ilin1 (947407), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Полученное нами выражение (12.44) позволяет утверждать, что „для случая, когда аргументы х!, хм ..., х являются независимыми переменными, второй дифференциал два раза дифференцируемой .в данной точке М функции и=)(х!, хь ..., х ) представляет собой .симметричную', квадратичную форму от переменных с(х!, с(хт, ... ..., Нх, коэффициенты которой равны соответствующим частным :производным второго порядка функции и=) (х!, хя, ..., х ), взятмм ,в данной точке М, Отметим, что полученное нами выражение для дифференциала второго порядка (!2.44) можно переписать и в другом виде, ис- .пользуя формальный символ с( = с(х! — + с1х, — + ... + с(х,а —.
д д д (12.45) ' дхд дха дхм й 5, Производные н дифференциалы высших норндков 495 Учитывая зто соотношение, мы приходим к следующему представлению для второго дифференциала; !и ги »з йзи= ~) ~ — йхейх»4 ~ — сРх», дк;дх» дх» »=!с=! »=! нли (с использованием символа (12.48)) йзи= (с(хх — +йхе — + ... +41хм — ~ и+ д д д дх! дхе н дкм,) + ( — с1 х, + — й х, + ...
+ — с(зх,„) . 7 дн з дн з ди дх! дхз дхы (12.48) Сравнивая полученное нами представление (12.48) с представлением (12.46), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством ннвариантности формы. Тем более не обладают свойством инвариантиости формы все последующие дифференциалы. 3 а меча н ие 2. Укажем важный частный случай„когда второй н последующие дифференциалы функции и переменных и= =1'(х!, хь ..., х ) все же обладают инвариантностью формы и определяются той самой формулой (12.47), что и для случая независимых переменных х!, хь ..., х .
Будем говорить, что переменные х!, хы ..., х„являются л и н е йи ы м и ф у н к ц и я м и независимых переменных 1с, бм ..., 1ы если онн определяются равенствами к!=а!о+а;!1!+а!з1е+ ... +аы1» (с=1, 2, ..., пз)„ в которых через а:о„ап, ..., ас» обозначены некоторые постоянные. Заметим, что если функция и=1(х!, хз, ..., х ) является и раз дифференцируемой в данной точке М(х!, хз, ..., х ), а ее аргументы хь хы ..., х являются линейными функциями независимых переменных 1с, 1ы „,, 1м то и-й дифференциал функции и=7(хс, хь ...
..., х ) определяется той же самой формулой (12,47), что и для случая независимых переменных хь хз, ..., х . Для того чтобы убедиться в атом, заметим, что поскольку 1!, 1„..., 1» являются независимыми переменными, то и-й дифференциал х! как функции аргументов 1!, гз, ..., 1» определяется равенством типа (12.47) „а точнее, равенством д д д !н а"х! = ( аг! — + Жн — +... + Й» — ) х!. дй ' дй '" д!») Но любая частная производная выше первого порядка от линейной функции х; равна нулю. Значит, йзхс=О, сРх,=О, ..., су'хз=О. 496 Гл. 12.
Функции нескольких переменных (ат+аг+ ... +а )"=. (ое+ ав+" + ат)! а, аа ам — Х,,'. "' '* ага, ...а а,+а,+ ... -)а„; — и 0<а!<н (12.49) (Суммирование в правой части этой формулы идет по всем целочисленным индексам аь аг, ..., а, каждый из которых удовлетворяет неравенствам 0<а~<а прн условии, что сумма всех этих индексов а!+аг+ ... +а равна и.) Формулу (12.49) нетрудно установить по индукции. В самом деле, при не=2 и любом целом и эта формула заведомо справедлива, ибо она переходит в известную формулу бинома Ньютона. Предположим, что эта формула справедлива для некоторого номера пт>2 и любого целого и, и проверим, что в таком случае она справедлива и для номера в!+1 и любого целого и.
Представив (а!+ах+ „. +а +а .и)" в виде (а!+аг+ .. +а +!)"=((а!+аг+ ... +а )+а,„+!)", подсчитаем с помощью бинома Ньютона коэффициент при а!'аг ... а"~ а +н!т. В силу равенства а!+аг+ ... +а 4!=и, формулы бинома Йьютона и предположения о справедливости формулы (12.49) для номера пт и любого целого п этот коэффициент равен е Са„„.т (ат+не+" +а~)! ат! ат!... ат! и! е Мы учитываем, что Со —— и потому н И (и и)! ' (а, + ае+ ...+ а„+ам.т)! а~+"т+ "+апнт а ! (а -1-а -1- ...
-1-а )! Равенство с(гх;=О (при всех 1= 1, 2, „., и) и представление (12.48) дают право заключить, что т(ги определяется равенством (12.46). Совершенно аналогично, используя соотношения !)вх;=О, ... ..., днх;=О, мы по индукции докажем, что т(ги, с(4и.... дни определяются равенством (!2.47). 3 а меч ание 3. При проведении вычислений иногда требуется расшифровать равенство (12.47) и, учитывая, что в этом равенстве имеются совпадающие члены, выписать все различные члены этого равенства со стоящими перед ними коэффициентами. Для этой цели может быть использована фо)гмул а полипом а Ньютона, имеющая вид к б, Производные и дифференциалы высших порядков 49х (сс, + аз+ ° ° . + ам+ амч1)! (а, -1- а, + ... + ам) ! амг д (а, + а, + ... + а,„)1 а 1 а ) ...
а„,1 (а, + а, + ... + а,„+ а„„,)! оч( 1аз~ ° ° ° ат1 аач11 Полученное вами выражение для коэффициента прш а",'а,"*...а ма +1 В тОЧНОСтн СОВПаДаЕт С тЕМ ВЫРажЕНИЕМ, КО- торос получится из формулы (12.49), если в этой формуле заменить номер и на пт+1. Индукции завершена, и формула (12.49) доказана.
Формула (12.49) дает нам право переписать выражение.- (12.47) для и-го дифференциала в следующем виде: с(ии(М) = ~~~ д"и (М)(дх а )(с(х )а, (с(х )а дх"'дх'"" ... дха~ 1 2 чч+а,+...+а =ч О-а,<и 3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ть в интегральной форме. Договоримся обозначать й-й дифференциал функции пс переменных и=)(х1, хь ..., х ) в точке М пространства Е" символом дви(м.
Докажем следующую важную теорему. Теорема 12.15. Пусть п)Π— целое число, функция и= =1(х1, хь ..., х ) задана в некоторой и-окрестности* точки Мо(х1, хз, „,, х ) и и+1 раз дифференцируема в указанной окрестности. Тогдаполное приращение Ли=)(М) — )'(Мо) этой функции в точке М может быть представлено в следующей форме. аи = с(и ~ + — с(зи ~ +... + — д"и ~ + 41"+'и ~ ° (12.50) ~м. 21 ~м, л( (м, (и -)- 1)! (н при этом 111' — некоторая точка указанной окрестности„зависящая, вообще говоря, от М(х1, хя, ..., х ), а дифференциалы с(х1 переменных хь входящие в выражения с(еи(м, и сР+ти(н, равны ах1= =х; — х1о.
Формула (12.50) называется формулой Тейлора для функции и=((М) с центром разложения в точке Мо, а последний член формулы (12.50) называется о стого чн ьсм ч л ем ам, записанным в форме Лагранжа. До к аз а тел ь от в о. Для сокращения записи проведем рас-- суждения для функции и=)'(х, у) двух переменных х и у. Предварительно запишем в специальной форме формулу Тейлора для и+1 раз дифференцируемой в некоторой окрестности точки 1о, функции и=Р(1) одной переменной 1. Напомним, что формула Тей- ь Вместо е-окрестности точки Мо можно взять любую звездную акр еетно сть втой точки (т.
е, любое открытое множество, содержащее точку Мь и обладающее следующим свойством: если точка М принадлежит этому множеству, то и весь отрезок прямой МчМ ему принздлежит). Гл. !2. Функции нескольких переменных .лора с центром разложения в 1о для функции и=Е(1) одной переменной имеет следующий вид: Е«)=Е«)+Е'«)« — 1)+ — 'Е «)(! — 1)к+... 21 + — Е1 (1)«1) + Е «е+0«1о))«1в) л1 (л+ 1)! 0<0<1.
(12. 51) Так как аргумент ! является независимой переменной, то приранцение Л1=! — 1о представляет собой дифференциал Ж независимой переменной й Поэтому Еов«в) « — 1в)к=Ем«в) « =~еЕ«в) =~")а 61 (12. 52) Е<"+и (1„+ 8 « — 1е)) « — 1,)"+' =с!и-~'и)ь ьвн ьн Если мы обозначим разность Е(1) — Е(1в) через Ли, то согласно (12.52) формулу Тейлора (12.51) можно записать в следующей специальной форме: Ли=с(и~ + — с(ки~ + ..:+ — д"и~ + й1к+ои!сввп — аь а 2! ~а л! !а (л+ 1)! (12.53) .Рассмотрим теперь в е-окрестности точки Мо(хо, уо) произвольную точку М(хо+Лх, ув+Лу) и соединим точки Мв и М прямой линией.
Очевидно, координаты х и у точек указанной прямой представ.ляют собой следующие линейные функции новой переменной и х=хо+Ых, У=Ус+(ЛУ! (12.54) ;при этом координаты точек отрезка М,М соответствуют значениям переменной ! из сегмента (О, 1]. Отметим, что значению 1=0 отвечает точка Мы а значению 1=1 — точка М. Так как по условию функция и=1(х, у) двух переменных х и у и+1 раз дифференцируема в рассматриваемой окрестности точки Мы то из формул (12.54) вытекает, что на прямой МвМ эта функция является слож.ной функцией переменной ! из сегмента [О, Ц.
Обозначим эту .сложную функцию через Е(1) и запишем для нее формулу Тейлора с центром разложения в точке 1,=0 в специальной форме (12.53) при Ли = Е (1) — Е (О) =1(М) — ! (Мв) . Фигурирующие в формуле (12.53) дифференциалы различных порядков представляют собой дифференциалы сложной функции и= =1(х, у), где х и у являются линейными функциями (12.54). Сог.ласно замечанию 2 предыдущего пункта при этих условиях дифференциалы любого порядка функции и=1(х„у) могут быть запи.саны в форме (12.47).
Поэтому $ З, Производные и дифференпиалы высших порядков 499 й'и )„о = (йх — + йУ вЂ” ) и)мих. гл!й и)м„(12.55). д дх др / д д 1л+! й рзи)ьро!! !! ! йх — +йу — ) и1н!х,+оом „+ода!=сР+'и)н дх др ) о о о (хы ха а хщ): 1 (х!а хз > Хл!) + л о д -с р — (х,— х!) — +(х,— хя) — +... + (хы — х,„) — )с И дхз дх, дх,л ~ а=! х 7(хз, х„... х )+ 1 ! о д о д [(х,— х!) — + (х,— хз) — + (л+ 1)! ! дх! дхе в д !л+! о ... + (х,л — х ) — ~ 1(х!+ дх„, ) + 0 (хх х!) хз, 0 (ха хя) ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
