Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 45
Текст из файла (страница 45)
С другой сто- роны, подставляя четвертое равенство в третье, находим Х ХАХ (ХА)т Х АтХтХ или Х = А т 2, где 2 =- ХтХ. Теперь доказываемое следует из пред- ложения 7. Используем полученные нами свойства псевдообратной для получения общего решения нормальной системы. П р е д л о ж е н и е 13. Общее решение нормальной системы (3) для системы (1) определяется формулой х=А Ь+(Š— А А)с, еде с — произвольный столбец вьссоты и. В частности, если си- стема (1) совместна, вта формула дает ее общее решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предложению 5 столбец А'Ь вЂ” нормальное псевдорешение и, следовательно, является част- ным решением системы (3). Остается доказать, что столбец г = = (Š— А'А) с при произвольном с — общее решение нормальной однородной системы А тАг = О. Докажем это. Во-первых, для любого с АтА[(Е А+А)с) АтАс — АтАА "Ас=АтАс — АтАс=б. Это означает, что г — решение нормальной однородной системы.
Во-вторых, для любого решения я системы АтАя = О найдется столбец с, при котором я = (Š— А'А) с. В действительности можно просто положить с = г, так как система АтАг = О равносильна системе Ая = О, и потому (Š— А'А) г=г — А'Аи=г, Это заканчивает доказательство предложения. Геометрическую интерпретацию этого результата можно получить, если заметить, что, согласно предложению 11, при любом с столбец (Š— А'А) с есть ортогональная проекция с на подпростраиство вы решений системы Аг = О.
2оо гл. нл псавдогашания и псввдооаглтныв млтгицы 2 2. Псевдообратное отображение' В этом параграфе мы, в отличие от 2 1, будем придерживаться геометрической точки зрения. Здесь будет определено и изучено исевдообратное отображение для линейного отображения А: Ж„ -в. э е„, где Ж„ и б — евклндоны пространства размерностей а и,лг. 1. Определение. Отображение А может оказаться не взаимно однозначным по двум причинам: или Кег А ~ о, и тогда найдутся два различных вектора х, и х, в Ж„, образы которых совпадают.
Или же 1гп А не совпадает с 6„, и тогда в 6„найдется вектор, не имеющий прообраза. Напомним, что для сопряженного отобрзжения А*: о — Ж„аыполнегго равенство 1ш А* = (Кег А)с. Поэтому А взаимно однозначно тогда и только тогда, когда выполнены два условия: 1пгА*=В„, 1гпА=8 . Мы можем превратить А во взаимно однозначное отображение, если ограничим каждое из пространств. Точнее, имеет место Предложение 1. Пусть А,— ограничение А на1гпА . Тогда А, отображает 1ш Ав на 1ш А взаимно однозначно. Действительно, рассмотрим произвольный вектор д ен 1ш А.
Он имеет прообраз х в Ж,. Разложим х в сумму х, + х„где хь ~ ен 1ш А", а хг ен Кег А. Тогда А (х) = А (х,) + А (х,) = А (хь). Следовательно, у имеет в качестве прообраза вектор х„из 1ш А*. Покажем, что этот прообраз в 1гп А* единственный. Действительно, пусть х„х,' ев 1ш А* и А (х,) = А (х,'). Это значит, что хь — х,' ен 1гп А* и х, — х,' ен Кег А, откуда следует, что х,— У вЂ” х, = о. Отображение А„введенное в предложении 1, как и всякое взаимно однозначное, имеет обратное отображение А,', которое определено на подпростраистве 1гп А ~ 8 . Мы хотим определить линейное отображение А'г о -+. е„, для которого А,' является ограничением па 1ш А.
Для этого мы введем отображение Р, которое сопоставляет каждому вектору д ~ 8 ортогональную проекцию у на 1гп А. О п р е деле н и е. Отображение А,'Р: о — б„называется псевдообратным для А и обозначается А'. П р е дл о ж е н и е 2. Каковы бы ни были ортонормированные базисы е в о'„и Т" в 8, матрица отображения А' в базисах Т" и е является лсевдообратной для лгатрицы отображения А в базисах в и Т. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим сначала, что отображения А, А* и А' связаны соотношением А*ААе = А'. гО1 5 Е ПСЕЕДООБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Для этого рассмотрим вектор д ы О н обозначим через у' его ортогональную проекцию на 1гп А. Подействовав на у отображением А*АА+, получаем А*АА,'Р (у) = А*АА„' (у') = А' (у').
С другой стороны, д — у' ен (1ш А)ь = Кег А*, и потому А' (у) = А* (у'). Равенство, таким образом, проверено. Если базисы ортонормированы и отображение А имеет матрицу А, то А г — матрица отображения А*. Поэтому матрица отображения А+ удовлетворяет условию (8) ч 1. Установим равенство (7) 5 1. По определению отображения А' имеем 1ш А': — 1ш А".
Поэтому для каждого из базисных векторов 7'; (1 =- 1, ..., и) найдется вектор г; такой, что А" К) = А' (г;). В координатах это означает, что (-й столбец матрицы отображения А+ имеет вид АТЬ; при некотором столбце Ц. Это равносильно проверяемому равенству. Мы убедились„что в паре ортонормированных базисов матрица псевдообратного отображения удовлетворяет равенствам (8) и (7) Э 1. 1(ля завершения доказательства остается сослаться нз предложение 7 э 1. Заметим, что написанное при доказательстве предложения 2 включение 1ш А': — 1ш А' вместе с равенством рангов (15) 2 1 дает 1шА 1ш Аэ Предложение 2 позволяет переносить результзты о псевдообратных матрицах, полученные в 5 1, на псевдообратные отображения. Отметим, например, что (А')* =(А')'.
(2) Но мы не будем систематически этим заниматься. Наша ближайшая задача — упрощение матрицы отображения А' за счет выбора базисов. 2. Запись в сингулярных базисах. 22ля отображения А существуют сингулярные базисы е в о„и Г в О такие, что матрица отображения А в этих базисах имеет вид, указанный в теореме 1 2 1 гл. 1: (3) о о~ В этой матрице отличны от нуля только элементы с равными значениями индексов дп — — а2 при ((г = йа А.
Матрицы такого вида являются обобщением квадратных диагональных матриц. Прямоугольную матрицу с элементами дц — — 0 при гэь 1' мы назовем диагонпльной матрнцей. Ненулевые элементы матрицы (3) — ненулевые сингулярные числа отображения А, ХО2 ГЛ. СЕ. ПСЕВДОРЕШЕИИЯ И ПСЕВДООБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Поскольку сингулярные базисы ортонормированы, псевдообратное отображение А' в сингулярных базисах отображения А имеет матрицу Р'. Найдем псевдообратную для диагональной матрицы. Для всех 1 = 1, ..., т ее с-й столбец является нормальным псевдорешением системы линейных уравнений 0$ = еп где е, — с-й столбец единичной матрицы порядка лс, Нормальная система уравнений для этой системы ртрх рт более подробно может быть написана так: о~ ат а-! Вс= (4) О о~ Перечислим несколько непосредственных следствий получеяного нами результата.
Так как 0' — диагоналысая матрица, ее псевдообратная строится по тому же правилу, и мы видим, что (О')' = О. Отсюда следует, что для произвольного отображения (А" )" = А. (5) Выписывая соответствующее соотношение между матрпцами в произволысой паре ортонормнрованных базисов, получаем следующее свойство операции перехода к псевдообратной матрице: (А )'=Л. (6) Сравнение матриц Р' и Рт показывает, что равенство А" = А* имеет место тогда н только тогда, когда ненулевые сингулярные числа А равны 1. Это является обобсценнем свойства ортогонального преобразования, для которого А ' = А*, и все сингулярные числа равны 1. Обозначим через е и у соответственно первый и второй сингулярный базисы отображения А.
Пусть 0 — матрица А в базисах аДт=ас ° О пРи 1'Фс', 1==г, асяс = ас при с == г, О $А=О при й)г. Очевидно, что столбец Е будет решением этой системы, если ьс =- а; при с' ( г, а зс = О при 1 ~ с, 1' = г, каковы бы ни были элементы 5", при й г. Решение будет иметь минимальную норму, если все эти элементы равны нулю, т. е. ел = — О прн й ) г. Итак, с-й столбец матрицы 0' равен (О...а О...О)т прн с .: г н О при с ) г. Матрица О', составленная из этих столбцов, является диагональной матрицей размеров л х т с числами а,', ..., а,' на «диагонали»: % В ПСЕВДООБРАТНОВ ОТОВРАЖЕИИВ вил. Тогда Р' — матрица А+ в базисах~не, а (Р')ВР+ — матрица отображения (А+)ч А' в базисе ~.
Легко видеть, что (Р')г Р'=б(ан(а,', ..., а,'> О, ..., 0) — квадратная диагональная матрица порядка т. Это означает, что второй сингулярный базис у отображения А состоит из собственных векторов отображения (А')гА'. Следовательно, он только порядком векторов может отличаться от первого сингулярного базиса отображения А', (Напомним, что векторы сингулярного базиса упорядочиваются так, чтобы последовательность сингулярных чисел не возрастала.) Далее, образы векторов базиса у при отображении А' — это векторы, координатные столбцы которых — столбцы матрицы Р'. Онн получаются умножением некоторых векторов базиса е на множители а1' или О.
Базис е — ортонормированный базис в о„, в состав которого входят нормированные ненулевые векторы А' (Ц. Поэтому е не более чем порядком векторов отличается от второго сингулярного базиса отображения А+. Подводя итог, получаем П р е д л о ж е н и е 3. Первый и второй сингулярные базисы отображения А' не больи~е чем порядком векторов отличаются соответственно от второго и первого сингулярных базисов отображения А, Если а„..„а, — ненулевые сингулярные числа А, гпо а,', ..., а,' — ненулевые сингулярные числа А". Для каждого отображения ядро есть линейная оболочка тех векторов первого сингулярного базиса, которые соответствуют нулевым сингулярным числам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
