Электротехника_и_электроника_книга_1_электрические_и_магнитные_цепи_Герасимов_В.Г._ Кузнецов_Э.В.,_Николаева_О.В. (945949), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.9 сдвинуто влево от начала отсчета времени, при этом начальная фаза положительна (р > 0). При совместном рассмотрении нескольких синусоидальпых электрических величин одной частоты обычно интересуются фазовыми соотношениями, т. е. разностью фазовых углов, называемой углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз двух синусоидальлых функиий определяют как разность их начальных фаз. Синусоиду с большим значением начальной Рис.
2.9. Графики мгновенных зкачевив ЭдС, напряжения в юка фч|ы принято называть о п е р ежа ю щей, ас меньшей — о тст аюпгей. 11апример, на рис, 2.9 напряжение и опережает ток й но отстает от ЧДС. Если синусоидальные величины имеют одинаковые начальные ф~пы,то говорят о совпадении их по фазе; еслиразность фаэ равна + л, то говорят, что синусоидальные величины л р о т и в он о л о ж н ы п о фазе.
Фазовые соотношения имеют очень важное ~пачение при анализе электрических цепей переменного тока. Следует ~ братить внимание на то, что выбор начала отсчета времени влияет на пючепия нулевых (начальных) фаз всех синусоид, но не сказывается па фазовых соотношениях, т. е. на углах сдвига фаз. В практике применения переменных токов широко пользуются поня~нем действующего значения электрической величины. Действующим называют среднекеадратическое значение переменной эл ктрической и шчины за период, Действугощее значение обозначают той же буквой, чп1 и соответствующее амплитудное значение, но без индекса нг. Запи~исм, например, выражение для действующего значения тока; т 7 ( ° гдт Т о (2.7) Т Т Т гглт = Тг ( з'пгытлг = Тг ( ((1 — соа2огт)/2)дг = о е о 1г Т(2 нг следовательно, в соответствии с определением (2.7), 1 = 1 /х/2.
(2.8) Дпя действующих значений синусоидальных напряжения и ЭДС справед- ливы аналогичные соотношения: Если говорят о числовых значениях переменных электрических ве- личин, то, как правило, подразумевают их действующие значения. 69 Как известно из курса физики, тепловое и электромеханическое действия тока пропорциональны квадрату его мгновенного значения, поэтому именно действующее значение тока 1 может служить количес геенной мерой их оценки за период. Установим связь между амплитудой и действующим значением дпя сннусоидальных величин. Если 1 =1 агп юг, то Рис. 2.10. Графики мгновенных значений тока и наприжения (к задаче 2.!) с,А Х 4 Х г 1 а га 10 с )гаер Рис 2.11.
Графики мгновенных значений ЭДС, напряжения и токов (к задаче 2.2) 70 Электроизмерительные приборы чаще всего градуируются также в действующих значениях. Задача 2.1. Записать в тригонометрической форме выражения для мгновенных значений тока и напряжения, графики которых приведены на рис. 2.10 и определить для них угол сдвига фаз.
Найти действующие значения тока и напряжения. Р еще вне. Амплитуда тока 1ю =5 А,начальная фаза тока р, =О. Амплитуда напряжения У = 20 В, начальная фаза напряжения ф пз и = — и/3. Период синусоид Т = 0,01 с, следовательно щ=2п)Т =628 рад(с; т" = 100 Гц. Итак, 1' = 5вгп6281, и = 20азп(6281 — я/3); ток опережает напряжение на угол и/3. В электротехнике значения начальной фазы и угла сдвига фаэ принято выражать как в радианах, так и в градусах, поэтому ответ можно записать и в другом виде: и = 20а(п(6281 — 60') В, ток опережает напряжение на угол 60'.
Действующие значения: ((ж 14,1В; г' = 3,54 А. Задача 2,2е, Записать в тригонометрической форме выражения для мгновенных значений'электрических величин, графики которых представлены на рис. 2.11. Ответы приведены в табл, 2 1, Таблица 21 Схема е = 200нп(314с — >г16) В и =100>!п(6280с+ л12) В Пьн>аженин мгновенных ежчепий ('хема >' = 5нп(62,8 с+ 2н13) А >' = 0,1>!п(157> — >>13) А Нь>раженин мгновенных ее>челна 2.4. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическое состояние цепей синусондального тока, так же как н цепей постоянного тока, описывается уравнениями Кирхгофа, однако вычисления становятся более громоздкими, так как уравнения содержат тригонометрические функции.
Дпя упрощения решения уравнений в >лектротехнике широко используется м а т е м а т и ч е с к и й а п п арат комплексных чисел. Понять принцип расчета цепей синусоидального тока с помощью комплексных чисел можно на простейшем примере. На рис. 2.12, а показан узел электрической цепи, к которому подсоединены три ветви. Сформулируем задачу следующим образом: известны токи 1, = 7, ~1~(~с >сс,) и 1а = 1 >пз1п(о>с+ >с>а), нужно определить ток 1о(с). Задачу решим, используя первый закон Кирхгофа + 1а — 1о=б или со — 1 асп(о>с + >р>) + 7 а>п(шс + Фа). (2.9) Иэ (2.9) очевидно, что искомый ток будет также синусоидальной функ- цией времени с угловой частотой, равной известной частоте ок 1о = 10,„8>п(с.>с + >с>е).
Решение поставленной задачи требует определения двух величин амплитуды 1 и начальной фазы >С>о. Безусловно, что решение может быть найдено по правилам тригонометрии, однако для произвольных значений углов >с>> и >с>а такое решение довольно громоздко. Кроме того, в общем случае речь идет о решении уравнений, содержащих 71 Рис. 2.12. Узел электрической цепи а) 4 язла = (е)н — е )п)~2)', (2.10) где а — аргумент синусоидальной функции; )' = з/ — 1 — мнимая единицае; е — основание натурального логарифма. Выразим все слагаемые уравнения (2.9) через комплексные показательные функции, сократим общий множитель 2) и после перестановки членов получим 2 е)(111+ Фг) + 2 еl(сог+ Фз) ( е!(шг+ Фо) 1н1 зт ОЛ1 /(юг+ ф1) в г е — /(озг+ фз) ~ е — !(юг+ 1РО) 1л1 2л1 ОЛ1 Е Полученное уравнение справедливо для любого момента времени, а показатели степени в его левой и правой частях имеют разные знаки, что возможно только в случае, если обе части уравнения равны нулю.
Отсюда следует г 1(озг+ Фг) + г е)(озг+ 1рз) 1н1 2л1 г е/ (озг + Фо) олг (2.11) Упростим уравнение (2.11), разделив все его члены на обпцщ множи- тель е) ОЗ', и перепишем в виде 1 е)Фо = 1 е)(ьг + У е)1)'2 О не глг зле (2.12) * Буквой 1 обозначена мнимая единица; отличие от обозначения, принятого в математике, объясняется тем, что в электротехнике буква 1 использована для обозначения мгновенного тока.
большее число членов, нежели уравнение (2.9). Применение комплексных чисел очень упрощает решение поставленной задачи и, кроме того, позволяет наглядно иллюстрировать решение задачи графическим построением на комплексной плоскости. Вспомним выражение синусоидальной функции через комплексные показательные Проанализируем каждый член выражения (2.12). Первый член в прат~п части уравнения — комплексное число, модуль которого !, равен амплитуде тока 1,, а аргумент ф, — начальной фазе этого тока; анало~пчно второе слагаемое — комплексное число, несущее информацию переменном токе 1э. Просуммировав два известных комплексных чп яа, стоящих в правой части уравнения, мы получили комплексное число, модуль которого равен амплитуде искомого тока 1, а аргум~ и ~ — начальной фазе Фе. Введение комплексных чисел позволило громгтдкие тригонометрические вычисления заменить суммированием ь омплексных чисел.
Комплексные числа в'уравнении (2.12) называют к о м п л е к с н ыми амплитудами тока иобозначаюттойжебуквой,чтои ° мплитуду синусоиды, но над буквой ставят точку 1 =1 е!'йе ! =! е!ф', от от ~т ып е!фз зт эт прн этом уравнение (2.12) можно записать в более компактном виде: от !т зт =1 +! Очевидно, что между комплексными амплитудами и синусоидальпыми функциями времени существуют простые взаимно однозначные соответствия, как между изображением и оригиналом: А а1п(юг+ Ф ) ='А =А е !Ф, Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде сипусоидальпой величины, а аргумент — ее начальной фазе, Комплексные действующие значения пропорциональны комплексным амплитудам и записываются в виде Е =Ее ° !Ф !=! /х/2; 1/= 0 /ч/2; Е =Е //2.
(2.13б) Комплексному числу принято присваивать размерность той электри- ческой величины, которую он изображает. Комплексные изображения 73 Полученное уравнение соответствует первому закону Кирхгофа для схемы рис. 2.12, а, записанному в комплексной форме. На схемах замещения можно также использовать комплексные изопражения электрических величин (см. рис.
2.12, б) . Подобным образом вводятся также понятия комплексных амплитуд лля напряжения и ЭДС, тогда 1 =1 е ', Ут=(/ е и Е =Е е е !Ф . /Ф; !Ф (2.13 а) Таблица 22 Вариант и = 20аю(оэг + 45 ) мВ / =0,2а(п(оэг+ и/6) А Тригонометрическое выражение Вариант е = 2204!п(сот + 2я/3) В / = 10ав(оэг + л/2) мА Тригонометриче. скос выражение Таблица 2.3 Вариант 1 = 0,2е/и/а А И3 й = 20е)45 мв гл Комплексные электри- ческие величины Вариант 1 =10е// мА т 220е/зи/3 В 'т Комплексные электри- ческие величины Комплексные сопротивления При анализе и расчете цепей синусоидального тока особенный интерес представляет сопоставление по амплитуде и начальной фазе тока и на.
пряжения одного и того же пассивного участка электрической цепи. В самом удобном и компактном виде зто сопоставление осуществляется с помощью комплексных чисел. 74 несут информацию только о двух параметрах синусоиды — амплитуде и начальной фазе, не отражая ее третьего параметра — угловой частоты оэ. Это объясняется тем, что аппарат комплексных изображений применим для анализа цепи, в которой действуют источники одной известной угловой частоты со; если значение частоты не указано, то предполагается, что это промышленная частота, т.
е. со = 314 рад/с. В формулах (2.13) комплексные амплитуды записаны в п о к а з ат ел ь ной форме. Дляпереходак алгебраической фо рм е можно воспользоваться формулой Эйлера. е/и = сова + /'а(па, тогда комплексная амплитуда тока 1 = 1 е/л =1 (сола+/'а(па). Задача 2.3». Записать комплексные амплитуды электрических величин в соответствии с их тригонометрическими выражениями, приве. денными в табл. 2.2. Ответы лриееделы в табл 2.3. 1Рледем понятие комплексного сопротивления, которое определяетч отношением комплексной амплитуды напрязсения к комплексной ч мплитуде тока; (2.14) Комплексное число «дает информацию как о соотношении амплн~чд (ю и I~, так и о сдвиге фаз между напряжением н током. Действн~ельно, = (У (1 )етч~ = реут, и и ~ Ле « — модуль, а о — аргумент комплексного сопротивления.
Модуль комплексного сопротивления «, называемьш полным сопро~инлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока; (2.15) Аргумент комплексного сопротивления ~р равен разности начальных фаз напряжения и тока: (2.16) Комплексное сопротивление можно выразить также через комплексные действующие значения напряжения и тока; (2.17) Отметим, что обозначение комплексного сопротивления отличается от обозначения комплексных токов и напряжений — вместо точки над буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это 1чпличие объясняется тем, что сам комплекс «не служит изображением синусоидальной функции, а является комплексным числом, с помощью ь ого рого сопоставляются комплексные изображения напряжения и тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
