Электротехника_и_электроника_книга_1_электрические_и_магнитные_цепи_Герасимов_В.Г._ Кузнецов_Э.В.,_Николаева_О.В. (945949), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для электрических цепей с линейными элементами, имеющими постоянные параметры И, Ь и С, эти уравнения представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициешамн. Решение дифференциальных уравнений, как известно, может осуществляться различными методами. При непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений общий интеграл линейных дифференциальных уравнений со свободным членом (правой частью) получается в результате суммирования частного решения данного неоднородного уравнения и его общего решения при равенстве нулю правой части, т, е. однородного уравнения. Ч а с т н о е р е ш е н и е дифференциального уравнения находят для установившегося режима, когда переходный процесс закончен. При этом токи и напряжения на участках цепи определяются параметрами источника энергии и элементов электрической цепи.
Определение токов и напряжений осуществляется одним иэ рассмотренных ранее методов расчета цепей постоянного или переменного тока. Токи и напряжения, которые получаются в результате частного решения для установившегося режима, называют и р и н у жде иными или уста но- вившимися (1, и ). У' У О б щ е е р е ш е н и е дифференциальногоуравнениябез правой части соответствует режиму цепи в отсутствие внешнего источника энергии, т.
е. свободному режиму, Токи и напряжения, которые получаются в результате общего решения однородного дифференциального уравнения, определяются лишь параметрами элементов цепи и называются свободными ()„,и ). Алгебраические суммы устайовившихся и свободных токов и напряжений равны переходному току и напряжению, т, е. их значениям во время переходного процесса; =г +1, и =и +и,. пер у са' пер у са' 12 Зак. ГЭВГ (4.
1) 177 При интегрировании дифференциальных уравнений, как известно, появлнются постоянные, которые определяют на основе начальных условий, вытекающих из двух законов коммутации. Первый закон коммутации говорит о том, что гок в ветви с индуктивной катушкой ие макет изменяться скачком. В первый момент переходный ток сохраияет значение, которое ои имел в момент, предшествовавший коммутации. Второй закон коммутации свидетельствует о том, чго напряжение иа коидеиопоре ие может изменяться скачком, Значение этого иапрякения в момент, предшествовав1иий коммутации, сохраняется и в первьш" момент после коммутации. При этом предполагается, что коммутация осуществляется мгновенно.
Допущение скачка тока в ветви с индуктивным элементом нли напряжения на емкостном элементе привело бы к заключению о неизбежности скачкообразного изменения энергий магнитного и электрического полей; Ь|' Си 14.2) Но скачкообразное изменение этих энергий возможно лишь при бес- 41У си ац' конечно больших могцностях, так как р = —" = 1л' —, р = — э = а'и аг аг э аг = СЬ вЂ”. аг Поскольку электрических цепей бесконечно большой мощности нет, скачкообразное изменение энергий магнитного и электрического полей невозможно. Это говорит о том, что первый и второй законы коммутации соблюдаются во всех электрических цепях.
Вопрос 4.1, а) В каких элементах цепи 1рис. 4.1) возникает ток в первый момент после коммутации? б) На каких элементах этой цепи будет возникать напряжение в первый момент после коммутации? г з Рнс. 4,1. К вопросу 4.1 173 Варианты ответа: 4,1.1. а) на элементах 1,4,5, 6; б) на элементах 3, 5,6. 4.1.2. а) назлементах1,4,5,6; б) на элементах 5,6. 4.1.3. а) ток отсутствует во всех элементах; б) на элементах 1, 4. 4.2.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ КОНДЕНСАТОРА И РЕЗИСТОРА Рассмотрим электрическую цепь, в которой к источнику постоянной ЭДС Е подключается конденсатор емкостью С, последовательно соединенный с резистором, сопротивление которого равно В (рис. 4.2), Будем считать, что до включения источника ЭДС напряжение на конденсаторе было равно нулю, следовательно, энергия его электрического поля также равнялась нулю. После замыкания выключателя В в цепи возникает ток и конденсатор заряжается до тех пор, пока напряжение на нем не достигнет значения ЭДС источника Е. Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение электрического состояния этой цепи в перехоцном режиме имеет вид (4,3) пер Спер Используя известное соотношение, связываюшее ток и напряжение "ис на конденсаторе 1 = С вЂ”, уравнение (4.3) можно записать иначе: т "Спер ЯС Р +и =Е. С ср (4.3а) / иис изменяться — =О и в соответствии с уравнением (4.3а) С~ Выражение для своболного напряжения и, определяется решени.
Ссв Рис. 4.2. Схема цепи зарядки конденсатора 179 Как бьшо указано, выражение для установившегося напряжения следует найти при Г -а . Тогда напряжение на конденсаторе перестает ем однородного дифференциального уравнения; Ии яС Сев + и — О ис Ссв (4.4) или Сев — + — ц =О.
4с ЯС Сев (4.4а) Решение этого уравнения, как известно из математики, имеет вид ц 1елт Сев (45) Подставляя его в уравнение (4.4а), получим А / Аре + — с =Ае ~р+ — ~ = О. ,се рт рт ЯС ЯС (4.б) Значение р находят из решения уравнения 1 р + — =О, ЯС (4.7) которое называется характеристическим уравнением. 1 Корнем этого уравнения является значение р = — — . ЯС Таким образом, выражение для и можно записать в виде Сев ц Ае — 1/ЯС Ае-~/т (4,5а) Сев 180 Величину т =ЯС называют п о с т о я н н о й в р е м е н и, так как она имеет размерность времени и характеризует скорость протекания переходного процесса.
Она определяет время, в течение которого напряжение и., затухая, уменьшается в е раэ по сравнению со своим Сев' начальным зйачением и,„(О) = А. Чем больше т, тем дольше продолжается переходный процесс. Таким образом, постоянная времени является мерой инерции электрической цепи при протекании переходных процессов. Переходный процесс можно считать практически завершенным через г = Зт, так как к этому времени напряжение и снижается до 5% Сев своего первоначального значения и напряжение на конденсаторе становится практически равным и, .
Ст' С учетом найденных выражений для и „и и переходное напряже. С се ние на конденсаторе и =и + и =Е+Ае' с~т. Спер Су Сев (4.8) = Е Е,— с(т = Е(1,— сl т) Спер (4,9) Переходный ток в цепи "С =С =СŠ— е = — е Спер -с/т -с! т пс т л (4.10) Графики изменения переходного тока и напряжения на конденсаторе при его зарядке показаны на рис. 4,3. Переходный ток конденсатора зависит от сопротивления резистора Я. В первый момент после коммутации (г =О+) ток ограничивается только сопротивлением, т. е.
1(0+) = Е/тт, (4.11) а напряжение на резисторе равно ЭДС источника Е. На рис. 4.3 пунктиром показаны крнвью напряжений и „и и, а тонкой линией касательная к кривой тока 1(г), которая дает возможность графически определить значение постоянной времени т, численно равной подкасательной. По мере увеличения напряжения на конденсаторе ток в цепи уменьшается. Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком, поскольку она не содержит элемента, обладающего инлуктивностью. Это исд Ряс. 4.3. Гряфякя зввяскмостей переходных напряжения н тока от вре. мспя прк зарядке конденсатора -Е 181 Для определения коэффициента А воспользуемся вторым законом коммутации.
В момент, предшествовавший коммутации, конденсатор не был заряжен и напряжение на нем было равно нулю. Следовательно, в первый момент после замыкания выключателя при т = 0 напряжение и,(0+), сохраняясь неизменным, будет также равно нулю, Подставляя это начальное условие в уравнение (4.8), получим Е + А = О, т. е. А = =-Е. Следовательно, (4.12) Уравнение электрического состояния цепи рис. 4.4 в этом случае с учетом выражения (4.12), а также выбранных направлений тока ~ и напряжения и, имеетвид «"Сп АС Р +и =О. пг СпеР (4,13) Решение этого уравнения аналогично выражению (4.5а) для и ц — ц — 4е — г/ЯС Спер Ссп (4.14) Поскольку и .(О+) = Уо, постоянная интегрирования А = Уо и переходное напряжение на конденсаторе лри его разрядке ц =и мПе Спор Ссп (4.15) Г Рис.
4.4. Схема цепи разрядки и конденсатора 182 необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения подключается цепь, содержащая конденсатор. Если активное сопротивление цепи невелико, то ток в момент включения Источника напряжения может быть очень большим, значительно превышающим номинальное значение. При подключении к источнику напряжения нагрузочного устройства с помощью кабсля следует иметь в виду, что его распределенная емкость можот быть значительной, а сопротивление проводов кабеля небольшим, поэтому в момент включения ток в цепи источника напряжения может достигать очень большого значения.
При разрядке конденсатора емкостью С, заряженного до напряжения и = Оо, на резистор сопротивлением Я (рис. 4.4) установившееся С напряжение на конденсаторе и,„= О и переходное напряжение и Спер равно свободному напряжению и, Ток при разрядке конденсатора (см. рис. 4.4) не совпадает по направлению с напряжением и, поэтому а переходный ток С Р е !/ЯС (4.16) пер я При разрядке конденсатора запасенная в нем энергия электрического поля преобразуется в теплоту, выделяющуюся в резисторе сопротивлением Л. Длительность переходного процесса при разрядке конденсатора, так же как и при его зарядке, зависит от постоянной времени т=ЕС Задача 4.1. Найти зависимость тока 1 и напряжения и, от времени в схеме рис.
4.2 после замыкания выключателя, если Е = 220 В, С = = 100 мкФ, Е = 100 Ом, Решение. Согласно второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи в переходном режиме имеет вид (4.3) . С Установившееся напряжение и находим при т -+ — = 0; Ст ~й и = Е = 220 В. Су Свободное напряжение и определяется из решения однородного Сев дифференциального уравненйя (4.4) . Постоянная времени т = ЛС = 0,01 с. Постоянную интегрирования А определяем из начальных условий с помощью второго закона коммутации. До коммутации конденсатор не был заряжен и напряжение на нем было равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
