Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Кроме того, относительно любого всеобщего высказывания о целых числах предполагается, что либо оно справедливо для всех чисел, либо что существует число, для которого это высказывание места ме имеет. Эта альтернатива, «1еЖпш поп е)а»пг» для целых чисел, неявно используется также и в п р и н ц и п е н а и м е н ь ш е г о ч и ела, который гласит, что если некоторое высказывание о целых числах имеет место хотя бы для одного числа,то существует и наименьшее число,для которого это высказывание имеет место.

Принцип наименьшего числа в своих э л е м е н т а р н ы х применениях носит финитный характер. Действительно, рассмотрим высказывание Я (и) о произвольном числе и. Пусть ш — некоторое конкретное число, для которого имеет место Я (ш). Просмотрим последовательно числа от 1 до ш. Тогда мьг должны будем найти первое таков число 1, для которого Я (1) верно, так как самое позднее таким числом является ш.

Это число 1 и является наименьшим числом со свойством Я. Это рассуждение базируется на двух предпосылках, которые в случае неэлементарных применений принципа наименьшего числа выполняются далеко не всегда. Во-первых, мы предположили, что справедливость высказывания Я для некоторого числа имеет место в том смысле, что нам действительно указано некоторое число Ш со свойством Я (ш), в то время как в неэлементарных ситуациях о существовании числа со свойством Я зачастую можно заключить лишь при помощи «гег«1пш поп да»пг», без фактического указания такого числа. Второе предположение заключается в том, что для любого числа 1 нз ряда чисел от 1 до т можно выяснить, имеет ли место Я (г). В случае элементарного высказывания Я (и) «) Закон ясключевяого третьего (букв.— «третьего яе дало»).

Этот латинсяяй термин авторы прямевяют для уяомяваяяя ямеяяо того частного случая общего логического закона ясллючевяого третьего, который упоминается в дяяяом комтек«те.— П им. яеиее. воаможность такой проверки имеется конечно всегда Однако если Я (и) является неэлементарным высказыванием, вопрос о том, имеет ли оно место для данного числа 1, может представлять собой нерешенную проблему. Пусть, например, «р (а) — функция, определенная рядом последовательных рекурсий и подстановок в том виде, как мы их допускаем в финитной арифметике, и пусть Я (и) означает высказывание о том, что существует число а, для которого «у (а) = и.

Тогда для заданного числа 1 на вопрос о том, имеет ли место Я (1), в общем случае (т. е. если функция ер не является особенно простой) нельзя ответить путем прямого рассмотрения ситуации; такой вопрос скорее носит характер математической проблемы. В самом деле, рекурсии, встречающиеся в определении 1р, дают нам значения этой функции только для заданных значений аргумента, в то время как в вопросе о том, имеется ли число и, для которого «р (а) имеет значение 1, речь идет о всем пробеге значений функции 1р. Таким образом, во всех тех случаях, где упомянутые предпосылки финитного обоснования принципа наименьшего числа не выполняются, для обоснования этого принципа приходится привлекать «гегггпш поп ЙаЬцг» 1).

Приведем несколько примеров альтернатив иэ области арифметики, которые получаются при помощи «ЬегЫпш поп да1пг» для целых чисел, но не могут быть выяснены финитно при нынешнем состоянии наших знаний. 1. Либо всякое четное число, большее двух, представимо в виде суммы двух простых чисел, либо существует четное число, большее двух, непредставимое в виде суммы двух простых чисел. 2. Либо всякое целое число вида 2 + 1 при 1) 4 разла- 11 гается на два множителя, болыпие 1, либо имеется простое число вида 2 +1 с1)4. 3. Либо всякое достаточно большое целое число представимо в виде суммы менее 8 кубов, либо для каждого целого числа л имеется большее целое число ш, которое не представимо в виде суммы менее 8 кубов. 4.

Либо существуют сколь угодно большие простые числа обладающие тем свойством, что р + 2 также является простым числом, либо имеется наибольшее простое число с этим свойством. 5. Либо для всякого целого числа п ) 2 и для произвольных положительных целых чисел а, Ь, г равенство а" + Ь" = г" места не имеет, либо имеется такое наименыпее целое число и ) 2, для которого уравнение аз + Ь" =с" разрешимо в положительных целых числах. 11 Г1 ) Принцип наименьшего числа мы поэдяее выведем в рамках рассматряваемого нами формализма. См. гл.

УП с. 348. б4 элементАРИАН АРиФметикА, ФинитнАя устАнОВкА [гл 11 Такого рода примеры из области арифметики годятся для того, чтобы мы могли уяснить себе простейшие формы нефинитной аргументации. И все-таки в арифметике потребность в выходе за пределы финитной точки зрения на самом деле не является такой уж ощутимой; действительно, едва ли можно указать такое выполненное в рамках арифметики доказательство, в котором нельзя было бы при помощи сравнительно легких модификаций обойтись без применения нефинитных способов умозаключений. й 4.

Нефииитиые )методы в анализе 1. Различные определения действительного числа. Иначе обстоит дело в анализе (исчислении бесконечно малых); здесь нефинитные способы образования понятий и нефинитные доказательства являются неотъемлемой частью методов теории. Напомним вкратце основное понятие анализа, понятие действительеого числа. Действительное число обычно определяется либо как монотонно возрастающая последовательность рациональны х чисел г, < г, < гз1< ° ° имеющая верхнюю границу (ф у н д а м е н т а л ь н а я п о с л од о в а т е л ь н о с т ь), либо как бесконечная десятичная или двоичная дробь, либо как разбиение рациональных чисел на два класса, при котором всякое число из первого класса меньше любого числа иэ второго класса (д е д е к и н д о в о с е ч е н и е). При этом в основу кладется представление о том, что рациональные числа образуют некоторую фиксированную совокупность, которая может быть рассматриваема как ипдивиднае область.

Совокупность всевоаможных последовательностей рациональных чисел, соответственно всевозможчых разбиений всех рациональных чисел, в анализе также мыслится как индивидная область. Конечно, вместо совокупности рациональных чисел в основу рассмотрения достаточно будет положить совокупность целых чисел, а вместо разбиений всех рациональных чисел говорить о разбиениях целых чисел. Действительно, всякое положительное рациональное число может быть задано парой чисел и и и, а всякое рациональное число может быть представлено в виде разности двух положительных рациональных чисел, т.

е. в виде пары числовых пар (т, и; р, д). Точно так же и любая двоичная дробь вида О, а,а,аа..., где каждое из чисел а„а„аю... равно либо О, либо 1, может трактоваться как разбиение всех целых чисел, а именно как разбиение их на те числа к, для которых ад = О, и на те, для которых НЕФИНИТНЫЕ МЕТОДЫ В АНАЛИЗЕ аа = 1. Всякому разбиению положительных целых чисел указанным образом взаимно однозначно соответствует двоичная дробь упомянутого вида. С другой стороны, всякое действительное число может быть представлено в виде суммы целого числа и некоторой двоичной дроби этого вида. Вместо разбиений целых чисел мы можем рассматривать их з1ножества; действительно, всякое множество целых чисел определяет разбиение их на те числа, которые принадлежат рассматриваемому множеству, и на те, которые ему не принадлежат, и, наоборот, само это множество вполне однозначно определяется упомянутым разбиением.

Сказанное вьппе справедливо и в отношении дедекиндовых сечений, каждое из которых моягет быть представлено некоторым множеством рациональных чисел (например, своим нижним классом, который характеризуется следующими свойствами: 1) он содержит по крайней мере одпо рациональное число и по крайней мере одно из пих не содержит; 2) вместе со всяким рациональяым числом он содержит все меньшие рациональные числа, а также по крайней мере одно большее). Однако экзистенциальное допущение, которое мы вынуждены положить в основу анализа, ослабляется этими изменениями лишь в незначительной степени. По-прежнему остается потребность рассматривать и многообразие целых чисел, и многообразие множеств целых чисел как фиксированные индивидные области, для которых имеет место «Сег1шгп поп багет».

Лишь со ссылкой на эти области и становится осмысленным (в качестве частичного суждения) высказывание о существовании целого числа, соответственно множества чисел, со свойством 6, независимо от того, является ли оно (это высказывание) понятным. Таким образом, хотя понятия б е с— е о.н е ч н о б о л ь ш о г о и б е с к о н е ч я о и а л о г о теорией действительных чисел в собственном смысле слова из рассмотрения и исключаются, оставаясь лип1ь в качестве способа выражаться, понятие б е с к о н е ч н о г о все-таки продолжает сохраняться в виде бесконечной совокупности. Пожалуй, даже можно сказать, что представление о бесконечных совокупностях было введена и впервые систоматически применено на деле только здесь в процессе строгого построения анализа. Чтобы убедиться, что при построении анализа действитетьно по существу используется предположение, что область целых чисел, рациональных чисел, а также область множеств (разбиений) этих чисел представляют собой некие единые совокупности, достаточно будет проанализировать некоторые из фупдамевтальных понятий и способов рассуждений.

Если действительное число определяется нами как возрастающая последовательность рациональных чисел г,<г,<г, д. гкаммрь и. Бернайс бб злементАРВАя АРНФметикА. ФпннтнАН устАновкА !Гл. )1 НЕФПНИТНЫЕ МЕТОДЫ В АНАЛНЗЕ то нефинитным оказывается уже понятие равенства действительных чисел. В самом деле, определяют ли две такие последовательности одно и то же действительное число — это зависит от того, имеется лн для каждого числа из первой последовательности большее число во второй последовательности и наоборот.

Ыы, однако, не располагаем общим методом для решения этого вопроса. С другой стороны, если исходить из определения действительных чисел при помощи дедекиндовых сечений, то нужно будет доказать, что каждая ограниченная возрастающая последовательность рациональных чисел производит некоторое сечение, которое представляет собой верхнюю грань этой последовательности. Это сечение получается разбиением всех рациональных чисел на числа, которые мажорируются хотя бы одним нз членов последовательности, и на те, которые этим свойством не обладают. Иначе говоря, рациональное число и причисляется к первому илн ко второму классу сечения в зависимости от того, имеется среди чисел последовательпости число, болынее и, или же все числа последовательности не превосходнт г.

Характеристики

Список файлов книги