ilin1 (947407), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Рассмотрим следующее уравнение: и — и.=А (х — х.)+В(у — у,). 474 Гл. 12. функции нескольких переменных Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в декартовой системе координат (х, у, с)) некоторую плоскость П, проходящую через точку Жо(хо, уо, ио) и имеющую нормальный вектор п=(А, В, — 1) *. Докажем, что эта плоскость П является касательной плоскостью в точке зт'о поверхности 5. Для этого достаточно убедиться, что: 1) плоскость П проходит через точку зто поверхности 5 и 2) угол ср между нормалью и этой плоскости и любой секущей )т'ой~ стремится к п)2, когда точка й(~ поверхности 5 стремится к точке )уо Утверждение 1) очевидно.
Перейдем к доказательству утверждения 2). Вычислим косинус угла ср, воспользовавшись известной формулой для косинуса угла между двумя векторами Так как координаты вектора и равны А, В, — 1, а координаты вектора Л'~М~ секущей равны х — хо, у — уо, и — ио (см. рис. 12.3), то А(х — х,)+ В(у — у,) — (и — ва) соз ф у Аа+ В'+ 1 )7( — х,)'+Оу — у„)'+(и — н„) Из условия дифференцируемости функции и=((х, у) вытекает, что А (х — хо) +В(у — уо) — (и — ио) =о(р) . Поэтому (соз~р(-., — Р -ьО, когда р-ьО, )о(р)1 )о(р) ) У ( — хд'+(у — уо)' т.
е. 1пп~р= —. Утверждение 2) доказано. 2 Таким образом, дифференцируемость функции и=)(х, у) в точке Мо(хо, уо) с геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику функции и=7(х, у) в точке Жо(хо, уо, ио) Так как коэффициенты А и В равны соответственно частным производным, вычисленным в точке Мо(хо, уо), то уравнение касательной плоскости может быть записано в виде дп ди и — = — ( — х)+ (р — у). дх ' ду 1 ди ди Нормальный вектор и = ~ —, —, — 1~ касательной плоскодх ду сти принято называть нормалью к поверхности и=)(х, у) в точке Л'о(хо, уо, зо). 4.
Достаточные условия дифференцируемости. Займемся выяснением достаточных условий днфференцируемости функции пв переменных. Докажем следующую теорему. Теорема 12.10. Если функция и=((хь хь...,х ) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности * Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор и, перпендикулярный к этой плоскости. $4. Производные и дифференциалы 475 точки Мо(хР, хза, ...,ха ), причем все эти частные производные не.прерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в точке Мо.
Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных и=)(х, у). Итак, пусть обе частные производные [е' н [н' существуют в окрестности точки Мо(хо, уо) н непрерывны в втой точке. Ладим аргументам х н у столь малые приращения Лх н Лу, чтобы точка М(хо+Лх, уо+Лу) не выходила за пределы указанной окрестности точки Мо. Полное приращение Ли=[(хо+Лх, уа+Луо) — [(хо, уо) можно записать в аиде Ли= [[(ха+Лх, уо+Лу) — Иха, уо+Лу)]+ + [[(хо, уо+Лу) — [(хо, уа) ]. 'Выражение [1(хо+Лхо, уо+Ьуо) — [(хо, уо+Лу)] можно рассматрнвать как приращение функции [(х, уо+Лу) одной переменной х на сегменте [хо, хо+Ьх].
Поскольку функцня и=[(х, у) имеет частные пРонзводные, УказаннаЯ фУнкцил 7(х, Уа+ЛУ) днфференцнруема н ее производная по х представляет собой частную производную [ '. Применяя к указанному прнрашенню формулу Лагранжа, найдем такое 01 нз интервала 0<0~<1, что [7'(хо+Лх, уо+Лу) — [(хо, уа+Лу) ] =[в'(хо+01Лх, уо+Лу) Лх. Рассуждая совершенно аналогично, получим [[(хы уа+Лу) — 7(хы у ) ] =~„'(хы у +ОзЛУ) Лу, 0<О <1. Так как производные 7„' н )н' непрерывны в точке Мо, то 7 '(хо+01Лх, уо+Лу) =7л'(ха, Уо) +а, [н (ха', Уо+ОзЛУ) =[и (хо, Уа),+й где а н р — бесконечно малые прн Лх- 0 н Лу-~0 функции. Отсюда, учитывая приведенные выражения для Ц(хо+Лх, уо+Лу) — 1(хо, уо+Луо) ] н [1(хо, уо+Лу) — 1(хо, уо) ] н выражение для Ли, найдем Ли=~и'(ха, уо)Лх+[н'(хо, уо)ЛУ+аЛх+рЛУ.
Следовательно, функция и=7(х, у) днфференцнруема в точке Мо. Для функции т переменных и=~(хь хм ...,х ) рассуждення аналогичны, нужно только полное приращение Ли такой функции представить в виде Ли 7 (ха + Лх„х,' + Лх„..., хо + Лх ) — 1 (х,', ха,..., хо ) = = '~, [1(хап ..., х,' о х', + Лх;, х,'.+, + Лхз».„..., хо + Лх )— ~=1 476 Гл. 12. Функции нескольких переменных Теорема доказана.
5. Дифференциал функции нескольких переменных. Определение. Д иф ференц и алом ди дифференцируемой в точке М(хь хм...,х ) 4ункции и=~(хь ха.,х ) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке М, Если все коз4фициенты А; в представлении (12.14) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то диф4еренциал Йи 4ункции в точке М считается равным нулю. Таким образом, дифференциалом йи дифференцируемой в точке М функции и=1(хь ха, ..., х ) называется выражение йи= А,йх1+Аайха+ ...
+А Ьхы. (12.18) Используя теорему 12,9, мы можем, очевидно, переписать выражение (12.18) для дифференциала Ни следующим образом: ди = — Лха+ — Лха+ ... + — Лх . (12.19) ди ди ди дх, дха дхм Введем понятие дифференциал а йха независимой п е р е м е н н о й хь Под дифференциалом дх; независимой переменной ха можно понимать любое (не зависящее от хь х,,...,х ) число.
Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению Ьха независимой переменной хь Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (12.19) в виде йи = — йха+ — йха + ... + — с(х,„. ди ды ди дх, дха дх (!2.20) Ха ='ра(аа а ° ° ° аа) ха = сра(1а аа . - 1а) (12,21) хт Ч~м('1 ~а ~ ~а) Мы докажем, что при определенных условиях эта сложная функция является дифференцируемой функцией своих аргументов (ы 1а, -, (ы При этом частные производные указанной сложной функции по аргументам 1ь 1а, ..., 1а выражаются через частные Подчеркнем, что формула (12.20) установлена нами лишь для случая, когда аргументы хь ха,...,х являются независимыми переменными.
Однако ниже, в и. 7 этого параграфа, мы докажем, что формула (12.20) остается справедливой и для случая, когда аргументы хь ха, ...,х~ не являются независимыми переменными, а сами представляют собой дифференцируемые функции некоторых новых переменных. 6. Дифференцирование сложной функции. В этом пункте мы рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции вида и=)(хь ха,...,х ), где $4. Произвозаые и дифференциалы 477 пРоизводные фУнкции и=1(хь хм ..., х ) и чеРез частные пРоизводные функций (12.21) по следующим формулам: ди ди дх« ди дх.
ди дхе« . и дха«дй ди дхе« + — —, дх„ дц дй дх«дй дха дй ди ди дх«ди дхе — = — — + — — + д1а дх«дЕа дхе дЕа ди да дх« ди дха дха д«а ... + — —. (12.22) ди дхе« дхуе д~ь д~а дх, дГ, Докажем следующую основную теорему. Теор ем а 12.11. Пусть функции (12.21) дифференцируемы в некоторой точке М(йе, Геа,...,Га~), а функция и=((кь хм...,х ) дифференцируема в соответствуюгцей точке Л'(х«о, хее, „.,х' ), где хз ер1 ( Г«, ~е, ..., Гд ), 1= 1, 2, ..., т. Тогда сложная функция и = =~(хь хм...,х ), где хь хе,...,х,„определяются соотношениями (12.21), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной функции в точке М определяются формулади ди ми (12.22), в которых все частные производные —, —,... „ дх, дхе ди дхг берутся в точке У, а все частные производные дх,„ дц функций (12.21) по аргументам 1ь (м, 1„берутся в точке М, Доказательство.
Придадим аргументам 1ь (м ..., (а в точке М(Г«о, Г,а,...,гао) произвольные приращения ЬГ~, Ь1е,...,Ь(ы не равные одновременно нулю. Этим приращениям соответствуют приращения Ьхь Ьхе,...„Ьх функций (12.21) в точке М. Приращениям Ьхь Ьха, ...,Ьх, в свою очередь, соответствует приращение Ьи функции и=7(х«, хм ...,к, ) в точке Л'. Поскольку функция и=1(хь хм...,х,„) предполагается дифференцируемой в точке Лl, указанное приращение Ьи этой функции может быть записано в виде ди ди ди Ьи = — — Ьхт + — Ьх, + ... + — Ьха, + а Ьх, + а,Ьх + ... дх«дха дхе« (12.23) + а Ьх«а ди ди ди где частные производные †, †, ..., — берутся в точке Ь«„ дх«дхе дхи а аь ае,...,а — бесконечно малые при Ьх~ -О, Ьх,— «-О,...,Ьх — «.О функции, равные нулю при Ьх1=Ьхе= ... =Ьх =О.
Подчеркнем,, что в соотношении (12.23) Ьхь Ьхм ..., Ьх представляют собой приращения функций (12.21), отвечающие выбранным приращениям Ь(ь ЬГъ ..., Ьга аргументов этих функций. В силу дифференцируемости функций (12.21) в точке М(1«а, Цео, ..., Га~) указанные приращения Ьх; можно записать в следующей форме: 478 Гл. 12. Функции нескольких переменных Ьх, = — "Ьг, + —" Л1, -1- ... + — !Ьге+ о(р), (12.24) д!! д!е д!ь е=1, 2, ..., т, дх! дх! дх; где частные производные —, —,..., — ' берутся в точке М, де! д!и д!е а р = 1' (Ь(т)'+ (ЬГе)'+ + (Ь(е)' Мы должны убедиться в том, что после подстановки в правую часть (12.23) выражений (12.24) приращение Ьи может быть при- ведено к виду Ли=А!Ь1!+АеЬ1е+ ...
+АьЬ1е+о(р) (12.25) тде А ь, ! .1 — ", (12.26) ди дх! ди дхе ди дхм д!! дхе д!! дхе~ дб тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо форму.ла (12.25) устанавливает факт дифференцируемости сложной -функции, а выражение (12.26) представляет собой частную производную указанной сложной функции по переменной е! (см. тео,рему 12.9). При подстановке в правую часть (12.23) выражений (12.24) .кроме группы слагаемых А!Ь1!+АеЬее+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
