Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Прп этом Л' состоит из т столбцов высоты и, т. е, имеет те же размеры и Х т, что и матрица А'. Из теоремы 1 следует, что каждая матрица имеет одну и только одну псевдообратную. Для невырождениой квадратной матрицы Л псевдорешение каждой из систем (б) совпадает с решением, и потому псевдообратная матрица совпадает с обратной. В другом крайнем частном случае — для нулевой матрицы размеров т х и, — применяя результат примера 4 из конца предыдущего пункта, мы можем заключить, что псевдообратной является пулевая матрица размеров п Х т. П р е д л о ж е н и е 5.
Псевдорешение систелгы линейных уравнетт" (1) может бьгть записано в виде хе = Л+Ь. Действительно, сголбец свободных членов Ь представляет собой лпнегшую комбинацию столбцов единичной матрицы порядка т: Ь= 1)ге,+...+(У„,е„. По определепиго псевдообратной матрицы и согласно предло>кению 4 псевдорешение х„есть линейная комбинация столбцов псевдообратной матргшы с теми же коэффициентами х, = (уса', +... + ()„а'. Это равносильно доказываемому утверждению. Заьгстггм, что предложение 5 имеет главным образом теоретическое значение, как и правило Крамера для невырожденных матриц. Нахождение псевдообратной матрицы не обязательно для вы.
числепия нормального псевдорешения и требует больших затрат труда. Напомним, что евклидовой нормой 11 А 11в матрицы Л называется квадратный корень из суммы квадратов ее элементов (ср. $ 4 гл, 1). Псевдообратвая матрица обладает следующим экстремальным свойством. П р е д л о ж е н и е б.
Для любой матрицы Х размеров и х т выполнено соотношение 1АА+-Е(ге~( АХ вЂ” Е(в. 194 гл, ш псввдогзпшния и псввдоовгатныа млтьицьз При етом, если для какой-нибудь матрицы Х, отличной от Ач> здесь имеет место равенство, пю 1! А' 1!в (!! Х 1!в. Д о к аз а тел ь с та о. По определению при любом ? столбец а? псевдообратной матрицы дает минимальную невязку при подстановке в систему (б). Поэтому для Ьго столбца матрицы Х )Аа; — е;1~! Ах;-е;!. Если же тут при к;чьа? достигается равенство, то!! а) !! "' 1!х; 1!.
Заметим, что квадрат евклидовой нормы матрицы равен сумме квадратов норм ее столбцов. Следовательно, возводя в квадрат и суммируя приведенные соотношения по всем 1 = 1, ..., т, мы придем к доказываемому утверждению. На основании формулы (5) при любом 1 = 1, ..., т существует такой столбец еь что 1-й столбец псевдообратной матрицы имеет вид а," =Л геь Следовательно, существует такая квадратная матрица Е порядка т, что А'= АгЛ. (7) Такой матрицей будет матрица в =!! в„..., в„!1, составленная нз столбцов еь Псевдорешение А'Ь системы Ая=Ь удовлетворяет соответствующей нормальной системе, и потому АТАЛ Ь Атд Это равенство имеет место при любом столбце свободных членов Ь. Следовательно, матрицы в левой и правой частях равенства равны между собой. Итак, АгАА- Аг (8) Иногда бывает полезна формулировка этого результата, сходная с (7): существуег квадратная матрица 8, порядка п, для которой У~А' Аг.
П р е дл о ж е н и е 7. Матрица Х является псевдообратной для А тогда и только тогда, когда АгАХ=Аг и существует квадратная матрица У такая, что Х = Аг2. Необходимость этих условий показана в формулах (?) и (8). Докажем достаточность. Для этого заметим, что для (-го столбца единичной матрицы из АГАХ = Аг следует АгАХе, Агеь а это означает, что Хе„ т. е. 1-й столбец Х, удовлетворяет нор. мальной системе для (-й системы (б), Кроме того, для этого столбца выполнено условие (5) о 1-м столбцом матрицы в Хе;- Агап Предложение доказано, $1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ СВОИСТВА' Используя предложение 7, нетрудно установить, что для любого числа а, отличного от нуля, (аА)+ = сс-'А+. Из предложения 7 вытекает и следу1ощее П р е д л о >к е н и е 8.
Если У вЂ” ортогональная матраца порядка и, то (уА)" = Атуг, а для ортогональной латри11ы порядка п (АУ)-' = У'А'. Докажем первое равенство. Имеем А'У" =АТП/г, согласно (?), для матрицы А. Отсюда Л'Уг = ЛТУТУУУТ = (УА)г(УУУТ). Это означает, что матрица А+Ус получается из (УА)г умножением на квадратну|о матрицу Л„= УЯУТ. Далее, в силу равенства (8) для матрицы А имеем АгугуАА'уг = Агут.
Этим первая часть предложения доказана. Вторая часть доказывается аналогично. Заметим, что предположение об ортогональности матрицы У здесь существенно. Уже для квадратной невырожденной матрицы Ь', вообще говоря, (ВА) ' ~ А+5-', как показывает следующий пример. Пусть Б=~~)з о(п А =)(о и В= БА =~(г~. Матрица ВТВ имеет единственный элемент 5, и потому из формулы(8) 1 2' получаем В+ =~ —, — ~. С другой стороны, легко видеть, что 1 5-' =~'( 1, Л'=) 1, О) и Л'5-'=~~(о, Таким образом, известная формула обращения произведения матриц не обобщается на псевдообратные матрицы: (АВ)' чь В'А' Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы равенство (АВ)' = В'А+ все же выполнялось, и выражение для псевдообратной к произведению в общем случае можно найти в книге Алберта П).
Следующее предложение позволяет найти псевдообратную матрицу в двух важных частных случаях. гэв гл. гч. псввдоввшвния и псввдооаглтныв млтгицы П р едл аж е н не 9. Если столбцы матрицы А линейно независимы, то А+= (ЛгЛ)-1 Лг, (9) Если строки матрицы А линейно независимы, то Л+ Лг (ЛЛг)-1 (10) Докажем первое утверждение. Если столбцы Л липеипо независимы, то по предложению 3 нормальная система А гАх = Л гЬ прп любом столбце Ь имеет единственное решение. Матрица А "Л в этом случае имеет обратную, и решение равно (ЛгА) 'ЛгЬ. Подставляя вместо Ь столбцы единичной матрицы порядка т, мы видим,что столбцамн Л+ будут столбцы матрицы из правой части равенства (9).
Если строки матрицы А линейно независимы, то по теореме Кронекера — Капелли система Лх = Ь совместна при любом Ь и, следовательно, нормальным псевдорешением будет то ее решение, которое имеет минимальную норму. Таким решением будет решение вида х = Агв при некотором г. Таким образом, нам надо отыскать столбец в, удовлетворяющий системе линейных уравнений ЛЛтв = Ь. В рассматриваемом случае матрица ААг имеет обратную, и потому г=(ААг) 'Ь, а нормальным псевдорешением системы Ах = = Ь является столбец х = Ат(ЛАг) 1Ь. Отсюда, подставляя вместо Ь столбцы единичной матрицы, приходим к формуле (1О).
Вычисление псевдообратной для любой ненулевой матрицы А может быть сведено к двум описанным в предложении 9 случаям с помощью разложения А на множители, называемого скелетным разложением. Скелетным разложением матрицы Л размеров т ~~ п и ранга г) 0 называется разложение вида А = ВС, где матрицы В и С имеют размеры соответственно т х г и г Х н. Так как ранг произведения не превосходит рангов сомножителей, а ранги В и С не могут быть больше г, то они равны г.
Получить скелетное разложение ненулевой матрицы можно, например, следующим образом. Рассмотрим столбцы ма~рицы Л, в которых расположен ее базисный минор, и составим из них матрицу В. Это — матрица размеров т к г. По известной теореме каждый столбец матрицы А есть линейная комбинация столбцов матрицы В. Коэффициенты этих линейных комбинаций запишем в столбцы и, расположив их в естественном порядке, составим из них матрицу С. В ней будет п столбцов высоты г, т. е.
это будет матрица размеров г х и. Известно, что Ь-й столбец произведения матриц есть линейная комбинация столбцов первого сомножителя с коэффициентами, равными элементам й-го столбца второго сомножителя. Поэтому А = ВС, и мы получилн одно из скелетных разложений матрицы А, 197 $ !. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОНСТВА С вычислительной точки зрения этот способ получения скелет- ного разложения далек от совершенства.
Другие способы будут рассмотрены в 9 3. В общем случае формула (ВС)' = С'В', как мы видели, неверна. Однако имеет место П р ед л о ж е н не 10. Если А = ВС вЂ” скелетное разложение з>атри>1ы А, то ее асевдообратная равна А-' — С>В* Ст (ССг)-1 (ВтВ)- Вт До к а з а т е л ь с т в о.
Так как ранги В иСравныг, строки С и столбцы В линейно независимы. В силу предложения 9 С' = = Сг (СС") ' и В' = (В'В) 'В'. Проверим для матрицы Ст (ССг) ' (ВтВ) >Вт условие (8). Подставляя ЛтЛ вЂ” СтВтВС имеем что и требовалось. Условие (7) для матрипы 77 означает, что существует квадратная матрица 7, для которой >с =- СРВгс,. Условие будет проверено, если мы докажем существование квадратной матрицы 7 порядка т, для которой ВРУ = (ССР) ' (ВРВ) 'Вг. Последнее равенство равносильно системам линейных уравнений вида Вте а (; 1 для столбцов матрицы 2, причем в правой части 1-й системы стоит 1-й столбец матрицы Я = (СС") ' (ВРВ) 'Вт.
(Нетрудно проверить, что матрица 8 имеет размеры г м т.) Строки матрицы Вг — столбцы матриць>  — линейно независимы, и потому каждая из систем совместна в силу теоремы Кронекера — Капеллн. Таким образом, оба условия (7) и (8) справедливы для матрицы )с, и доказываемое предложение следует из предложения 7. Предложение 10 позволяет получить некоторые свойства псевдообратных матриц. Именно, имеет место равенство (А.>.) г (А г)+ (11) В самом деле, матрицы ВРВ и ССР симметричны. Симметричны и их обратные.
Поэтому, транспонируя выражение для А', мы находим (Л+)г = В(ВРВ) т(ССР) 1С. Но А г = СРВг — скелетное разложение для А г. Применяя его, мы получим для (Аг)' в точности то же выражение. Приведенное доказательство не проходит для нулевой матрицы, но для нее формула (11) очевидна. Это заканчивает доказательство формулы (11). Далее, пользуясь тем же предложением 1О, находим А+А Ст (ССт) -'С (12) Отсюда, в частности, видно, что матрица А>А симметрична. 19З гл. пл псзвдогзшвния и псввдоовгьтныв млтишы Пусть, как и выше, вь" обозначает множество решений системы Ае = О, а в7 — множество столбцов вида А тЬ при всевозможных о.
Тогда справедливо Пр е дл о ж е н и е 11. Для любого столбца х столбец А+Ах есть ортогональная проекция х на Ф, Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае нулевой матрицы Л множество вУ состоит только из нуля, и предложение очевидно. Для ненулевой матрицы мы можем воспользоваться формулой (12). Произвольныйстолбецвысоты п представим в виде х„-(- х„где х, енв~, а х, ~ьть'. Тогда Л Ах, = О, так как Ах1=0, и мы имеем, согласно формулам (5) и (12), А+А(х,.( х )=А.Ах,=Л'ЛЛтз=Ст(ССт)-'СС В'з=Ате=хо Предложение доказано. Применим формулу (12) к матрице Лт..Чы убедимся, что матрица (Лт)'Ат симметрична и по формуле (11) найдем (Лт)+ Лт =((Лт)' Ат)т АА+, Теперь, применяя предложение 11 к матрице Ат, мы получаем Сл ед с та и е.
Для любого столбца у ен ел" .сгполбец АА'у есть ортогональная проекция у на надпространство, состпавленное столбцами вида Ал для всевозможньсх я ~ вЯ,. Из предложения 11 и следствия из него мы выводим, что матрицы А'А и АА" идемпотентны, т, е. (А'А)' А'А, (ЛА')' = АА+. Каждый столбец матрицы А" является нормальным псевдорешением системы (6) с матрицей А и потому лежит в вУ, Применяя предложение 11, получаем А"Аа)' = а~' для каждого столбца А' и, следовательно, А'АА"=А+, (13) Аналогично, с помощью следствия из предложения 11, можно доказать формулу АА'Л = Л, (14) Используя оценку ранга произведения матриц в равенствах (13) и (14), напишем йд А' йй А+АА+ а- йй А и йн А = йя ААА+ ~ йд А+.
Отсюда Кя А = йн А+. (15) 5 ь Злементлгные своиствА 199 П р е д л о ж е н и е 12. Псевдообратпная матрица А' и только она удовлетворяет равенствам АХА А (АХ)т АХ и ХАХ=Х (ХА)т =ХА Доказательство. Выше мы видели, что для Х = А' все эти равенства удовлетворены. Докажем, что они имеют место только для А'. Транспонируем первое равенство Ат (АХ)т = Ат, Отсюда, согласно второму равенству, имеем АтАХ = Ат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
