ilin1 (947407), страница 98
Текст из файла (страница 98)
+АдЬ1е мы получим и другие группы слагаемых. Нам нужно убедиться в .том, что все другие группы слагаемых представляют собой вели. чину о(р). Действительно, подставляя выражения (12.24) в формулу .(12.23), получим Ьи = — е — Ьх, + ~ ~а!Ьх! = ЪЕ ди дхе !=1 !=! ди ~~'~ дх; 1=1 1=! !=1 ~~ ( ~ — — ') И1+ ~)~ ~— о(р) + ~у 'а!Ьх! /=! != ! 1=-1 ! ! = у А,Ь1;+ ~~1~~ — о(р) + ~~)~а!Ьх! 1 1 Е=! ! ! Последние две суммы написанной выше формулы представди .лают собой величину о(р). В самом деле, величины — берутся дх, 4 4. Производные и дифференциалы 479' !=л казана. 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим важный частный случай, когда функции (12.21) зависят от одного аргумента !.
Тогда мы имеем. сложную функцию одной переменной й и=)(хь хе, ..., х ), где ди хз=!рз(!). Производная — этой сложной функции определяетсю д! формулой Нн ди дх, ди Нха ди дх,в — = — — — '+ — — + ... + — — (12.27) д! дхе д! дхе д! дх,в д! Применим формулу (12.27) для доказательства теоремы Эйлера об однородных функциях. Функция и=!(х!, хь ...,х ) заданная на множестве (М), называется однородной функцией степени р на этом множестве, если для каждой точки М (хы хм...,х ) множества (М) и для каждого числа г, для которого точка Лг(!х!, !хм...,!х,„) принадлежит множеству М, выполняется равенство 1(гхь !хе, ..., !хзв) =!т((х!, ха, ...,х,„).
(12.28) Теорема 1212 (теорема Эйлера об однородных ф у н к ц и я х), Если и=!(хы хм ..., х ) является в некоторой области (М) дифференцируел!ой однородной функцией степени р, то в каждой точке М(хь хм...,х ) области (М) справедливо равен- ство ди дн ди — х,+ — х,+...+ — х =ри. дх, дхе дхщ Доказательство. Пусть Мо(х!~, хе~, ...,хо ) — произвольная точка области (М). Рассмотрим сложную функцию и=((хь хе,,..,х„,), где хз=!хзо (з=1, 2,...,т), т.
е. ~!ункцию и=((!х!о, !хо,..., !хо,„). Так как при 1=1 функции хз=!х! днфференцируемы и фУнкЦиЯ и=г(хь хе,...,х ) диффеРенциРУема в соответствУющей точке Мо, то согласно теореме 12.11 и замечанию и этой тео-- ло реме мы можем вычислить производную — указанной сложной д! (12.29)е в точке Ж и поэтому представляют собой постоянные не зависяо1 ч ди щие от р числа. Следовательно, ~ — о(р) = о(р). Далее, велидх! чины Лх! для з=1, 2, ..., т удовлетворяют в силу формулы (12.24) неравенству !Лх!! (сопз1 р, а величины а,=о(!) для з=1, 2,...,т.„ нбо все а; являются бесконечно малыми при ззх!- О, Ьхх — 1-0, ... ...,Ах - О, а из дифференцируемостн и вытекающей из нее непрерывности в точке М функций (12.21) следует, что Лх!, !ххе, ..., Лх стремятся к нулю при р-~0.
Поэтому ~а!Лх! =- о(р). Теорема до-- 480 Гл. 1к. Функция нескольких переменных функции в точке 1=1 по формуле (12,27), Так как — =-х., то дх» .о Ж вЂ” = — хо+ — хо+ ... л- — хо (12 30) Ж и=~ дк, ' дхо о дк,„ ди где производные — берутся в точке Мо. С другой стороны, в д»ч силу (12.28) рассматриваемая сложная функция может быть представлена следующим образом: и=((!х~~, !хо~, ...,!хоп) =Я(х~~, хо~, ...,хо,„). (1231) Из (12.31) вытекает, что — = р1п-'1(хец хо,..., х" ), т. е. — =- р7 (хо, хо ..., хо) = ри. (12.32) й 1с=,— Сравнивая (12.30) и (12.32), мы и получим соотношение (12.29) для точки Мо.
Так как точка Мо — произвольная точка области (М), то теорема доказана. 7. Инвариантность формы первого дифференциала. В п. 5 мы ввели понятие первого дифференциала»!и функции нескольких переменных и установили, что когда аргументы хь хи...,х являются независим ими переменными, то дифференциал »(и можно представить в виде о(и = —" дх, + — о(хо + ... + — о(х,„. (12.20) дх» дх, дхм В этом пункте мы докажем, что формула (12.20) является универсальной и справедлива и в том случае, когда аргументы хь хь...,х сами являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных ть 1и ..., !», которые мы можем считать :независимыми. Указанное свойство перво»о дифференциала обыч.но называют свойством и ива риантности его формы.
Итак, пусть аргументы хь хь ..., х функции и = 1(хь хе.. х ) представляют собой дифференцируемые в точке А(йо, !к",...,1»о) функции х; =чч (!ь 1и ..., !»), а сама функция и =~(х,, хо, „., х ) диф$еренцируема в точке В(хР, хо', ...,хо ), где хо =Чч(1~~, ...,!» ). В таком случае мы можем рассматривать и как сложную функцию независимых переменных 1ь !ь ..., !», которая в силу теоремы 12.11 является дифференцируемой в точке Л. Поэтому днффсренциал е(и этой сложной функции можно представить в виде ь(и = — »Ы + — д! +... + — Ж», (12.33) дй д1» д1» ди ди где — определяются из соотношений (12.22). Подставляя дб дб 481 э 4.
Производные и дифференциалы из (12.22) в (!2.33) и собирая коэффициенты при ди/дхь получим с(и = — ~ — с(11 + — 'Йа+ ... + — й») + ... ди / дхз дх,, дхг дхз ~ дзз д1з дс» ... + — ~ — (1, + — (!в+ ... + — Ш»~. ди Г дх,„ дхм дх,„ дхт (, дй дГз дс» Остается заметить, что в последнем соотношении коэффициент при ди/дхг равен дифференциалу с(хг функции хг= р;(рь 1з, ..., г»). Мы получим для дифференциала с(и сложной функции формулу (12.20), в которой дифференциалы с(хе будут дифференциалами функций хг=ср,(1ь 1в ..., 1»), Инвариантность формы первого дифференциала установлена. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила дифференцирования. Пусть и и о — дифференцируемые функции каких-либо переменных.
Тогда г((с-и) =с с(и (с=сонэ!), с((ич-в) =с(и+-сЬ, с! (ио) = ис1о+ос(и, / и '! они — идз о / оз Докажем, например, справедливость третьей из указанных формул. Рассмотрим функцию си=ив двух переменных и и в. Дифференциал этой функции с(га равен Йг = — с(и + — с(в. дгв дге ди до дгв двг Так как — =о н — =и, то с!за=из(о+ода.
В силу инвариди дв антности формы первого дифференциала выражение ис(в+ос(и будет дифференциалом функции ио и в случае, когда и и о сами являются дифференцируемыми функциями каких-либо пере. менных. 8. Производная по направлению. Градиент.
Начнем с рассмотрения функции трех независимых переменных и=!(х, у, г), Предположим, что эта функция определена в некоторой окрестности точки Мо(хо, уо, хо) пространства Ез и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие нз точки Мо. Каждый такой луч задается единичным вектором е с координатами (сова, совр, сову) * и определяет некоторое направление. * Из курса аналитической геометрии известно, что если единичный вектор е составляет с осями координат углы, соответственно равные а, р, т, то коор. 18 Ззк.
тз 482 Гл. 12. Функции несколькик переменных Фиксируем некоторый луч, выходящий из точки Ме и определяемый единичным вектором е с координатами соя а, совр, соя у. Взяв на прямой, содержащей этот луч, произвольную отличную от Ме точку М, рассмотрим вектор или направленный отрезок МоМ и обозначим через 1 величину этого направленного отрезка на оси, определяемой единичным вектором е= (соя а, соя р, сояу) *. Ясно, что вектор МеМ имеет координаты (1соя а, 1соя р, 1соя у).
С другой стороны, если координаты точки М равны (х, у, г), то вектор МеМ имеет координаты, равные (х — хо, у — уе, г — г'), Сопоставляя два полученных нами соотношения для координат вектора МеМ, мы приходим к равенствам х=хе+1соза, у=уо+1созр, г=го+1сояу. '1234) Равенства (12.34) показывают, что на прямой, проходящей через точку Мо и определяемой единичным вектором е= (соя а, сояр, сояу), функция и=у(х, у, г) представляет собой сложную функцию одной независимой переменной 1 вида и=у(хо+1сояа, у'+1соя р, го+1соя у).
Определение 1. Производную указанной сложной функции по переменной 1, взятую в точке 1=0, назовем производной функции и=у(х, у, г) в точке Мо по направлению, определяемому единичньгм вектором е, и будем обозначать символом ди/де. Итак, по определению — = — (М,) соя а + — (М,) соя р + — (М,) соя у. (12.35) де дхт ду дх Введем понятие градиента дифференцируемой в данной точке Мо(хе, уо, го) функции и=)(х, у, г). Определение 2. Градиентом функции и=у(х, у, г) в данной точке Мо(ха, уо, го) называется вектор, координаты которого имеют вид (Мэ) (Мэ) (Ме) дх ду дх Для обозначения градиента функции и=у(х, у, г) обычно используют символ атас( и. динаты этого вектора равны сова, совр, сову. Указанные три косинуса принято называть направляющими косинусами вектора е. * Величиной Г направленного отрезка М«М оси, определяемой единичным вентором е, называется число, равное длине отрезка М«М, взятой со знаком «плюс>„если векторы М«М и е направлены в одну сторону, и со знаном «минусгч если эти векторы направлены в разные стороны.
4аз й 4. Производные и дифференциалы Итак, по определению атаби (М,) = ~ — (М,), — "(Мз), —" (М,)) (12.3б) 'г дх ду з' дх Так как скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, то выражение (12.35) длЯ пРоизводной по напРавлению, опРеделЯемомУ вектором е, можно рассматривать как скалярное произведение вектора (!2.36) и е= (сова, соз р, соз р). Итак, мы получаем, что ди — = (е, атаби). де (12,37) где ср — угол между векторами е и пгаб и. Учитывая, что 1е~ =1, мы получим, что ди — == )нгас)и!сон гр. де Из последнего равенства вытекают оба утверждения 1) и 2). ди В самом деле, максимальное значение производной — полуде чится при созср= 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
