Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(5) Принимая во внимание вид матрицы А), имеем Оу=(а,п', ..., а,у', О, ... О(т, где а„..., а, — ненулевые сингулярные числа матрицы А. Оче- видно, что для совместности системы (3) необходимо и достаточно, чтобы Ъгы =...=Б" =О. Прп этом условии столбец (а;'Ът, ..., а,'Ъг, д"+'...,, г*:гт (6) Раляется ее решением, каковы бы ни были (г"', ..., гг". Но независимо от совместносте системы (3) столбец (6) является общим решением нормальной системы (5). Нормальное псевдорешение— ьшнимальпый по норме из столбцов вида (6) — есть рР=(а,'Б~, ..., а Ъ', О,, 0)т.
(7) Итак, общее решение системы (5) (совпадающее с общим решением системы (3), если последняя совместна) имеет вид а — г у=у,+сте,;,+...+с„,е„=у„+Е. с. Здесь с — произвольный столбец высоты и — г, а Е"„' матрица, составленная из последних л — т столбцов е„„..., е„единичной матрицы порядка л. Используем формулу (4) для того, чтобы перейти к решению системы (!). Мы можем написать Х УГУ УгУ +УГЕ.— с Заметим, что умножение на ортогональную матрицу (гт не меняет нормы столбца. Поэтому столбец х, =- Угу, будет иметь минималь- ную норму и, следовательно, является нормальным псевдореше- нием системы (1).
Кроме того, нетрудно установить, что матрица У'т = УГЕ"„' состоит из последних л — т столбцов матрицы )гт. Итак, общее решение системы (2) может быть записано формулой х=хР+у'тс, где х, — нормальное псевдорешение, находимое как Утум а с— произвольный столбец высоты л — т. Таким образом, если известно сингулярное разложение ма- трицы системы (!), то легко могут быть найдены и нормальное псевдорешение этой системы, и ее общее решение, если она сов- местна. Нужно заметить при этом, что нахождение сингулярного раз- ложения — процесс, значительно более трудоемкий, чем решение 209 В 3.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ !А — А((8, ~~Ь вЂ” Ь1(б (рассматривается спектральная норма матрицы). Пусть хх — решение системы (8), а хх — решение системы (АТА+),2Е)х, = АТЬ. Оценим норму разности хх — хм Из равенства (Ат А+ РЕ) х (Ат А+ )„2Е)х, Ат Ь АТЬ (9) путем простых преобразований мы получаем (ДТА+УЕ)(хх — хд) (АтА АТА)х .1-(Аг Аг)Ь+Аг(Ь Ь) или хх — хх = (А г А + РЕ)-' [(А г А — Аг А) хх+ +(Аг Ат)(Ь вЂ” Ь)+(Аг Аг)Ь 1 Аг(Ь Ь)) (1О) Для любого х, по норме равного 1, имеем х" (АТА+)зЕ) х=(Ах)г Ах+3Рхгх) У.
Отсюда на основании предложения 2 2 2 гл. ! Мы заключаем, что характеристические числа матрицы АТА + УЕ не меньше чем )Р, системы, например, путем Я)с-разложения матрицы. Получение сингулярного разложения будет рассмотрено в п. 8 настоящего параграфа. 2, Использование регуляризации. Другой подход к нахождению псевдорешения системы линейных уравнений основывается на регуляризации ег матрицы, или, проще говоря, на использовании предложения 5 2 2. Именно, в качестве приближения к псевдорешению системы (!) берется решение системы линейных уравнений (А" А+)ВЕ) х АТЬ (8) с подходящим значением параметра Х. В предложении 5 2 2 мы показали, что при условии точного задания исходной информации н точного выполнения вычислений решение хх этой системы стремится прп Х-~- 0 к псевдорешению х, системы (1).
Однако при мзлых Х матрица системы становится, вообще говоря, плохо обусловленной. Поэтому, если исходная информация н вычисления имеют погрешности, вычисленное значение хх решения хх может сильно отличаться от хм Исследуем влияние возмущений матрицы А и столбца свободных членов Ь на решение системы (8). Пусть задана возмущенная система Ах =Ь, у которой матрица А и столбец свободных члевов Ь удовлетворяют неравенствам з!о гл.
тч псввдоевшания н псввдоовяатныв матгицы а характеристические числа ее обратной не больше чем Л а, Так как для симметричной матрицы сингулярные числа равны модулям характеристических чисел, наибольшее сингулярное число (АтА + + Л2Е) ' не превосходит Л '. Следовательно, ) Ат А 1 уЕ[-т ~Л-з Для спектральной нормы матрицы АтА — АтА имеем 11 АтА — АтА.",~1АтА АтА( 1 [АтА АтА(~ А[([Ат1+[А;;) «[А-А)(2[А1+[А — А1) ~бс+бл, Здесь используется тот факт, что спектральная парма не меняется при транспонированпи.
Это следует нз предложений 6 и 14 ч 1 гл, 1. Заметим, что число с = 2 1 А 11 определяется только матрицей А, Используя оценки норм матриц, входящих в равенство (10), мы получаем [хх — хл):=- Л-2 [(бс+ 62) [ хх [+ бз+ 6[6 [+1 А [Ч. Рассмотрим х, = А'Ь вЂ” псевдорешение системы (1). По предложению 5 З 2 х~-~Х, прн Л- О. Поэтому при Л, близких к нулю, норма хх ограничена.
Отсюда следует, что [хх — х,[=- л, Р(6, Л), Итак, У1 ь1 л'1а1 [хо — хь[:а ~ — = Лтд, а (аз+ Л2) а1 где д — постоянная. (12) где д — ограниченная в окрестности нуля функция, не зависящая от А и Б. Оценим норму разности х, — хх~ [х.— х,[ )А" — (АтА+Л*Е)- Ат .[()1. Для вычисления нормы матрицы В = А" — (АтА + )РЕ) 'Ат рассмотрим ортогональные матрицы У и )т такие, что 1:т = УтА)т— диагональная.
Заменяя А на Ит)тт, находим В = )т (О' — (тт'+ -1- ЛзЕ) ЧЭ) (3т, откуда !) В )! = )/О' — (1)'+ Л'Е) Ч) /!. Матрица 0' + (О' + ЛзЕ) '0 диагональная, и ее ненулевые элементы равны ау' — а; (а[+ Лз) ', 1 = 1, ..., т. Здесь т = йй А, а пав ненулевые сингулярные числа матрицы А.
По теореме 2 5 1 гл. 1 диагональные элементы матрицы сЗ' — (й'+ ЛзЕ) Ч) — ее сингулярные числа. Наибольшее из них равно спектральной норме матрицы, и потому 3Р [ А (Ат А 1 Л2Е)-т Ат [ ай~ — а (ат' + Лй) т = а, (а,'+У зг1 $3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Теперь на основании оценок (11) и (12) мы находим, что !хь — хь)«)х„-хь)+)х,-х,( = —,р(6, Х)+Уг). (13) Пусть точность 6 задания исходных данных фиксирована. Тогда при уменьшении Х увеличивается первое слагаемое в оценке (13) и уменьшается второе слагаемое.
По-видимому, может быть выбрано некоторое значение Х, дающее минимальную оценку для 11 хх — хь !!. Формула (12) позволяет провести оценку функции р (6, Х). В самом деле, из (12) следует что )х,1«)хь(+) Ф Подставляя это в выражение для р(6, Х), находим р(Б, Х) =.(с+6)()х,,",+Иу)+((Ь)+(А(+6)6= = с' + с"6+ г) (с+ 6) ) г, где с' и с" — положительные постоянные. Поэтому —, р (Ь, Х) « —, (с'+ с"6) + 64 (с+ 6).
Учтем это в оценке (13): )хь — хь1 « — х (с +с Ь) + 64(с+ 6)+ РР4 = — г+ Рц+1. Найдем значение Хг, прн котором правая часть равенства достигает минимума. дифференцируя по Хг, мы получаем уравнение — —,+4=0, из которого следует, что искомым значением будет 4.1 =~/ -',- =)'Ь,"+,"') (14) Легко видеть, что при таком выборе У норма разности хь — х будет величиной порядка )'6. г'1ы не будем подробно обсуждать формулу (14). Ве значение невелико, так как в ее правую часть входят неизвестные и трудно вычислимые величины ~~х,!1, а, и другие. Однако формула (14) позволяет сформулировать следующее П р е д л о ж е н и е 1.
Псегдорешение сисгпемы (1) можно найти с погрешностью порядка 3~6, где 6 определяет погрешность исходной информаггии гго формулам (9). 3. Вычисление псевдообратной матрицы. Теперь мы рассмотрим методы практического вычисления псевдообратной матрицы. Все трудности„возникающие при нахождении обратной для невырожденной матрицы, естественно, остаются и тут, но возникает н дополнительное затруднение. В гл, Ш мы ограничивали класс матриц, полагая, что рассматрнваеман матрица не является почти вы- 2>2 гл, нл псввдогвшвния н псввдоовгхтньш млтгицы рожденной, здесь же мы не можем накладывать на матрицу подобных ограничений.
В связи с этим возникает задача определения ранга матрицы. Как было отмечено на стр. 119, при учете ошибок округления и погрешностей исходной информации ранг может быть с уверенностью указан не для всех матриц. Вместе с тем результат вычислений очень существенно зависит от того, какое значение приписывается рангу исходной матрицы. Рассмотрим следующий пример.
Пусть А =~~ Тогда !!о !об~' Однако если мы пренебрежем элементом 1О а, то получим матрицу в=~~,' ,'!! и ее псевдообратную В, ~~1 о~! далекую от А-'. Увеличение точности н выбор более удачных алгоритмов может способствовать сужению класса матриц с неопределенным рангом, но принципиального решения эта проблема ие имеет. В последующем изложении мы будем предполагать, что на основании какнх-то соображений, возможно, связанных с постановкой той задачи, которая привела к необходимости вычислять псевдо- обратную матрицу, мы можем установить ранг заданной нам матрицы. В большинстве своем методы нахождения псевдообратной для заданной матрицы А связаны с разложением А на множители, Предложения 8 и 10 5 1 дают нам два случая, в которых из А = ВС следует А' = С'В'. Эти случаи и используются для вычислений.
4. Прямое получение скелетиого разложения матрицы. Это разложение было определено в и. 3 5 1. Из предложения 10 5 ! мы внделн, как оно может быть употреблено для псевдообращения матрицы. Посмотрим, как оно может быть найдено. Пусть дана матрица А размеров т х л. Если установлено, что эта матрица имеет ранг г, то при помощи элементарных операций со строками г ее столбцов могут быть превращены в первые г столбцов единичной матрицы. Пусть номера базисных столбцов 1„..., 1,. Элементами последних л> — г строк, согласно предположению о ранге, мы пренебрегаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
