (а — 1)сго дифференциала д"-!и, взятое при бх!=дхь бх«=дхь ... ..., бх =Ых называется и-м дифференциалом функции и= * )(х1, хь ..., х ) (в данной точке М(х„хь...,х )) и обозначается символом а"и. Итак, по определению й"и=6(й" !и) бх,=бх„ бх =4х Прн вычислении второго н последующих дифференциалов йи приходится сушественно различать два случая: 1) случай, когда аргументы х1, хь ..., х являются независимыми переменными, 2) случай, когда аргументы х!, хь ..., х являются соответствуюгдее число раз дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных гь 1ь ..., 1,.
Рассмотрим сначала первый случай. Если х!, хь ..., х являются независимыми переменными, то мы имеем право считать, что дхь дхь -, йх не зависят от хь хь "., х . Каждый дифференциал йх«мы можем взять равным одному и тому же приращению Лх«для всех точек М(х!, хь ..., х ). Нрн этом мы получим, что 1~1 (~а) б 4,ф' дх! 1=! Последнее соотношение и правила дифференцирования, установленные в конце п.
7 $ 3, позволяют нам записать для два раза дифференцируемой в данной точке М функции и=1(х!, хь ..., х ), следующую цепочку равенства: «ь=к!«!„, „, =!~7, ~ «*.)(„ а~ дх« б -'бх' м м «!' бх Лх т т х«~ 1бх ых ~~и~~ «б ! ) + б( ) ~ бх ~х Ь ! 1бх дх «=! * бхщ Их„ а 5, Производные и дифференииалы высших порядков 493 = ~~~ (!(хе ~ ! — ( — ~ бх! ! и=! !=1 ех -)х и с» ш и = ~~ ~Р " бхсс(ха~ ах=а.
е=! с=! ах =йх — с(хсс(ха. (12. 43) дхсдха е= — ! ~! (ббы воспользовались еще и тем, что для два раза дифференцируемой функции смешанные производные второго порядка не зависят от того, в какой последовательности производится дифференцирование). Итак, мы получаем, что в случае, когда аргументы х!, х„ ..., х„ являются независимыми переменными, для второго дифференциала ,ава раза дифференцируемой в данной точке функции и= =)(х!, хм ..., х ) справедливо представление е Симметричность втой квадратичной формы вытекает из равенства д'и дви (М) = — (М). Зх дхе дхадх и!аи = ~~~ ~~1 ! — с(хсс(хе.
(12.44) дхтдху, т=! ь=! Замечание 1. Функция пт переменных 1!, (я, .;., (е вида а))=-'~, з'пи!!се, где асв — постоянные вещественные числа, нам с=! е=! зывается квадратичной формой от переменных 1!, (т, ..., 1ы .а числа ам — ее коэффициентами. Квадратичная форма называется симметричной, если ее коэффициенты удовлетворяют условию ам=ам (для всех с= =1,2, ...,т;й=!,2,...,тп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
