Электричество и Магнетизм (942661), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

С учетом этих преобразований, (6.2) можно переписать в виде

Если проводник движется в неоднородном магнитном поле, то следует выделить его малый элемент длиной dl и определить ЭДС индукции, возникающую в этом элементе,

dЕ = vBdl, (6.3)

а затем проинтегрировать это выражение по длине проводника.

Итак, результаты, полученные при выводе выражения для ЭДС электромагнитной индукции из закона сохранения энергии и на основе электронных представлений тождественны. Однако смысл правой части выражения для контура и отрезка проводника различен. В первом случае dФ/dt – скорость изменения магнитного потока, через поверхность, ограниченную контуром. Во втором – это отношение магнитного потока dФ, через поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка dt

С помощью силы Лоренца можно объяснить возникновение электромагнитной индукции при движении проводника или контура в магнитном поле, но нельзя объяснить возникновение электромагнитной индукции в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Действительно, сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, и привести их в движение не может. Поэтому для истолкования электромагнитной индукции в неподвижных проводниках необходимо считать, что переменное магнитное поле вызывает появление электрического поля, под действием которого и возникает индукционный ток в замкнутом проводнике.

6.2. Индукционный ток. Индукционный заряд.Вихревое электрическое поле

Рассмотрим явление электромагнитной индукции, возникающее в короткозамкнутой катушке. Пусть катушка содержит N витков общим сопротивлением R. Если потокосцепление катушки изменяется во времени, то в катушке появляется ЭДС индукции:

Сила индукционного тока, возникающего в катушке, равна

За время существования в катушке индукционного тока (от момента времени t₁ до момента t₂) по катушке пройдет индуцированный (индукционный) электрический заряд

где  ₁ и  ₂ – значения потокосцепления катушки в начальный и конечный моменты времени наблюдения. Важно отметить, что величина индукционного заряда определяется лишь начальным и конечным потокосцеплениями.

При изменении магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила, величина которой определяется удельной работой сторонних сил по переносу зарядов в контуре

Стороннее электрическое поле не является кулоновским. Каковы его принципиальные отличия от изученного нами ранее электростатического поля? Эти отличия таковы:

• – это электрическое поле создается не электрическими зарядами, а изменяющимся во времени магнитным полем;

• – силовые линии такого поля являются замкнутыми, т.е. рассматриваемое нами электрическое поле является вихревым.

Объединив выражения (6.1) и (6.5), получаем:

Фигурирующий здесь магнитный поток может изменяться по ряду причин – благодаря изменению формы контура и его расположения в поле, а также из-за того, что магнитная индукция зависит от времени. Полная производная dФ/dt учитывает все эти причины. В случае неподвижного контура магнитный поток изменяется только вследствие зависимости магнитной индукции от времени, поэтому вместо dФ/dt следует брать частную производную  Ф/ t. Точно также следует поступить, когда проводящий контур вообще отсутствует, и мы рассматриваем вихревое электрическое поле, порождаемое переменным магнитным полем (рис. 6.6).

В этом случае уравнение (6.6) записывают в виде

6.3. Самоиндукция. Индуктивность

Электрический ток I, текущий в любом контуре, создает магнитное поле. Часть силовых линий этого поля пронизывает этот контур, создавая магнитный поток через контур (потокосцепление)  (рис.6.7).

При изменении по какой-либо причине силы тока в контуре будет изменяться также и магнитный поток и, следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС электромагнитной индукции в электрической цепи вследствие изменения в ней электрического тока называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био–Савара–Лапласа магнитная индукция B пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что сила тока в цепи и создаваемое этим током потокосцепление друг другу пропорциональны:

 = LI. (6.8)

Коэффициент пропорциональности L между силой тока в цепи и ее потокосцеплением называется индуктивностью цепи. Индуктивность L скалярная величина, численно равна отношению потокосцепления электрической цепи к силе тока в цепи

Индуктивность элемента электрической цепи (например, провода, соленоида, коаксиального кабеля и т.п.) зависит только от его формы, геометрических размеров, числа витков и свойств среды. При неизменности этих величин электродвижущая сила самоиндукции Е_s согласно закону Фарадея определяется выражением

И так, величина ЭДС самоиндукции для любой системы пропорциональна скорости изменения силы тока в ней. В роли коэффициента пропорциональности выступает индуктивность системы. В СИ для измерения индуктивности принята единица, называемая генри (обозначение 1 Гн) в честь американского физика Дж. Генри. Дж. Генри, независимо от М. Фарадея, но позже него, открыл закон электромагнитной индукции. В соответствии с (6.9), 1 Гн – это индуктивность такой проводящей системы, в которой при силе тока 1 А создается собственное потокосцепление 1 Вб.

Определим для примера индуктивность длинного соленоида. Пусть его длина l, площадь поперечного сечения S и число витков в нем N. Зададим силу тока I в соленоиде. Магнитная индукция на оси соленоида в его среднем сечении определяется формулой

Следует отметить, что модуль магнитной индукции в соленоиде убывает как в радиальном направлении (от оси к периферии), так и в осевом (от среднего сечения к торцам соленоида). Сделаем следующие предположения. Во-первых, будем считать магнитную индукцию постоянной по поперечному сечению соленоида. Во-вторых, пренебрежем уменьшением магнитной индукции вблизи торцов соленоида (для длинного соленоида число витков, находящихся вблизи торцов в области, где магнитная индукция по модулю уменьшается, много меньше числа витков, находящихся в области с постоянной магнитной индукцией). Тогда потокосцепление такого соленоида равно произведению магнитной индукции в среднем сечении, площади поперечного сечения и числа витков:

.

Теперь для определения индуктивности разделим потокосцепление  соленоида на силу тока в соленоиде I:

Как и следовало ожидать, сила тока сократилась – индуктивность любой проводящей системы не зависит от силы тока в ней.

6.4. Токи при размыкании и замыкании цепей

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем законы изменения силы тока в цепи при ее замыкании или размыкании. Допустим, что источник с ЭДС E замыкается ключом К на цепь, содержащую резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L (рис. 6.8).

Поскольку сила тока в цепи будет возрастать, в катушке возникнет явление самоиндукции, в результате чего в процессе изменения тока в цепи будут существовать две ЭДС – источника Е и самоиндукции Е_s. Запишем выражение закона Ома для замкнутой цепи:

Подставим в эту формулу выражение для Е_s:

и приведем ее к виду

Полученное дифференциальное уравнение решим, разделив переменные:

Умножим левую и правую часть последнего уравнения на R и преобразуем к виду

Проинтегрировав последнее выражение, получаем

где С – постоянная интегрирования, которая может быть найдена из начальных условий. В окончательном виде закон изменения силы тока в цепи будет выглядеть так:

Подставим в (6.12)начальные условия, которые при замыкании цепи будут выглядеть так: t = 0; I(0) = 0.

,

отсюда С = Е. Тогда уравнение (6.12) принимает вид:

При значение силы тока в цепи установится равным

График зависимости силы тока от времени при замыкании цепи для различных индуктивностей ( ) приведен на рис. 6.9.

Теперь рассмотрим случай размыкания цепи (рис. 6.10). В момент времени t = 0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П.

Начальные условия для решения уравнения в этом случае будут выглядеть следующим образом: t = 0; I(0) = I₀; Е(0) = 0.

Подставим эти условия в (6.12):

Отсюда получаем . Соотношение (6.12) принимает вид:

Cила тока в цепи будет стремиться к нулю по экспоненте при (рис. 6.11).

Характеристики

Список файлов лекций