Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Различение этих случаев снова оказывается н ефиннтным. Сходным образом обстоит дело и в том случае, когда действительные числа определяются при помощи бесконечных десятичных ячи двоичных дробей. Снова нужно будет доказать, что всякая ограниченная последовательность рациональных чисел и, (и, ( определяет десятичную !Соответственно двоичную) дробь. Простоты ради предположим, что речь идет о последовательности положительных правильных дробей О <Ь, <Ьз (... <~ и что надо определить двоичную дробь О, а,о,о, т ак, чтобы она представляла собой верхнюю грань этой последовательности.
Эта дробь определяется следующим образом: о,=— ! ! О, если все Ь, ( —, л 1 в противном случае; а> а>, ал,, 1 и З 1 ''" Хт хасс О, если все Ь ( —,+ — -1- ... + —..Р—. а 1 в противном случае. Во всех рассмотренных случаях приходитсн иметь дело с альтернативами, в которых речь идет о том, что либо все рациопаль- ные числа некоторой заданной последовательности г„гз, гз удовлетворяют определенному условию, либо что зто условие не выполняется хотя бы для одного из пих.
Всякая такая альтернатива использует «гегИшп поп Йа!пг» для целых чисел; в самом деле, при атом предполагается, что либо для всех целых п рациональные числа г„удовлетворяют соответствующему неравенству, либо что имеется такое целое п, что г„этому неравенству не удовлетворяет. 2. Верхняя грань числовой последовательности; верхняя грань множества чисел. И все-таки в анализе мы не можем обойтись одним использованием соеокупности целых чисел в качестве индивндной области.
Нам требуется сверх этого рассматривать в качестве инднвидной области и сааоиуппасп>ь действительных чисел. Как мы видели, эта совокупность по существу может быть отождествлена с совокупностью множеств целых чисел. Необходимость в индивидной области действительных чисел ощущается уже при доказательстве теоремы о существовании верхней грани произвольного ограниченного множества действительных чисел. Для того чтобы, исходя из дедекиндова определения действительного числа, доказать существование верхней грани ограниченного множества действительных чисел, лежащего в промежутке между О и 1, надо рассмотреть разбиение рациональных чисел на те числа, которые мажорируются хотя бы одним действительным числом из этого множества, и на те, которые не мажорируются нн одним из них.
Таким образом, рациональное число е мы относим к первому классу тогда и только тогда, когда в рассматриваемом множестве имеется действительное число а, большее г. Теперь надо отдать себе отчет в том, что мнонсество в анализе, вообще говоря, задается путем указапнн свойства, определяющего это множество, т. е. вводится как совокупность тех действительных чисел, которые удовлетворяют определенному условию й). Таким образом, вопрос о том, имеется ли в каном-либо рассматриваемом нами множестве действительное число а, болыпее и, сводится к тому, имеется ли действительное число, которое превосходит и и одновременно удовлетворяет некоторому определенному условию д>.
Если к делу подойти с такой стороны, то становится ясно, что в основу рассмотрения мы кладем в качестве индивидной области совокупность действительных чисел '). 1) На обсуждзеиое здесь положение вещей особенно настойчиво указывал Г. В е й ч ь (Н. %су1! в своей рабате Нзз Коа1!ваии>.— Ее!рз!Е, 1918. 43 элементАРнАЯ АРН«лметнеА.
«»ннптнАЯ УстАНОВЕА 1гл. и неы1нитные 11етоды В АнАлпэе Следует еще заметить, что описанный процесс нахождения верхней грани сводится к образованию объединения множеств. В самом деле, каждое действительное число определяется некоторым сечением в области рациональных чисел (например, нижним классом сечения).
Поэтому данное нам множество действительных чисел представляется в виде некоторого множества Я множеств рациональных чисел. Верхняя грань множества Я строится с помощью множества тех рациональных чисел, которые принадлежат по меньшей мере одному из множеств, входящих в»)1. Но совокупность этих рациональных чисел как раз и является объединением множеств, входящих в И, Не удается также избежать привлечения индивидной области :действительных чисел и путем замены дедекиндова определенен действительных чисел определением через фундаментальные последовательности или через двоичкьге дроби. Напротив, здесь этот процесс становится еще более сложным вследствие добавления некоторой дополнительной рекурсии. Рассмотрим вкратце ситуацию для того случая, когда действительные числа определяются через двоичные дроби. В этом случае нам приходится иметь дело д множеством двоичных дробей О, а,ала» которые сами по себе определяютсн посредством некоторого определенного условия З.
Верхняя грань представляет собой двоич.ную дробь о. ь,ь«ь,.... которая определяется следующим образом: Ь, = О, если у всех двоичных дробей, удовлетворяющих условию З, первый двоичный разряд равен О, а в противном случае Ь1 = 1 Ь„„= О, если у всех двоичных дробей, удовлетворяющих условию З и таких, что их первые п двоичных разрядов совпадают с Ь„Ь, ..., Ь„, (и + 1)-й разряд равен О, а в противном случае Ь,,=1. Здесь совокупность действительных чисел выступает в виде совокупности всех двоичных дробей, н мы пользуемся предположением о том, что для этих построенных из нулей и единиц последовательностей справедлив ««егллнш поп оагпг». 3. Принцип выбора.
Но и этого допущения, что совокупность всех действительных чисел, соответственно всех двоичных дробей, представляет собой индивидпую область, тоже оказывается еще недостаточно. Это обнарулкивается в следующей простой ситуации. Пусть а — верхняя грань некоторого множества действительных чисел. Ь(ы хотим показать, что имеется последовательность дей- ствительных чисел, принадлежаи1их этому множеству, сходящаяся к а. Для этого мы рассуждаем следующим образом: Из определения верхней грани следует, что для каждого целого числа п в этом множестве имеется такое число с„, для которого.
1 а — — (сн .< а, н, значит, 1 (а — с„) ( —, Тем самы»1 числа с„образуют сходящуюся к а последовательность и все они принадлежат рассматриваемому множеству. Приводя такую аргументацию, мы скрываем за словамв один принципиальный момент доказательства. В самом деле, прнмоняя обозначение с„, мы представляем себе, что для каждого числа н среди действительных чисел с. принадлежащих рассматриваемому множеству и удовлетворяющих неравенству 1 а — — Сс<а, И выделено одно определенное.
В таком представлении кроется определенное предположение. На самом деле непосредственно мы можем лить заключить, что для каждого числа и имеется подмножество 1О)„рассматриваемого вами множества, состоящее из чисел, удовлетворяющих приведенному выше неравенству, и что для любого и это подмножество содержит по крайней мере один элемент. Предполагается, что в каждом пз этих множеств З)„З „, З)„. ыы можем отметить по одномУ элементУ вЂ” с, в й1))„с, в вил,..., с„в 3˄— так что при этом получится некоторая вполне определенная бесконечная последовательность действительных чисел. Перед нанн частный случай прин11ипа выбора.
В общем виде он утверждает, что «если для всякого объекта х вида (Оа1«нвя) 61 существует по меньшей мере один объект у вида б„связанный с х отношением З (х, у), то существует функции «р, которая всякому объекту х вида 6, однозначно сопоставляет такой объект лр (х) вида 6», котоРый свазан с х отношением З (х, 1Р (х))».
В рассматриваемом случае внд 6, есть вид положительных целых чисел, 6» есть вид действительных чисел, отношение З (х, у) представляет собой неравенство 1 а — — <у .=а, Ф1НШТНОЕ ПОСТРОЕНИЕ АНАЛНЗА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРНФМЕТИКА. ФИННТНАЯ УСТАНОВКА [ГЛ. 11 71 чо а функция ср, существование которой извлекается из аксиомы выбора, представляет собой сопоставление действительного числа св его номеру х. Применение принципа выбора, который в качестве особого допущения впервые был отмечен и сформулирован в его теоретикомнон«ественной редакции Эрнстом Цермело, представляет собой еще один тнп выхода за рамки финитной точки зрения, превосходя«ций по своей силе даже применение закона «Сег11пш поп с)а1пг».
Рассмотрение приведенных выше примеров показывает нам, что построение исчисления бесконечно малых в том виде, как это делается после разработки строгих методов, производится пе в смысле сведения к финитному арифметическому мышлению. Произведенная здесь арифметивас1ия учения о величинах никоим образом ме может считаться совершенной, поскольку с нею вводятся определенного рода систематические фундаментальные представления, которые не относятся к области наглядного арифметического мышления.
Строгое построение анализа привело нас только к пониманию того, что этих немногих фундаментальных допущений уже вполне достаточно для построения теории величин как теории .числовых множеств. Методы анализа господствуют в таких крупных разделах математики, как теория функций, дифференциальная геометрия, топология (Апа1уз1в з11пз).
Наиболее далеко идущее использование нефинитных гипотез происходит в общей теории множеств, которая в этом отношении далеко превосходит даже анализ, а методы теории множеств в свою очередь вторгаются в современную абстрактную алгебру и в топологию. Таким образом, анализ в его обычном изложении совершенно не согласуется с финитной точкой зрения; напротив, он самым существенным образом опирается на дополнительные логические принципы.
Поэтому, если мы хотим сохранить анализ в его нынешнем виде, а с другой стороны, признаем претензии финитной тачки зрения, учитывающей соображения очевидности, то мь1 окааываемся перед необходимостью обосновать — посредством установ.ления их непротиворечивости — те принципы, применение которых выводят нас за пределы финитной точки зрения.
Если наи удастся доказать непротиворечивость способов умозаключений, обычно применяемых в анализе, то мы сможем приобрести уверенность в том, что результаты этих умозаключений никогда нельзя будет опровергнуть при помощи финитно установленного факта или фнннтным рассуждением. Действительно, фннитные методы являются составной частью традиционного анализа, и потому финнтное опровержение какого-лноо предложения, доказанного традиционными средствами анализа, должно было бы означать наличие противоречия внутри самого традиционного анализа. й 5. Исследования, направленные на непосредственное фннитное построение анализа; возврат к прежней постановке проблемы; теория доказательств Таким образом, мы возвратились к проблеме, поставленной в гл. 1. Однако еще осталось ответить на вопрос, с которого мы начали эту главу: а именно, можно ли вместо того, чтобы путем формализации логического вывода доказывать непротиворечивость анализа, построить его прямым, без дополнительных предполоя«епнй способоп и тем самым устранить необходимость упомянутого доказательства.
Ответ на этот вопрос оказывается отчасти утвердительным, отчасти отрицательным. Именно, что касается возможности прямого финнтного построения анализа в объеме, достаточном длн практических применений, та такая возможность была доказана наследованиями Кронекера и Брауэра. Кронекер, который первым выдвинул требования финнтностп, исходил из того, что нефинитнь1е способы умозаключений должны ныть повсеместно изгнаны из математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
