Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если учесть ошибки округления и в равенстве (А — рЕ) 'х„= =алмХВ, ПОД ХВ„Н Х, понимать фактически вычисленные векторы, то это равенство должно быть исправлено дополнительным слагаемым (А — РЕ) ххх=алмх~,,д+мь Все векторы их ограничены:!1 иэ ~~ ( б, причем б НЕ зависит от ите- рации. Как и выше, мы можем написать ((А — рЕ) — м~х„) х, = гх„,1хн,ь Это значит, что результат тот же, что и при точном выполнении итерации е возмущенной матрицей (А — рЕ) ' + Р, где Р = — и*ха.Поэтому на какой-то итерации может оказаться, что векг тор хеыбудет е рабочей точностью совпадать с хю но он будет собственным вектором ие для (А — рЕ) ' (и тем самым не для А), а для другой близкой матрицы.
Иными словами, нельзя гарантировать, что улучшение. приближений хэ будет продолжаться после $ Е ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ 177 того, как х„окажется равным собственному вектору некоторой матрицы (А — РЕ) ' = Н, где 1~ Н 11 (6. Фактически достижимая точность зависит от обусловленности собственного вектора и собственного значения. Если приближенное значение характеристического числа не известно заранее, в принципе степенной метод будет сходиться и при любом сдвиге (напрнмер, нулевом), но сходимость будет гораздо более медленной.
В этом случае для ускорения сходимости применяется сдвиг, меняющийся на каждой итерации. Для симметричной матрицы лучшие результаты получаются, если в качестве сдвига брать отношение Релея, вычисленное для очередного вектора хь. Мы не будем подробно останавливаться иа этом, как и на многочисленных других приемах, предназначенных для ускорения и уточнения степенного метода.
Отметим только, что со всеми этими улучшениями обратный степенной метод со сдвигом зарекомендовал себя как наиболее точный и эффективный метод нахождения одного илн нескольких собственных векторов. 4. Дальнейшее развитие степенного метода, Описанный выше степенной метод позволяет найти один из собственных векторов, принадлежащих максимальному по модулю характеристическому числу. Посмотрим„как его можно видоизменить для получения других собственных векторов.
Пусть А — симметричная матрица, и один из ее собственных векторов р уже найден и нормирован так, что 11 р ~~ = 1. Если мы хотим построить последовательность, сходящуюся к другому собственному вактору, естественно выбрать начальный вектор ортогональным р. Однако вектор х„ получаемый после первой же итерации степенного метода, уже не будет ортогональным р, и мы должны будем его подправить. Это приводит к следующему процессу. Если уже построен вектор хм то полагаем Уи,1 АХЫ гыз Уь+х — РРТУь,м а„+,х„,г = гд+,. Множитель пл+, выбирается так, чтобы выполнялось условие 1~ х,+1 1= ! . Как легко видеть, хе+т ортогонален р, Собрав предыдущие равенства вместе, получаем аьмхьы =(Е -ррг) Ахм и, таким образом, построение последовательности равносильно применению степенного метода с матрицей Н=(Š— рр") А.
Это означает, что последовательность хх сходится к собственному вектору д матрицы В, соответствующему максимальному по модулю характеристическому числу р1 этой матрицы. Для нахождения р1 заметим, что В имеет те же характеристические числа, что и А, но кратность корня ~, уменьшена на 1, а кратность нулевого характеристического числа увеличена на 1 [или 1ТВ Гл. Ие ВВедение В численные методы появился корень Х = О, если его не была). Действительно, рассмотрим ортогональную матрицу 3, первым столбцом котовой является р, и с помощью этой матрицы образуем матрицу В = Я 'ВЯ. Она может быть записана как Ь ' (Š— ррг) Я) '18 ~А81 Сомножители, заключенные в квадратные скобки, имеют соответственно вид ! О, 01 1~ 0 "° 0~ Л ~0 Перемножая эти матрицы, находим В матрице В' последние и — 1 строк те же, что и соответствующие строки второго сомножителя.
Сравнивая характеристические много- члены матриц А, А и В, мы приходим к требуемому заключению. Таким образом, р, = Х„ если кратность Х, в характеристическом многочлеие матрицы А больше единицы, а в противном случае и,, равно следующему по величине модуля характеристическому числу матрицы А. Легко видеть, что вектор д ортогоналеи р.
Действительно, р1рггу =)зги =рг (Š— ррг) АН=ОЛд =О. Отсюда при р, ~ 0 получаем рггу = О. Докажем, что для симметричной матрицы А вектор ~у будет также и ее собственным вектором. В самом деле, умножение какого- либо вектора на матрицу Š— прг превращает этот вектор в его ортогональную проекцшо на ортогональное дополнение ч4 подпростраиства, натянутого на р. Поэтому равенство (Š— ррг) Ад = = щу означает, что А(у = рпу+ ар. (6) Отсюда следует, что в случае, когда ВФ" инвариантно относительно А (в частности, для симметричной матрицы) Ад=рай, как и требовалось, Итак, в случае симметричной матрицы последовательность ха сходится к собственному вектору А, ортогональному р.
Применение степенного метода к матрице В можно упростить, если привести ее к указанному выше виду В', в котором первая строка и первый столбец — нулевые. Любая степень матрицы В' имеет такой же вид, и потому дело сводится к применению степенного метода к матрице А порядка п — 1, Мы ие будем останавливаться на реализации этого метода понижения порядка, а также на других подобных методах, называемых методами исчериыааниа, 179 $ Е ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ Пусть теперь матрица А не симметрична. Действуя, как указано выше, мы можем построить вектор д, но в соотношении (6) число а может оказаться отличным от нуля.
Если кратность корня )ч больше ), то для этого нужно, чтобы вектор р имел первый присоединенный вектор. Действительно, при нт = Х, и а Ф О соотношение (6) может быть переписано в виде (Л вЂ” Х,Е) (а-т~у) = р. Нетрудно и построить пример, в котором и оказывается присоединенным к ранее построенному р. Если корень р.1 не кратный, н, ~ й„то по вектору д может быть построен собственный вектор г матрицы А, принадлежащий характеристическому числу рь Мы будем искать этот вектор в виде 7' = ру + ))р. Легко проверить, что равенство А(и-)-()р) = н,(~у+ рр) будет выполнено при )3 = а/(Н, — Уч).
Пусть характеристические числа матрицы А таковы, что ) ), ) ) ) Ц ~ ) ! ), ! ) ..., причем р,1 и Лз вещественны. Тогда для отыскания )., и соответствующего собственного вектора можно воспользоваться следующим методом, Вспомним, что каждый собственный вектор сопряженного преобразования А* ортогонален всем собственным векторам А, принадлежащим другим собственным значениям. Применяя прямой степенной метод, мы можем найти единичный вектор и, для которого Аги = ).,и, игр=ать О и иг~у = О, где р и гу — собственные векторы А, принадлежащие соответственно Х, и )з. Может быть показано, что процесс, построенный по формулам у,+, — — Лх„г„„=у>„, — ии уь„, а„„х„, = г„„ сходится к собственному вектору, соответствующему У, Доказательство незначительно отличается от приведенного выше для симметричной матрицы, н мы предоставим его читателю.
Вернемся к случаю симметричной матрицы Л и допустим, что нами построено два ее собственных вектора рсн и р~м. Третий собственный вектор этой матрицы можно построить аналогично, ортогонзлизуя на каждой итерации вектор Ах, по отношению к рсо и р'". Вообще, если построена ортонормированная система из з собственных векторовра1...., ры~, то следующий вектор может быть построен применением степенного метода к матрице что равносильно ортогонзлизации вектора Ахз по отношению ко всем р1'~, ..., р1р~.
Таким путем можно найти ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицьь ГЛ. Нь ВВеденИе В численные методы Другой близкий к описанному метод отличается тем, что. собственные векторы матрицы вычисляются не последовательно, а одновременно. При этом векторы, которые мы строим на каждой итерации, рассматриваются как столбцы одной матрицы, и таким образом строится последовательность матриц. Процесс, соответствующий прямому степенному методу без сдвигов, строится по формулам АРи = ~'иим )'иы = Риии)7и+н (7) Столбцы матрицы Р, ортонормированы, а матрица Яи„, выбирается так, чтобы ортонормированы были столбцы Р„, В дальнейшем изложении нам придется опускать все больше подробностей. В частности, мы не будем исследовать сходимость процесса (7).
Таким процессом, в частности, может быть получена пара комплексно сопряженных корней Х, и )., и соответствующее двумерное инвариантное подпространство, если корни этой пары превосходят по модулю остальные характеристические числа. В этом случае матрицы Ри состоят из двух столбцов, которые стремятся к векторам ортонормнрованного базиса в инвариантном подпространстве. иги — матрицы второго порядка, и их характеристические числа стремятся к комплексно сопряженным характеристическим числам Хи и Х, матрицы А. Если о характеристических числах матрицы А ничего не известно, то процесс (7) лучше проводить с матрицами Р„содержащими а ортонормированиых столбцов, т. е. с ортогональными матрицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
