Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1 ыы ввели непосредственно как пстинностыую функцшо, а именно как фуикцшо, которая принимает значение «ложь», если А истинно и В ложно, и значение «петина» в остальных случаях. Таким образом, таблица этой истипвостной функции имеет впд В истина лоэкь Выбор упомянутых четырех пстпнвостных функций мы произвели, взяв за образец структуру вашего языка; конъюнкция. отрицание, дпзьюнкция и пмпликация сопоставляются нами употребляемым в языке словам «и»< «не», «илп», «если..., то...». Сопоставление зто выглядит следующим образом: необходимь,ы и достаточным условием истинности каждой из этих четырех истипностных функций является то сочетание истинности аргументов, которое выражается посредством сопоставленного этой функции слова.
Таким образом, условие истинности заключается: дли конъюнкции А Ас В в том, что А истинно и В истинно. для отрицания 1Л в том, что Л не истинно, для дизъюнкции Л 1/В в том, что Л истинно или В истинно. дли имплпкации А — <- В в том, что если Л истинно, лло В истинно. Для упоминания истинностных функций при чтеыии формул мы будем польэоватьгя соотнесепнымп этим функциям словами; прп этом мы должны полностью отдавать себе отчет в том, что такое употребление слов не всегда будет совпадать с их обычным употреблением в разговорном языке '). ') В разгазарыаы языке айычыа пыают дело с сачетаыыяыы самих зыскязызаыый, а ке пх пстпыыасгыых зыачеыш1.
Правда, з «луча« каыъюыкдиы ылм атрыцаыыы зта раллычыа еще ые ощущается, ва уже з случае дызъюыктивыых п гипотетических высказызаыпй аыа становится злы«тыны. Высказызаып< «ц ыли Е» выражает тат факт, чта И ы 21 язляштсы лакыыы вава«явностями, которые вместе в аыределеыыаы атыашаыпы полностью ысчерпызают запас возможностей. Высказывание «еслы И, та Е» выражает аыределеыыую взаимосвязь, эследсгзас которой ыстыыыасть И является асыаэаыыаы для гага, чтоб<в заключить аб ыстмыыаатм Ю.
В обоих случаях садаржаыме рассматриваемого зыскаэызаыая ые сводится к какому-лпйа атыашеыиса между ыстыыыастыымп зыачеыиыыы И ы Ф. Этыл! ы абъя<ыыюгся различные несоответствия, палучасащыеся з т< м случае, когда дпзъюыкгывыыа ы пшагатычвскма связи между предлажевынмы теОРия истннностных «<гнкций Введем еще одну истинностную функцию — «эквиеа«ентностпь» А В. Опа будет выражать совпадение пстпнностных значений двух высказываний — отношение, для которого в речевом обиходе в нашем распоряжении ке имеется никакого специального слова. Таблица этой истпнностной функции такова: Таким образам, эквивалентность А В является истнппой, если А и В оба истинны илп оба ложны; в противном случае Л В поиска.
2. Замеиимость; правила замены. В связи с введением этих пяти истиниостных функций тут же возникает целый ряд вопросов. Прежде всего бросаетсн в глаза, что этн функции не являются независимыми. При детальном рассмотрении оказывается, что каждая из них может быть выражена через отрицание и конъюпкцию или через отрицание п дпзъюпкцпю., а также через отрицашсе и импликацию. Для кратности мы будем говорить, что два составных высказывания з а м е н и и ы друг другом, если опп представляют одну и ту же истииностную функцию. Только что сформулированные утверждения вытекают из следующих легко устанавливаемых соотношений заыек мости: А — В заменимо выраменпем (4 а: В) с,< (!Асс 1В), а также (Л - В) сч (В - А): Л-»В заменимо выражением 1А 1! В; мьшагатся пытерпретыра»ать, с одной стороны, как мстпыыастыые фуыкдыы, а с другой атаровы — з саатветств<сп с абычыыы слазаупатреблаыыем.
Тасс, например, если кч ложного прадлажеыпы «сыаг черен» и пстыыыага предложеыыя «сыег бел» абраэазать дза составных прадлаысеыыя <сыег черен ылп снег бель и «еглп снег черен, та снег бал». та аба аып как патыыыастыыа фуыкдыы язляштсы пстыиыымп: плшыыа, перла« мз ыых есть астппыая дызъюыкцыя, а второе — истинная ымылпклцыя; теы ые менее с тачка »раппы обычного словоупотребления аш! могут быть мрыэыаыь< ысгиыыымп суждеымямы разве :пап ь с большой натяжкой.
В атыашеыыы ммылыклцып эта трудыасгь а!меч»ллсь милы<мы а»тара!<с<1 з случае ды«ъюыкпыы ыа аыалагычваа палажеыыа вещей указывал з частности П. Герц. См. его доклад: П е г 1 «Р. П Ьег Ахнаыепзул!«та Ье!<еЪ|<лег 8«1»»у«саша.— Апы. д, РЬ1!ал., 1928, 8. 71 6, Вец 6, а также Уоас Ц а.вы дал 1 <в81- »«Ь«а,...
— Есйаылсл1», 1932. 2, <1 5.'6. тногпя пстпнностных Функций ИСЧИСЛЕЕгнн ВЫСКАЗЫВАНИЙ (гл. »ы 78 Л )/ В заменимо выран«ением ) Л-+- В, а также 1 ( 1А & ?В); Л & В заменимо выражением 1 ()А ')/ )В). Имеется и еще одна, гораздо более радикальная возможность сведения. Именно, все пять рассмотренных истинностных функций могут быть выражены через одну-единственную, шестую. В качестве такой функции можно взять 1 А ))/ 1 В (А и В и с к л ю ч а ю т д р у г д р у г а ) '), которая ложна, если оба аргумента Л и В истинны, и истинна в противном случае, а также функцию 1А & 1 В (н и А, н и В), которая истинна, если А и В оба ложны, и ложна в противном случае; все ранее рассмотренные нами истинностные функции могут быть вырангены через каждую из этих двух.
Факт этот доказывается очень просто. Если для истинностной функции, представленной посредством выражения ?А )/ )В, ввести в качестве обозначения символ ?Пеффера А(В, то, как легко убедиться, ) А заменимо выражением А ) Л, А & В заменимо выражением (А) В)((А) В). А с помощью отрицания и конъюнкции, как мы уже знаем, можно представить и дизъюнкцию, и импликацию, и эквивалентность.
Совершенно аналогичным образом устанавливается выразимость пити рассмотренных истинностных функций и через связку «ни А, ни В». От рассмотрения соотношений заменимости мы приходим к «исчислению высказываний», сформулировав на базе этих соотношений некоторые правила преобразования составных высказываний. Термин п р е о б р а з о в а н и е здесь должен пониматься в смысле взаимной заменимости; это значит, что произвольное заданное выражение можно будет заменять всяким другим выражением, представляющим ту же самую истинностную функцию. При этом речь идет о таких выражениях, которые составлены пз переменных А, В,... с помощью знаков &, 1, '1/, -+. и ') Факт выра»ииоств истивностных фупкпий через одну-единственную был первоначвльио обнаружен Чарльзом Савдерсом Пирсом. Посвящениаи »тону»опросу работа А Воо?еап А!8еЬга ЙНЬ опе Сон»«ав« относится к 1880 г.
(сп. » Со1?сс?»»? Рарег» о( СЬ»г1«» Баабге» Р»1гсе, ч. 4.— Са>аЪНбле, Маж, 1333 рр. 13 — 18). Однако, »то открытие, по-»идииому, ие стало общеи»»естныи. Указанное обстоятельство было»ат»и — веэ»висвио — переоткрыт» В?еффером (Н. М. 8Ь»Пег). Си. »го работу А е»1 о( Пче ров?п?»1»в...— Тг»пв. А>п»г. Ыа»Ь. 8ос., 1913, 14, рр. 481 — 488. Из определения заменимости мы прежде всего можем извлечь следующие, универсальные по своему характеру правила под- становки: В!. Пусть выражение 0 заменимо выражением 3; пусть Л, ..., К вЂ” переменные, фигуриру>ощие в выражениях ?? и 3, и пусть ??' получается из П, а 3' — из 3 путем подстановки выражений Я, ..., й вместо переменных Л, ..., К.
Тогда 0' заменимо выражением 3'. 82. Пусть выражение П заменимо выраженим 3, а выраже- ш>е Ж содержит О в качестве составной части. Пусть (У' получает- ся из б подстановкой выражения В вместо атой составной части ??. Тогда (ь заменимо выражением (4'. Далее, мы приведем ряд утверждений о заменимости, получа>о- щнхся из определений истинностных функций в сочетании с пра- вилом Я. Эти утверждения будут носить специальный характер, п в дальнейшем мы будем пользоваться ими в качестве правил заменьп (Прописные готические буквы обозначают выражения рас- сматриваемого нами хипа.) 1.
Правила для конъюнкции и дизъюнкции: а) Я & Я и Я )/ Я заменимы посредством Я, б) Конъюнкция и дизъюнкция ассоциативны и коммутативны. в) Имеет место закон взаимной дистрибутивности: (Я &3) )/ б заменимо посредством (Я )/ б) & (3 )/ б), (Я )/ 3) &6 заменимо посредством (Я &>») )/ (3 & (4). 2. Правила для отрицания: а) 1 ?Я заменимо посредством Я. б) 1(Я & 3) заменимо посредством 1Я )/ 13, 1(Я )/ 3) заменимо посредством ?Я & 13. - Правила 1 и 2 выражают формальные свойства конъюнкции, дпзъюнкции и отрицания. К ним примыкают правила замены еще одного вида, являющиеся следствием того факта, что функции А )/ 1А и А )/ 1А )/ В тождественно принимают значение «исти- на», а функции А & 1 А и Л & ) А &  — значение «ложь». 3.
Правила сокращения и распространения: а) Я & (3 )/ 13) и Я & (3 )/ ?3 )/ Я) заменимы посредством Я. б) Я ')/(3& 13) и Я >/ (3 & ?3 & (У) заменимы посредством Я, В дальнейшем нам понадобятся следующие, уя>е упоминав- шиеся преобразовании, с помощью которых -».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
