Электротехника_и_электроника_книга_1_электрические_и_магнитные_цепи_Герасимов_В.Г._ Кузнецов_Э.В.,_Николаева_О.В. (945949), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Соотношения (2.18) (l,п =«1 и У= йт', аналогичные по форме записи закону Ома для цепи постоянного тока, называют законом Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действующих значений. 75 Рис. 2.13. Комплексные обозначения на схеме замеглении Обозначение комплексного сопротивления на схемах замещения приведено на рис. 2.13. Векторные диаграммы Комплексные изображения синусоидальных электрических величин можно представить графически.
Пример графического изображения комплексов тока и напряжения показан на рис. 2.14. На комплексной плоскости в системе координат с ортами т 1 и +1, которыми обозначены положительные действительная и мнимая полуоси, строят комплексные векторы ! и 17 *, Длина вектора пропорциональна в вы. т зл' бранном масштабе модулю комплексной амплитуды. Угловое положение вектора относительно положительной действительной полуоси определяется аргументом комплексной амплитуды. При этом отсчет положительного угла ведут против часовой стрелки, как показано на рис. 2.14. Такой геометрическип образ комплексных амплитуд синусвидальньзх фуя киий называется векторной диаграммой.
Анююгично может быль построена векторная диаграмма комплексных действующих значений электрических величин. Векторные диаграммы очень широко применяются для анализа электрических цепей. Убедимся в наглядности векторных диаграмм, рассмотрев рис. 2.15. На рис. 2.15, а показан узел электрической цепи, а на рис. 2.15, б и 2.15, в приведены векторные диаграммы токов.
Обе векторные диаграммы построены в предположении, что 1, и 1з имеют одинаковые амплитуды. Диаграмма на рис. 2.15, б построена для Рис. 2,14. Уримср построении аек + 7 торной диаграммы е Направление положительных полуосей может быль выбрано и иным, например, рис. 2,14 можно повернуть па угол и/2 против часовой стрелки. 76 сг а/ 1'нг, 2.15. Уэон энсктрнчсскоа донн (а) к сокторныс диаграммы токов 1б н о) орн разных фазовых соотноюснкнх > нучая, когда начальные фазы токов )1» и >)>т отличаютсн незначительно, диаграмма на рис.
2.15, в для случая, когда начальпыс фазы токов Ч)> и >1>т существенно отличаются, В обоих случанх в соответствии с первым законом Кирхгофа в > ом>шексной форме найден суммарный комплексный ток 70 ~> + >2. 1)нрсделепие тока (о по известным токам 1> и ут осуществлено по >пнсстному правилу параллелограмма. Сопоставление диаграмм на> лядно иллюстрирует важность фазовых соотношений в цепях переменю>го тока — при неизменных амплитудах суммируемых токов результирук>щие токи существенно отличаются по амплигудам эа счет различия а фазовых соотношениях токов 7> и )з. Как отмечалось выше, фазовые соотношения (фазовые сдвиги между гнпусоидальными электрическими величинами) не зависят от выбора момента начала отсчета времени, г. е.
абсолютных значений начальных ф;и, поэтому при построении векторных диаграмм любой один изобра- кшощий вектор можно совмещать, например, с осью действительных чисел, а все остальные векторы наносить на диаграмму, строго выпер. кнван углы сдвига фаз между изображаемыми синусоидальными веннчннами. Более того, при построении векторных диаграмм можно даже нг указывать направления осей комплексной плоскости. Простейшие математические операции с комплексными числами. Вспомним некоторые математические положении. Как известно, любое комплексное число А может быть записано в >рсх формах — показательной, алгебраической и тригонометрической, 1Роказательной формой записи Л = Ае)н мы уже пользовались.
Для перехода к равнозначной записи А в алгебраической форме А = а, + )аз, рассмотрим рис. 2.16, из которого очевидно, что комплексное чню>о А может быть выражено суммой двух комплексных чисел— 77 Рис. 2.16. Иллюстрация к трем формам записи комп- пексиого числа д а, действительного я, (проекция вектора А на ось'действительных чисел) и мнимого /аэ (проекция вектора А на ось мнимых чисел). Из рис. 2.16 очевидна и равнозначность тригонометрической формы записи А = А (сова+/в1па). Выбор той или иной формы в каждом конкретном случае диктуется удобством осуществления нужной математической операции с комплексными числами: при суммировании удобна алгебраическая форма, прн умножении и делении — показательная. Напомним некоторые определения н правила действия с комплексными числами, известные из математики и часто используемые при анализе цепей синусоидапьного тока.
Переход от одной формы записи к другой очевиден из рис. 2.16: А = ч/а' + аэ; т7 = агстйаэ/аэ; а, =А сов ф~; аэ =Ав1пч7 . Комплексное число А называют действительным, если аэ = О, при этом аргумент комплексного числа равен нулю или я, а вектор А располагает. ся на комплексной плоскости вдоль (а, > О, Ч7 = 0) или противопо- а ложно (а,' ( О, ф = я) положительному направлению оси действи- а тельных чисел. Комплексное число называют мнимым, если а, = 0; аргумент мнимого числа может принимать значения хи/2.
На комплексной плоскости мнимое число изображают вектором, совпадающим с положительным направлением оси мнимых чисел (ф = я/2) а или противоположно ему (т7 = — я/2). Запишем в трех формах выражения для единичных действительныхи мнимыхкомплексных чисел (случай А =1): ет~ = совО+ /гйпО =1; е/" = сова + /вэпя = — 1; е/"/~ = совл/2+ /вэпя/2 = +/; е /я/э = сов( — я/2) + /вэп( — я/2) = — /, Суммирование комплексных чисел осуществляют суммированием их цействительных и мнимых составляющих, т. е.
в алгебраической 78 форме записи. Если А ч а! + /ат; В = Ь! + /Ьз и С =А + В, то С=с1 + (/с,, где с,=а,+Ь, и сз= аз+Ьз. При умножении комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы суммируют, следовательно, умножение удобно проводить в показательной форме записи. Если А =Ае с, В =Ве !' и С=АВ, )~с (о С= Се с, где С=АВ и Ф, = Ф, + Фь. 1(ри делении комплексных чисел их модули делят, а аргументы вы- ! ~с читают, т. е., если С =А/В, то С = Се с, где С =А/В и у) = (Ь вЂ” Ч) и с а Л Комплексные числа А и А называют сопряженнымн, сели их модули уф„ равны, а аргументы равны и противоположны по знаку: А = Ае А =Ае Опираясь на перечисленные правила, нетрудно доказать справедлииость следующих соотношений; //= — 1; /( — /)= 1; 1й-/) =+/; 1// = — /.
Задача 2.4. Па рис. 2.17, а предсп:елена осциллограмма тока и напряжения пассивного двухпол!оспина Записать выражения для мгновенных значений напряжения и тока, приняв за начало отсчета точку О. Пайси напряжение и ток для моме!па времени г! = Т/!2. Записать комплексные амплитуды напряжения и тока. Построить векторну(о Лииграмму на комплексной плоскости. Р е ш е н и е. Угловая частота оз = 2я/Т = 314 рад/с, 7 = 50 Гц. В момент времени г = О напряжение проходит ну!!еву(о фазу, т.
е. начальпаи чя Ю 7(7(7 (рр а! !иг. 2.(7. Осциллограмма тока и иаириаюиии иассииоого иаукооспосиика (а! и иа искториаи диаграмма (О) (к задачи 2.4) 7Ч фаза напряжения равна нулю: фи = О, Начало синусоиды тока сдвинуто вправо от начала отсчета времейн, значение начальной фазы тока, отсчитываемое от начала синусоиды до оси, отрицательно: ф. = — я/4. 1 Мгновенные значения напряжения и тока и = У 81п(сот+ фи) = 200юпсот В; с' = 1ююп(сот + 1(сг) = 681п(оэс — я(4) А. При 1, = 7/~! 2 угол а = сот, = я/6, Напряжение и = 2008!и(я/6) = 100 В, ток с' =681п( — л/12) = — 1,55 А.
Комплексные амплитуды напряжения и тока в показательной форме и = гООе1' = 20ОВ, / = бе-1'14 А. «с ю Комплексные амплитуды напряжения и тока в алгебраической форме (ю = Уа(совФ + 181пф ) = 200(саво + /8!по) = 200В; /ю = / (сов 41 + /81п чсг ) = 6(сов( — я(4) + / в1п( — я/4)) = (3 х/2 — / З,сг2) А. Векторная диаграмма представлена на рис. 2.17, б. Длины векторов пропорциональны в выбранном масштабе модулям комплексных амплитуд.
Начальная фаза напряжения фи = О, поэтому вектор напряжения направлен по оси + 1, начальная фаза тока (тс. = -«/4) отложена от осв ! + 1 по направлению вращения часовой стрелки. Задача 2.5, Выполнить задания к задаче 2.4, приняв за начало отсчета времени точки О, и Ов (рис. 2.17,а). Ответ; для начала отсчета времени в точке О, и = 2008!и(3141+ я/2) В; 1 = 68!и(3141+ л/4) А; У =200етя/з =1200 В; Г = бе/я/4 = (3~/2 + /Зх/2) А; для начала отсчета времени в точке От и=200в1п(3141+ я) В; 1 = 681п(3141 +За/4) А: У =200е1" = — 200 В; 1 = бегая/4 = ( — Зх/2+ 13х/2) А. Векторные диаграммы представлены на рис.
2.18, а, б. Задача 2.6. Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны У= (20 + 140) В, ! = (5 +1 3) А. Найти мгновенные значения налряжю ния и тока. 80 1'не. 2.18. Векторные анаграммы токов и иапряивний (к аатиче 2.5) иу ~7 Р е ш е н и е. Модули комплексных действующих значений напряжения и тока; У- ~/20 50' = н,та, т - /5 3' = 5.83А. Их начальные фазы; 18„= 63' 25' Фу = 31'. 18 6„= 40/20 = 2, т8$,. = 3/5 = 0,6, Комплексные амплитуды напряжения и тока; 1У = т/2(У = 632етез ~ В, 1 = ъу21 = 8,25етз' А. и э тл Мгновенные значения напряжения и тока: и = уу юп(щг + Фн) = 63,281п(тсг о 1,11) В, т =1 юп(юг+ Ф.) = 8,2581п(отг+0,54) А.
Задави 2.7*. Заданы комплексные действующие значения напряжений и токов цепи; а) (У = ( — 20+ у 40) В и 1 = (-5+ у 3) А, 6) (У = ( — 20 — у 40) В и У = ( — 5 — у'3) А, в) тУ = (20 — у'40) В и 1= (5 — у'3) А, г) О = (20 — 140) В и 1 = ( — 5 — у 3) А. 6 Зак. уса у 81 Комплексные действующие значения напряжения и тока в показательной форме; 1=1е ' = 5,83еУ ' А. ° 16. Записать выражения для мгновенных значений напряжений и токов. Ответ: а) и = 63,2а1п(сот+2,03) В и с = 8,25в1п(юг+2,6) А; б) и = 63,2з(п(оэт+ 4,25) В и ( = 8,25в(п(щ( + 3,68) А; в) и = 63,2втп(сот — 1,11) В и с' = 8,25а(п(сот — 0,54) А; г) и = 63,2а1п(щг — 1,11) В и ! = 8,25а(п(оэг +3,68)А.
2.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С Л.ЭЛЕМЕНТОМ вЂ”."с» ( о-— ! а~ ~ в~ Рис. 2.19. Схема (а), графики мгновенных значения напряжения, тока и мощности (Е), векторная диаграмма (в) цепи с Н-элементом р/Ф 7/и" .(с/4 с в) 82 Определим ток тс-элемента, схема замещения которого показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
