Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В случае одного параметра < рекурсивные равенства имеют вид <р (т, 1 ) = а (т), <р (т, и + 1 ) == ть (<]т (т, и), 1, и), тже и и т)т суть известив е функции. Например, рекурсией <р(1, 1)=-<, Ф(ц и+1) =. р(1, и) 1 определяется функция <р (<, и) = |". Здесь, в случае определения при помощи рекурсии, мы снова имеем дело не с каким-либо специальным самостоятельным дефинипионвым принципом. Рекурсия в рамках элементарной арифметики имеет смысл всего лишь соглашения о некотором способе сокращенного описания определенных процессов построения, посредством которых одна или несколько заданных цифр перерабатываются в некоторую новую цифру. 4. Одно доказательство невозможности. В качестве примера, показывающего, что в рамках наглядной арифметики маятно про- 54 элементАРнАя АРиФметикА, Финитнля устАноВкА игл, н водить и доказательства невозможности, рассмотрим следующее утверждение, выражающее иррациональность числа )Г2: не может существовать двух цифр ш и и таких, что ') ш в=2 и и.
Доказательство етого утверждения, как известно, может быть проведено следующим способом. Сначала мы показываем, что всякая цифра либо делится на 2, либо представляется в виде (2 1) + 1. Отсюда следует, что а а лишь тогда может делиться на 2, когда на 2 делится само с. Пусть теперь задана пара чисел ш, и таких, что выполняется приведенное выше равенство. Тогда мы можем просмотреть все числ вые пары с, Ь такие, что а принадлежит )ряду 1,..., ш, Ь принадлежит ряду 1,..., и, и выяснить, выполняется ли для них равенство со=255.
$21 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТУИТИВНЫХ РАССУЖДЕНИЙ 55 й 2. Дальнейшие применения интуитивных рассуждений 1. Отношение арифметики к учению о количестве. Сказанного вполне достаточно для того, чтобы охарактеризовать элементарный способ излом<ения арифметики. Мы построили ее как теорию цифр, т. е. фигур некоторого простого вида. Гносеологическое значение этой теории определяется той связью, которая существует между цифрами и собственно понятием количества. Характер этой связи таков. Пусть нам дана какая-нибудь конкретная (и, значит, конечная) совокупность объектов. Предположим, что мы перебираем друг за другом объекты этой совокупности и приписываем нм по порядку в качестве номеров цифры 1, 11, 111,...
Когда все эти объекты будут исчерпаны, мы дойдем до некоторой вполне определенной цифры и. Учитывая характер ее происхождения, естественно назвать зту цифру порядковым числом указанной совокупности при заданном способе перечисления. Однако легко понять, что результирующая цифра и вовсе не зависит от выбора способа перечисления. В самом деле, пусть ан а„..., ал Среди пар, удовлетворяющих этому равенству, мы берем такую, у которой Ь имеет наименьшее значение. Такая нара может существовать только одна; пусть это будет пара ш', и'. Согласно сделанному ранее замечанию, из равенства ш' ш' = 2. и'. и' следует, что ш' делится на 2: ш'=2 1'.
Таким образом, мы получаем 2.1'.2.1'=2 и' и', 2.1' $'=и' и'. Отсюда следует, что пара чисел и', 1' удовлетворяет нашему равенству и одновременно 1 ~ и . Однако это противоречит выбору и'. Только что доказанной теореме можно, конечно, придать следующий положительный вид: если ю и и — две произвольные цифры, то ш ш отлично от 2 и ш ) Мы пользуемся здесь обычным бссскобсчаым способом записи проаззсденал нескольких сомножителей, допустимым вследствие закона асссцзатазаостз для умаожсамл. суть объекты нашей совокупности в заданном перечислении, и пусть Ь„Ьз,..., Ь2 суть те же объекты, перечисленные в другом порядке. Тогда мы сможем перейти от первой нумерации ко второй посредством следующих перестановок номеров. Коли объект а, отличен от Ь„ то прежде всего поменяем местами номер т, который объект Ьг имеет в первой нумерации, с цифрой 1, т. е.
припишем объекту ат номер 1, а объекту а, — номер т. В так возникшей нумерации объект Ь, в качестве В мера имеет цифру 1. После него под номером 2 идет либо объект Ь, либо объект с каким-нибудь другим номером й, который во всяком случае отличен от 1. Тогда поменяем местами в нашей новой нумерации номер й с номером 2, так что возникнет нумерация, в которой объект Ь, имеет номер 1, а объект Ь вЂ” номер 2. Далее, Ь имеет либо номер 3, либо какой- нибудь другой номер 2, во всяком случае, отличный от 1 и 2. Поменяем его местами с 3 и т. д.
Зтот процесс в конце концов должен оборваться; в самом деле, при каждой вовой перестановке текущая нумерация рассматриваемой совокупности совпадает с нумерацией Ь,Ь,...,Ь по крайней мере на одном новом месте, начиная слева, так что в итоге Ь, получит номер 1, Ьз — номер 2,..., Ьч — номер 7 и ( — а). а (Ь+1)=(а Ь)+(а с). а+О=а, а — а=О, а ° 0=0, — (а — Ь)=Ь вЂ” а, — ( — а)=а, ( — ).( — 6)= Ь. 58 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА. ФИНИТНАЯ УСТАНОВКА !ГЛ.
П более ни одного объекта не останется. С другой стороны, при выполнении каждой перестановки запас используемых цифр остается одним и тем же; происходит всего лишь замена номера одного обьекта номером другого. Таким обравом, нумерация всякий раз производится цифрами от 1 до и, а следовательно, Тем самым оказывается, что цифра и приписана рассматриваемой совокупности независимо от способа ее перечисления, и в атом смысле мы можем считать и количеством Элементов нашей совокупности '). Мы говорим тогда„что эта совокупность состоит из п объектов.
Если какие-нибудь две конкретные совокупности имеют одно и то я!е количество Элементов, то, пронумеровав обе ети совокупности, мы можем установить вааямно однозначное соответствие между составляющими их объектами. Наоборот, если такое соответствие имеется между двумя заданными совокупностями, то они обе имеют одно и то же количество Элементов, как зто непосредственно следует из нашего определения количества. Теперь, исходя из определения количества и пользуясь рассуждениями содержательного характера, мы сможем формулировать основные положения теории количества — например, теорему о том, что при объединении двух непересекающихся совокупностей с количеством Элементов а и Ь соответственно получается новая совокупность, состоящая из а + Ь элементов.
2. Формальная точка зрения в алгебре. Вслед за изложением элементарной арифметики мы хотели бы вкратце обрисовать Элементарный содержательный подход к построению алгебры. Речь у нас пойдет об элементарной теории целых рациональных функций от одной или нескольких переменных с целочисленными коэффициентами. В роли объектов теории у нас снова будут выступать фигуры определенного вида, и о л и н о м ы, которые конструируются ив некоторого запаса букв х, р, 2,..., нааываемых п е р е м е ни ы м и, и из цифр с помощью знаков +, —, и скобок.
Таким образом, в отличие от Элементарной арифметики, знаки + и здесь будут рассматриваться не в качестве знаков для сообщения, а в качестве объектов теории. Строчные готические буквы мы будем снова использовать в качестве знаков для сообщения, но не только для цифр, а н для произвольных полиномов. ') Это рассуясдсппе проподпг Гельмгольц в своей рабате ХйЫеп ппй Мегэел (1887).
(Н с 1 ш Ь о! ! г, Неппапп гоп. 8сйпдсп гпг .Кглепп!и!ьгьсог!е.— Вег1!и: 8рппяег,.(921; см. с. 80 — 82.) $21 ЛАльнеИшие пРименения интуитивных РАссуждениЩ 57 Конструирование полиномов из перечисленных выше знаков будет происходить в соответствии со следующими правилами построения: Любая переменная, а также любая цифра считается полиномом. Исходя ив двух полиномов о и Ь, разрешается строить поли- номы а+Ь, а — Ь, а Ь. Исходя из полинома а, разрешается строить полином При атом действуют обычные правила, касающиеся расстановки скобок.
В качестве знаков для сообщения дополнительно введем: числа 2, 3,... (Иак в элементарной арифметике); знак 0 (нуль) для обозначения полинома 1 — 1; обычное обозначение для степени: например, если 8 — цифра, то хз обозначает полипом, получающийся из Ь заменой каждой 1 переменной к и расстановкой между двумя соседними л знака .; знак = для сообщения о взаимной заменимости двух много- членов. Заменимость многочленов регулируется следующими содержательно формулируемыми правилами: 1. Законы ассоциативности и коммутативностн для знаков + и 2.
Закон дистрибутивности 3. Правила для знака —: а — 6=о+( — 6), (а+Ь) — Ь.=-а. 1 ° а=а. 5. Если два полинома в и п не содержат переменных и зяака — и если в смысле элементарной арифметики имеет место равенство в = и, то в заменим посредством и. Зги правила заменимости относятся к тем полиномам, которые фигурируют в начестве составных частей других полиномов. Из приведенных правил могут быть выведены дальнейшие утверждения о заменимости, которые представляют собой т о ж д е с т в а и теоремы элементарной алгебры. В качестве простейших доказуемых тождеств упомянем следующие: ФИНИТНАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ 59 ««1 53 ЗЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА ФИНИТНАЯ УСТАНОВКА ГЛ» 11 В числе теорем, которые могут быть доказаны с помощью неформальных рассуждений, отметим следующие фундаментальные утверясдения: а) Пусть а и б — два взаимоваменамых полинол«а, иэ когпорых по меньшей мере один содержит переменную х.
Пусть из а и б получаюп«ся полиномы а1 и Ь1 путем замены переменной х всюду, где она входит, одним и тем же полиномом с. Тогда а1 и б, также взаимозаменимы. б) При подстановке цифр вместо переменных из верного равенства между полиномами получаетея верное в арифметическом смысле числовое равенство (предполагается, что правила действий с отрицательными числами включены в арифметикУ). Поясним смысл втого утверждения на следующем простом примере. Равенство (х + у) (х + у) = х' + 2 х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
