Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому у-й столбец матрицы В прн /) г можно взять в виде )рц...р,, О...(...О), где рьо ..., р,~ — взятые с обратными знаками коэффициенты, с которыми /-й столбец Л раскладывается по базисным. Обозначим через Й" подматрицу матрицы Я, составленную из ее последних и — г столбцов. Из вышесказанного вытекает, что В" имеет вид '=!!..;! где У вЂ” клетка размеров г х (л — г). Так как АЯ" = О, имеем В( — У)+5=0, или В=ВО. Отсюда А =11В, В(/11= 2(8 гл.
пл псевдояешания и псевдооБРАтиыа мхтяицы =В)(Е„У!1, или А =ВС, где С = (! Е„У (!. Это разложение„очевидно, скелетное. Вычисленные нами матрицы Я и (,"> позволяют сразу же найти псевдообратную для первого сомножителя в скелетном разложении. Действительно, рассмотрим подматрицу )с; матрицы Р, расположенную в первых г строках и первых г столбцах. Легко проверить, что где Я, — подматрнца, составленная из ненуленых столбцов матрицы Я. Это разложение также скелетное. Следовательно, Я; = (Я;) 'В' и В' = (с,'ф'. Но столбцы Я, линейно независимы, ((Я, = Е, и потому ф = ЯЯ>) '9г = Яг, Окончателыю В" = )с;Я~.
Для нахождения С' придется еще раз применить метод ортоговализации и найти такую треугольную невырожденную матрицу Е порядка г, что Сгг". = Р, где Р— матрица с ортонормированными столбцами. Это возможно, так как строки матрицы С линейно независимы. Тогда, по аналогии с рассуждениями, проведенными для В, имеем Сг+ ЯРг С+ = РЯг, Заметим в заключение, что мы пользовалпсь для матриц А и С не ЧЯ-разложением, а результатом ортогонализацнн их столбцов. Если известно дй-разложение, полученное как-лнбо иначе, то потребуется дополнительно только обращение верхней треугольной матрицы, которое не представляет трудностей.
8. Вторая форма сингулярного разложения. Наиболее эффективным, хотя и сравнительно трудоемким способом решения задач, связанных с нахождением нормального псевдорешення и псевдо- обращением матриц, является получение сингулярного разложения. В ряде случаев нахождение сингулярного разложения может заменить нахождение псевдообратной матрицы. Сингулярному разложению, введенному в з 1 гл. 1, можно придать другую форму, которую мы сейчас и рассмотрим. Обозначим через Е„' матрицу размеров г х а, состоящую из первых г строк единичной матрицы порядка п.
Какова бы ни была матрица ~1, произведение Е„"(г (если оно определено) состоит из первых г строк матрицы (г. Если же определено произведение ВЕ'„, то оно представляет собой матрицу 3, к г столбцам которой приписано справа и — г нулевых столбцов. 9гй $3.
методы вычисления Рассмотрим матрицу А размеров т х и и ранга г. Ее сингу. лярное разложение имеет вид А = УгР7. Здесь 1) — диагональная матрица размеров и Х п вида !о о~ причем Л вЂ” квадратная диагональная матрица порядка г. й!атрицу 0 можно представить в виде произведения (Е„',)'ЛЕ„'. Тогда А =и (Е„,)т ЛЕ;У=(Е;„и)г Л(Е„Р). Согласно сказанному выше Е,',)т — матрица, состоящая из первых г строк Р, а (Е' У) состоит из первых г столбцов матрицы Уг. Обозначим этп матрицы соответственно через !', и Уг. Строки Г, и (/, (столсщы ~/,') ортопормировапы. Мы получили разложение А = 0~1Л!тм (19) которое назовем второй формой сингулярного разложения. Во вторую форму сингулярного разложения входят матрицы меньших размеров, чем в первую форму: нет необходимости вычислять и запоминать компоненты тех векторов сингулярных базисов, которые соответствуют нулевым сингулярным числам. Рассмотрим вкратце интерпретацию разложения (19) в терминах линейных отображений.
Пусть Ж„и о — евклидовы пространства, а А — линейное отображение Ж„в 8 . Ортогональное проектирование Ж„на 1ш А* определим как отображение Р: о*„-» 1ш А», сопоставляющее каждому вектору х ен Жл его ортогональную проекцию на 1ш А'. (Напомним, что проектирование не как преобразование простран. ства, а как отображение его на подпространство рассматривалось нами в и. 49 3 гл. П.) Если в Ф, н 1ш А* выбрано по базису, то отображению Р соответствует матрица Р размеров г х и. Так как (1ш А*)с = Кег А, для любого х ен Ж„имеем А (х) = А ° Р (х). Это легко проверить, записав х в виде х' + х", где х' ен 1ш А~, а х" ен Кег А.
Рассмотрим ограничение А, отображения А на подпространстве 1ш А'. Согласно предложению 1 9 2 А, взаимно однозначно отображает 1ш А* на 1ш А. Пусть, кроме того, ! — отождествление векторов из 1ш А с теми же векторами, рассматриваемыми как векторы из 8„. (Подробнее об этом отображении см. стр. 85,) Теперь отображение А мы можем представить как произведение А'=! АО Р. (20) ГЛ.
»Ц ПСЕВПОРГШЕНИЯ И ПСЕВДООБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Матричная запись этого произведения возможна после выбора четырех базисов: базисов в пространствах 6„, 1п! А«, 1ш А и 6 . Базисы в пространствах Ж„и о будем считать произвольными ортовормированными. Матрица отображения А в этих двух базисах обозначается через Л . В качестве базисов в пространствах 1т А* и 1а А выберем те векторы соответственно перво~о и второго сингулярных базисов А, которые соответствуют ненулевым сингулярным числам (таких векторов в каждом базисе рошю по г), В этих базисах отображение А„ имеет матрицу Л вЂ” диагональную с ненулевыми сингулярньп!и числами на диагонали, Очевидно, что при сделанном выборе базисов матрица отображения 1 имеет ортонормировацные столбцы.
Переходя в пространстве оу ко второму сингулярному базису, можно заметить, что при выбранном базисе в 1т Л отображение Р имеет матрицу Е,',,. Значит, при исходном базисе в Е,„ матрица Р, равная Е' У, имеет ортонормированпь!е строки. Таким образом, вторая форма сингулярного разложения может быть получена как координатная запись разложения (20). 3 а и е ч а н и е, В связи с разложением (20) стоит сказать, что в определении псевдообратиого отображения в начале э 2 следовало бы написать в качестве первого множителя отождествление векторов из 1ш А*. Мы не сделали этого, так как в этом случае, как и обычно, никаких трудностей не возникает, если отождествление просто подразумевать.
Однако бывают с»пуации (одна из которых нам только что встретилась), когда введение этого «лишнего» множителя проясняет картину. Наиболее естественньш путь построения сингулярного разложения матрицы Л состоит в решеняи полной проблемы собственных значений для матрицы Л ТЛ.
Однако практически этот путь мало приемлем. Действительно, при построении сингулярного разложения одним из важных вопросов является существование нулевого сингулярного числа и его кратность. Если сингулярные числа отыскивать как квадратные корни из характеристических чисел ЛТЛ, то решение этого вопроса затрудняется, поскольку квадраты сингулярных чисел хуже отделены от нуля, чем сами эти числа. Кроме того, при извлечении квадратного корня из близких к нулю чисел относительная погрешность оказывается очень большой. Если же матрица ЛТЛ все же используется, то из сказанного следует, что элементы этой матрицы должны быть вычислены с очень высокой точностью. Поэтому на практике (ср.
Форсайт, Малькольм и Моулер 138) Уилкинсон и Райвш [34]) применяется метод„который мы опишем для случая и» п. (При и (и можно тот же метод применить к транспонированной матрице), Гначала методом отражений строятся такие ортогональные матрицы (»' н У, что матрица Лш> = (»'гЛУ,является двудиагональ- Ф з, методы вычисления 22! ной, т. е, ее элементы а'')' могут быть не равны нулю, только если 1 = 1' или ) + 1 = 1.
Приведение к двудиагональному виду ничем не отличается от описанного для квадратных матриц в 5 5 гл. П1. Затем матрица Ам) преобразуется последовательностью ортогональных матриц 5<)), Рм), й = О, 1, 2..., по формулам Ам+)) с ))с) А))с) р))с) Матрицы 5')'), Рм) выбираются таким образом, чтобы последовательность А ы' сходилась к диагональной матрице В. При этом каждая из матриц Аон двуднагональная и а))о+ ) — О при й -о.
со. Если 8= 1!гп У")...Вм) и Р= 1)ш Рм)...Р"), то О=Я(УАУР Е со с со и разложение А = (о())Ч) (УР)г является сингулярным разложением А. Рассмотрим теперь матрицы 5))) и Ры). Каждая из них находится как произведение матриц плоских вращений: Вы) = 5,... 5„ Р = Рг ° ° ° Рос причем 5) и Р; — вращения в плоскости, натянутой на е,, и еь Эти вращения выбираются так, чтобы матрица Вы) = А)')гА)') преобразовывалась в матрицу В)"") = Р)')гВм)Р))), которая получается из Вы) одним шагом ЯЯ-алгоритма со сдвигом.
Однако матрицы 5) и Р; могут быть найдены только по элементам матрицы АЫ), а матрица В)м не используется и не вычисляется, Как и ЯЯ-алгоритм, этот итерационный процесс быстро сходится и дает точный результат. 9. Использование сингулярного разложения. Объединив сомножители во второй форме сингулярного разложения А =()'" (ЛУ,) мы получим скелетное разложение матрицы А. Действительно, размеры матриц ()) и ЛУ, соответственно и Х г и г х и. Заметив это, мы можемнаписатьА' = (ЛУ,)'(У~)", и так как столбцы матрицы 1)',~ ортонормированы, А' = (ЛУ,)'(с',. Далее, пусть В = ЛУ,.
Это разложение матрицы размеров г Х п на множители размеров г Х г и г Х и полного ранга также является скелетным. Поэтому В' = У;Л ' = УгЛ-', и окончательно мы имеем А+ — УтЛ-ц/ Если получено сингулярное разложение матрицы А, то по этой формуле псевдообратная к А получается почти без дополнительных 222 гл. нл псавдоаашяния и псавдооаяхтныа мхтгицы вычислений. Конечно, получение сингулярного разложения болев трудоемко, чем, например, получение дЛ-разложения, но с вычислительной точки зрения оно обладает существенными достоинствами. Именно, уже не раз говорилось, что наиболее трудная проблема при псевдообращении матрац — это определение ранга матрицы.
При применении сингулярного разложения эта проблема не возникает. Возникает гораздо более простой вопрос — решить, являются ли пренебрежимо малыми отдельные числа. Именно, какие из вычисленных сингулярных чисел в действительности являются нулевыми. Для каждой конкретной задачи, учитывая опенку погрешности исходной информации и оценку ошибок округления, внесенных при вычислении сингулярных чисел, устанавливают некоторое число а в качестве границы: если вычисленное значение сингулярного числа меньше а, то это сингулярное число считается нуле' вым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
