Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Этим способом мы можем, например, доказать высказанное ранее утверждение о заменимости выражения ( 1А ~/ В) & (~В )/ С) & ( ) С в/ А) ИСЧИСЛЕНИВ ВЫСКАЗЫВАНИИ 90 1РЛ, 111 д 2д истиннОстные Функции и логичгскии ВыВОд 91 посредством (А д/ 1В) дс(В д/ 1С) сч (С д/ ~Л). Действительно, если к каждому из этих двух выражений применить законы дистрибутивности в сочетании с правилами 1б) и Зб), то в обоих случанх мы получии одну и ту же совершенную дизъюнктивную нормальную форму (АЬВд С) дылд,~вб: чс). Основывающийся на совершенных нормальных формах критерий заменимости в сочетании с тем фактом, что обе совершенные нормальные формы всегда могут быть получены применением правил замены (вместе с правилом подстановки 82), позволяет нам, кроме того, получить следующий результат: Если выражение Я заменимо посредством З, то переход от Я к З можно осуществить применением правил замены и правила 82; или еще короче: всякая э менимость может быть установлена с номощью имеющихся в нашем раскоряжении нравил гамены.
Тем самым мы в общих чертах построили теорию истинностных функций. Теперь задача заключается в том, чтобы уяснить себе, в каком отношении к логическому выводу находится эта теория. В 2. Применение теории истинностных функций к логическому выводу; формализация умозаключений в логике высказываний с помощью тождественно истинных выражений, правила подстановки и схемы заключения Пусть ЯД» Яг» °...
б — какие-либо определенные предложения (например, матема ические утверждения), относительно которых мы будем предполагать, что каждое из них объективно однозначным образом является истинным или ложным, однако для каждого из этих предложений в отдельности может быть и неизвестно, какой именно из этих случаев имеет место. Между этими предложениями могут иметься определенные зависимости; пусть, например, оказалось, что когда 61 и Яз оба нвляются истинными, истинным должно быть также и (бд.
Тогда по определению иипликации отсюда получается, что выражение (фдад ~~2 +.(Бд обязательно примет значение «истина». Наоборот, если мы знаем, что выражение Яд дд (Бз — » Яз при заданных истинностных значениях предложений Яд, Яз, Яд принимает значение «истина», то отсюда можно заключить, что если истинны Яд и Я„то предложение Яз также будет истинным. Точно так же получается, что если истинность Яд и одновременная с этим ложность Яз исключают истинность Яд, то выражение оддс ~Я2 + ~бдд при указанных истинностных значениях выражений бд, бз Яд будет иметь значение «истина»; и обратно: если это выражение имеет аначение «истина» при заданных истинностных значениях предложений Я„Я», Яд, то в случае истинности Яд и ложности Яз выражение Яд непременно окажется ложным.
Таким образом, всякая зависимость между истинностью и ложностью каких-либо определенных предложений Яд ° ° ° д Яд продставляется посредством истинности некоторой импликации. Теперь в рамках логики высказываний ставится следующий вопрос. Допустим, что между предложениями Я„..., Я„(соответственно их отрицаниями) имеются некоторые зависимости; допустим также, что про некоторые из этих предложений известно, что опи являются истинными (соответственно ложными).
Требуется выяснить, вытекает ли из этих допущений чисто логически, т. е. без учета структуры предло»некий Я„..., Я„, истинность или ложность какого-либо определенного предложения или какая- нибудь новая зависимость медкду предложениями. Каждому из сделанных допущений соответствует некоторое выражение, построенное из Яд,..., Я„с помощью анаков дс, 1, — ~- и принимающее ввиду сделанного предположения значение «истина» всякий раз, когда мы вместо Яд,..., Я„подставим принимаемые иыи значения «истина» или «ложь».
Таким образом наши допущения будут представлены некоторыми выражениями Я(Ядд ..., Яд)д йг(61, ..., Я„), ..., й(ЯД, ..., ДОА). Чтобы мы имели возможность сделать отсюда вывод об истинности некоторого соотношения ЙЯ„..., Я„), прежде всего долдкно оказаться, что при подстановке вместо Яд, ..., Я„принимаемых иии значений «истина» или «ложь» импликация (')( (Я . ". Я.) д ш(Я, ..., Я ) й ...
й к(Я, "., до )) — ~ ж((;„..., В„) принимает значение «истина». Но вывод об истинности 3 (Яд,..., Я,) должен оказаться справедливым без учета структуры предложений Я„..., Яд. [гл. !ы Исп!ИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1а.тинногтные Функции и логический ВыВОд 93 з з! Поэтому написанная выше импликация должна принимать значение «истина» и в том случае, если мы вместо предлоявений Й1„... ..., бп подставим какие-нибудь другие предложения, удовлетворяющие лишь тому условию, что их истинность или ложность определяется однозначно. Зто значит, что импликация (Я (А„..., Ал)Ы ... б! Я(А1ю ° ° |Ап))-и Ж(А„..., Ап), получающаяся из написанной выше путем замены предложений ю„..., б„перемепныь1и А„..., Ал, должна быть тон дественно истинной.
С другой стороны, если это условие Выполнено, то отсюда немедленно следует, что если допущения, представленные выражениями Я (С1, ..., С ), ..., й (С1, ..., С,). являются истинными, то истинным является н предложение й %„..., 1З„); таким Образом, при этих предположениях моя!- но будет сделать вывод об истинности ь. Значит, вопрос о том, можно ли на основании допущений Я, ..., Й сделать логический вывод об истинности ь, сводится к тому, чтобы выяснить, является ли тождественно истинной формула (Я(А1, . ~ Ап)<й ° ° б1й(А11 ° ° 1Ап))-+-~(А1 4л)~ а для этого мы располагаем простым методом проверки.
Отсюда становится понятнь!м значение, которое тождественно истинные выражения нме!от для процесса вывода в области логики высказываний: они доставляют в наше распоряжение схемы умозаключений, и благодаря им принципы логического вывода оказываются представленными в виде определенных формул. Кроме того, наличие кругозора в части тождественно истинных выражений позволяет нам зконоьшо строить те или иные логические умозаключения, относящиеся к области логики высказываний. Теперь для формализации процесса вывода нам осталось лишь условиться, что в случае тождественпой истипности выражения (Я (А1~ ° ° з Ал) А ° ° ° К й (А1в °, Ап)) -1- Х(А1,, Ап) мы будем говорить, что из посылок Я ((Е, ..., (Е ), ..., й % , ..., Сп) по схеме Я (С1, ° °, (Б1) а: (1З1, ..., б„) может быть получено с л е д с т в и е Е (Я„..., гб„).
Заданная этим согла!пением процедура формально может быть разложена на еще более простые. Прежде всего, выражение (Я (А1, ..., Ап) Ь ... й й(А1, ..., Ап)) -3-3(А„...1.4п) мы можем за1юнить некоторым другим. Ранее мы установили, что А Ь В -~ С заменимо посредством А — л (В -~ С). Ото!ода далее получается, что А Ос В х С -и Р заменимо посредством А -и- (В 81 С -и Р)п а потому и посредством А -+. (В -+- (С вЂ” ~- Р)). Аналогичным образом мы убеждаемся, что выражение АО! ВО1 ... А!К-~.
Т заменимо посредством А -и ( — и (... -+. (К вЂ” ~ Т)...)). Отеюда, согласно правилу З1, получается, что выражение Я (А11 ° ' Ал) б! ° ° б! Й(А1, ° ° .1 Ап) — 1- Ж (А1в ° ! Ап) заменимо посредством Я(А,, ..., Ап)- (З(А„..., А,)-~(... — «(К(А„..., А„)-э з,(А„..., Ал)) ...)) и, следовательно, это выражение является тождественно истинным, поскольку таковым является предыдущее. Теперь для того, чтобы, исходя иэ этой формулы, при помощи посылок Я ((З1, ..., С ), ..., 11'(Ж1, ..., !З ) придти к закл!очению л ((О„..., (Зп), пам требуется, во-первых, правило, которое позволяло бы производить подстановку предложений (З1,..., Я„вместо переменных А„..., А„, чтобы получить формулу Я ((О1, ..., 6.) - (З(а, . °, Ып) -~- ( .
— (Я1 (61, ..., (Бп)- ~(Я1. " 6.)) ° .)). и, во-вторых, правило, в соответствии с которым мы могли бы друг за другом отбрасывать левые части импликаций, поскольку они совпадают с нашими посылками. Поэтому формализация умозаключений рассмотренного типа может быть осуществлена в виде некоторой последовательности ф О р м у л, относительно которой мы уславливаемся о нижеследующем: ДЕДУКТИВНАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИИ аа [ГЛ.
1!1 исчисление ВыскАзыВАниИ В качестве исходной формулы может быть взято любое тождественно истинное выражение, а также любая посылка, записанная с помощью логической символики. Вслед за данной формулой может быть написана любая другая, получающаяся из нее подстановкой выесто одной или нескольких переменных некоторого (заеисанного в символической форме) предложения (правило подстановки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
