Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Может быть также показано, что Р~И =(А — р,Е)...(А — р Е). Разработан ряд правил для выбора последовательностей сдвигов. Мы не будем их излагать. Отметим только, что наибольшее ускорение дает сдвиг, близкий к характеристическому числу матрицы А. Встречаются случаи„в которых скорость сходимости ненормально мала. Бывают и такие матрицы, которые вообще не меняются при преобразованиях 9»х-алгоритма (единствеиная диагональная клетка предельной матрицы совпадает со всей исходной матрицей). В таких ситуациях может помочь практически произ« вольный сдвиг, . З 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ 1ЗЕ Существуют также различные усложнения и модификации дя-алгоритма со сдвигом, которые приспособлены к различным частным ситуациям, например к нахождению комплексно сопряженных характеристических чисел вещественной матрицы.
й. Апостериорные оценки точности вычислений. Если мы вычислили некоторое приближение к решению полной проблемы собственных значений, то в широком классе случаев можем использовать полученный результат для оценки его точности. Мы будем предполагать, что вычисленные характеристические числа Лы ..., Л„' различны, а вычисленные собственные векторы Ц, ..., Я линейно незаВисимы. Мы можем составить а векторов-невязок А ь Р Л ь Ооозначив через Х и Р матрицы со столбцами ~ь,' и р; соответственно, объединим написанную выше систему равенств АХ вЂ” ХВ=Р. Здесь Р = б1ад (Лы ..., Л„"). Умножая на Х-', получим Х-'АХ = О+ Х-'Р.
Последнее равенство означает, что результатом точногопреобразования матрицы А матрипей Х будет матрица, отличающаяся от диагональной на добавку )г = Х 'Р. Если Л," и $,": — хорошие приближения, то норма матрицы Р мала. Если 1 Г !! также мала, то характеристические числа В + Г могут быть оценены по характеристическим числам О, т. е. истинные характеристические числа А оцениваются по их вычисленным приближениям. Эта оценка может быть произведена при помощи построения локализационных кругов (см. 4 4 гл. П), если элементы матрицы У вычислены достаточно точно. Для достижения максимальной точности матрица невязок Р вычисляется в режиме накопления скалярного произведения, а решения систем линейных уравнений, с помощью которой находятся столбцы матрицы Г, подвергаются итерационному уточнению (п.
3 4 4). Допустим теперь, что мы вычислили только одно характеристическое число Л1 и соответствующий собственный вектор Я. Посмотрим, как может быть оценена их точность. Естественно снова начать с невязки Ае," — Ц$; = р. Не ограничивая общности, можно считать, что ~! ~,* 1з = ~,*~~, = 1, и переписать предыдущее равенство в виде (А -Л~Š— рй*, ) й,*=О.
Это показывает, что Л", является собственным значением, а й,— собственным вектором для возмущенной матрицы А + Н, где Н = 186 гл. нь вввдвнив в числвнныв мвтоды = — р~*,г. При этом нетрудно показать, что 11 Н 11 = 11 р 11 (ср. стр. 174). Согласно формуле (14) $ 2 мы получаем пип 1 Х~ — Ц ! ~ ч (А) ) р (. Эта оценка не слишком полезна. Во-первых, ч (А) нам неизвестно. Мы можем получить для него верхнюю границу, если найдем остальные собственные векторы и число обусловленности составленной из них матрицы. Кроме того, эта оценка может оказаться слишком завышенной, если первое собственное значение матрицы хорошо обусловлено, а кроме него есть еще и плохо обусловленные.
Еще один подход заключается в следую.цем. Пусть 8,* н ~1,"— вычисленные приближения к собюшеппым векторам матриц А и А" соответственно, причем точные векторы ~, и ~1, принадлежат одному и тому же собственному значсншо Х,. Мы будем считать векторы 6, и Ч, нормированными, а разности Ц, = 8;" — 6, и бт), =- — — принадлежащими соответственно линеиным оболочкам векторов ~„..., ~„и т1„..., т1„(ср. стр.
131). В силу этого соглашения Чтбй, = О и бт1гэ, = О. Вычислим выражение Ч*гд0 (Ч" +6Ч",)(Х,З,+Л88,) 6Ч,(Л вЂ” Х,~)88, ' — Х,+ ' ' '. (12) '1 '1 Здесь з; = т),*гз, =з, + бт1тЯг Мы видим, чтовычисленный коэффициент з', отличается от истинного на величину порядка произведения ошибок. Если этот коэффициент не является слишком малым, вычисленное нами выражение очень мало отличается от истинного собственного значения. Если матрица А симметричная, то 8; н и, можно взять совпадающими, и выражение (12) превращается в отношение Релея для матрицы А.
На этом основании рассматриваемое выражение называется обобщенным огпношениеж Релея. Для симметричных матриц расчеты с использованием отношения Релея производятся проще и приводят к хорошим теоретически обоснованным оценкам. В несимметричном случае мы можем сказать только, что если вглубь = — дает с т)*, и Ц малые невязки, то оно — хорошее приближение для Х„а з," — хорошее приближение для з,. Значение р обобщенного отношения Релея может быть использовано не только для оценки погрешности, но и для уточнения результата, Для этого, приняв р аа величину сдвига, находят собственный вектор обратным степенным методом. ГЛАВА 1У ПСЕВДОРЕШЕНИЯ И ПСЕВДООБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ й 1. Элементарные свойства 1.
Вводные замечания. В практических задачгх часто бывает нужно найти решение, удовлетворяющее большому числу возможно противоречивых требований. Если такая задача сводится .к системе линейных ургвпений, то система оказывается, вообще говоря, несовместной. В этом случае задача может быть решена только путем выбора некоторого компромисса — все требования могут быть удовлетворены ие годностью, а лишь до некоторой степени. Поясним это следующим примером. Г!усть из физических соображений можно считгть, что в некоторой области пх изменения величины у и х связаны линейной зависимостью вида у = ух + Ь, а коэффициенты должны быть установлены экспериментально.
Экспериментальные данные представляют собой пг точек на координатной плоскости (к„у,), ..., (х,„, д ), Если эти пары значений действительно связаны искомой зависимостью, то подстановка их в уравнение приводит нас к системе из гп линейных уравнений для двух неизвестных й н Ь: д =ух -(-Ь, Прп любых различных х; и х, пара точек (хо д;) и (хэч уг) определяет прямую. Но другая пара точек определяет другую прямую, и у нас нет оснований вьюрать какую-нибудь одну из всех прямых. Если экспериментальные данные в достаточной степени заслуживают доверия, то несовместность системы служит основанием для того, чтобы отвергнуть гипотезу о линейной згвисимости. Вопрос о совместимости экспериментальных данных с гипотезой линейной зависимости решается статистическим анализом, Пусть точность исходной информации допускает существование линейной зависимости. В этом случае то, что в действительности нужно, — это найти такую прямую на координатной плоскости, которая, может быть, не проходит ни через одну пару экспериментальных точек, или даже ии через одну из точек, но в каком-то смысле возможно более близко расположена ко всем точкам (рис.
4). Обычно в этой задаче удаленность точки от прямой измеряют не расстоянием, а разностью ординат д, — йх~ — Ь, и выбирают прямую так, чтобы сумма квадратов всех таких разностей была минимальна, Коэффициенты й, и Ьа уравнения этой прямой дают не- 188 гл. пл псввдоеншвния и псавдоовгктныв млтгицы которое решение стоящей перед нами задачи, которое отнюдь не является решением системы линейных уравнений (вообще не имеющей решений). Можно считать числа я, и Ь, обобщенным решением системы или, как говорят, псевдорешением.
Точное определение этого понятия будет дано ниже. В 5 1 мы ограничимся такими элементарными свойствами псевдорешепий и связанных с ними псевдообратных матриц, которые можно без труда вывести, не используя ничего, кроме известных пз Рис. 4. общего курса теорем о системах линейных уравнений и об ортогональных дополнениях подпространств в евклидовом пространстве. Таким образом, этот параграф может читаться независимо от предыдущих глав. Мы будем рассматривать систему линейных уравнений Ах=Ь (1) с матрицей А размеров и Х и. Буква г будет обозначать ранг этой матрицы. Никаких условий на и, п и г, вообще говоря, не накладывается. Поскольку х — столбец высоты и, а Ь вЂ” столбец высоты и, для геометрической иллюстрации естественно будет использовать арифметические пространства егг„и М . Под нормой столбца х с элементами к', . „к" мы будем понимать его евклидову норму, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
