Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

В теории алгебраических чисел и числовых полей он достиг этой цели '). Финитную точку зрения здесь удалось провести в жизнь таким образом, что прк этом не пришлось отказываться от чего-либо существенного в части теорем нли методов доказательств. В течение длительного времени план действий. намеченпь:й Кронекером, отвергался полностью, и лишь в последнее время Брауэр принялся за задачу независимого от закона исключенного третьего построения анализа и развил в рамках этой программы значительные разделы анализа и теории мно»кеств '). Разумеется, нри атом подходе пришлось поступиться существенными результатами и получить в придачу значительные осложнения в способах образования понятий. Методическая установка «интуицнонизма», которую берет за основу Брауэр, в известном смысле представляет собой расширение финнтной установки, поскольку Брауэр допускает, чтобы справедливость какого-либо вывода или доказательства принималась без учета его наглядности.

Так, например, с точки зрения Брауэра допустимыми являются теоремы вида «если в предположении Й имеет место З, то имеет место также и б>ц а также вида «предположение, что Я опровержимо, ведет к противоречию» плн, по выражению Брауэра, «абсурдность Я абсурдна». ') результаты этих нсследаванш» в свстематвческом виде Кран«нером са1нблнвовэвы не были и излагались лишь в его лекциях. «) Нодэобныи пер«чевь публпвацвй Брауэр« па этому вопросу »южно найти в учебвнв«1 сэ р е н к е в ь (А. Ггзеайе!). Еш1«Напк Са с11« Ыевдеа11Ьсе.— 3-е взд.— Нег!1п: эв11а» Ярт1вяег, 1928. 3;1ЕМЕНТАРНАЯ АРНФМЕТ!П1А. ФИНИТНА11 УОТАНОРЯА !ГЛ. Н 72 ФПНИТНОЕ ПОСТРОЕНИЕ АНАЛ1ЮА О О Такого рода расширенное понимание фпнптной точки зрения, которое в теоретико-познавательном плане сводится к тому, что к наглядным представлениям добавляются еще и рассуждения общелогического характера, оказывается необходимым в том случае, если мы захотим при помощи финитных рассмотрений выйти за рамки какой-либо определенной эчементарной области.

еобходимости этого мы придем на более поздней стадии наших рассмотрений. Хотя теперь, в результате упомянутых исследований, в математике проложен путь, двигаясь по которому, можно в значительной мере обходиться без нефинитных способов умозаключений, необходимость в установлении непротиворечивости методов традиционного анализа никоим образом не оказывается излишней. Ведь применения нефинитных методов рассуждений мы не можем избежать, полностью заменив их другими соображениями; напротив, в анализе и в примыкатощнх к нему областях математики сделать это удается лишь ценой существенных потерь в отношении систематики и технических приемов в доказательствах.

От математика, однако, нельзя требовать, чтобы он согласился с такими потерями, не будучи к атому вынужденным. Методы анализа проверены в такой степени, в какой едва ли прове ен б наной-либо другой научный аппарат, и они оправдали себя самым т лестящнм образом. И если мы критикуем эти методы с пози1 ий ребования очевидности, то перед нами встает эндача выявить прин чину их применимости, как мы это повсюду делаем в математике, где всякий плодотворный метод обычно применяется с опорой на представления, которые в отношении очевидности оставляют желать лучшего.

Таким образом, поскольку мы становимся на финитную точку зрения, перед нами встает неизбежная проблема убедительно обосновать применимость нефинитных методов, и поскольку наше доверие к этим методам нас не обманывает, то зта убедительность может быть достигнута лишь в результате приобретения уверенности в том, что эти методы традиционного анализа никогда не смогут привести к доказательству ложного результата, точнее говоря, что результаты их применения согласуются как друг с другом, так и с любым фактом, вытекающим из финитной точки зрения.

Однако эта проблема представляет собой не что иное, как проблему установления непротиворечивости нашего традиционного анализа. В гл. 1 для обсуждения этой проблемы мы предполагали привлечь у1ке разработанный в символической логике метод формализации логического вывода '). Этот метод во всяком случае обла- дает тем свойством., что благодаря ему задача исколюго доказательства непротиворечивости — в той мере, в какой вообще может быть достигнута полная формализация традиционного анализа,— становится некоторой финитанай проблемой. В самом деле, если формализовать традиционный анализ, т.

е. перевести его гипотезы п способы умозаключений в исходные формулы (аксиомы) и правила вывода, то доказательство в анализе окажется наглядно обозримой последовательностью действий, каждое из которых принадлежит иеноторому наперед заданному вапасу допустимых актов. Таким образом, в принципиальном отношении мы здесь оказываемся в том же положении, что н в элементарной арифметике, и подобно тому, как там удается фннитным образом проводить определенные доказательства невозможности (например.

доказательство того, что не может существовать двух цифр ти пптаких,чтои1 в1 =- 2 и-и), финитной же оказывается и проблема установления тото факта, что в формалиаованном анализе не может Встретиться двух таких доказательств, что заключительная формула одного пз них совпадает с отрицанием заключительной формулы другого. Правда, мы еще очень далеки от решения этой проблемы.

И все же на пути к атой цели уже получены многочисленные важные результаты. На этом пути открылось такн1е новое поле для исследований — формализация логического вывода оформилась в систематическую теорию доказательств, которая в самом общем виде обсуждает вопрос о сфере действия логических способов умозаключений, вопрос, который традиционная логика ставит и решает лишь в очень специальном виде. Благодаря методам теории доказательств обнаружилась также непосредственная взаиьюсвнзь мижду проблемой обоснования математики и логическими проблемами.

Эта теория доказательств, называемая также А1етаалсател1атикой., будет развита нами в дальнейшем изложении. Мы начнем с формализации логическото вывода, которую на первых порах мы изложим независимо от ее применении к теорип доказательств. 75 ГЛАВА )П теогия истинностных Функций ФОРМАЛИЗАЦИЯ П1'ОЦЕССА ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА 1: ИС«1ИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЬ)ВАНИН й 1. Теория истинностных функций 1. Истииностные функции и их таблицы. С логической символикой мы познакомились уже в гл.

1 '). Она играла там оль ос "ооого языка формул, который помог нам составить себе четкое играла там роль представление о структуре математических аксиом. Теперь с помощью этого языка мы хотим осуществить формализацию способов логических умозаключений. Процесс логического вывода мы будем имитировать формальным оперированием со знаками, протекающим по вполне определенным правилам. П1аг, который мы собираемся совершить, аналогичен переходу от содержательной аксиоматики к формальной. Подобно тому, как там мы абстрагируемся от вещественного смысла рассматриваемых предметов и отношений и принимаем в расчет одну лишь формальную структуру зависимостей, здесь мы также исключаем из рассмотрения содержательный смысл логических связок и правил умозаключений и начияаем рассматривать лишь их формальную структуру.

Прежде чем приступить к построению системы правил вывода, соответствующих этой формальной точке зрения, мы в качестве важной вспомогательной дисциплины рассмотрим элементарную логику высказываний, которую нам проще всего будет изложить как содержательно-комбинаторную теорию «истинностных функций».

С этой целью мы рассмотрим те сочетания высказываний, для которых в гл. 1 мы уже ввели специальные символы: речь идет о коныонкции, дизъюнкции, импликацин и отрицании '). Мы постараемся уяснить себе, в какой мере эти логические образоваш«я носят характер истинностных функций. Рассмотрим в качестве примера конъюнкцию.

Пусть Я и й)— какие-либо предложения, относительно которых установлено, что опи могут быть однозначно охарактеризованы как истинные пли как ложные. Тогда предложение 91 А З ') Ви. с, 20 и д«зсе. ») Си. с, 27. гакнсе является истишгым или ложным и для установления того, какой именно из этих двух случаев имеет место, нам ничего не нужно знать о содержании предложений Я и Е: все будет зависеть только от того, истинными или же ложными являются сами 71 и Ж.

!! действительно, Я о1 хэ истинно тогда и только тогда, когда истинными являются как Я, так и 3. В соответствии с этим мы можем рассматривать конъюнкцию как функцию двух аргументов А и В, каждый из которых может принимать два значения «истина» п «ложь». Эта функция каждой системе значений своих аргументов ставит в соответствие снова одно из этих двух значений «истина» илп «ложь». Таблица значений (Х1ег!ап1) атой функции может быть представлена следующим 71бразом1 В истнна ло«КЬ ЛО«КЬ истина истина А 7 1 ложь ложь ложь Каждой из четырех клеток таблицы соответствует одна из четырех комбинаций истинностных значений аргументов А и В, а записанное в клетке истинностное значение представляет собой соответствующее значение рассматриваемой функции.

Подобно конъюнкции, как истинностпые функции могут быть рассматриваемы также дизьюнкция, отрицание и импликация. Отрицание )А представляет собой функцию одного аргумента, и функция эта может быть представлена следующей таблицей: П истина А 1 ложь 7 истина истина ложь ло;иь нот««па истина Таким образом, )А является истинным илп ложным в соответствии с тем, ложно или истинно само А. Таблица дизъюнкции А')/В имеет вид В истина ложь ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ !гл. н! 77 л <1 пстиьа ложь Л э ! ! истина ложь ложь истина петина истина истина А ! ложь истина ложь шжь истпма Таким образом, дпзъюнкцин 4 1/В оказывается истинной, если хотя бы один из ее аргументов А п В принимает значение «истина». Ил<лямка<(ию <л — » и< в гл.

Характеристики

Список файлов книги