Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 42
Текст из файла (страница 42)
185 $1. Лвиейвые еистемм Интегрируя уравнение (1), получаем общее решение х = С, з(пг+ Сзсоз1+ й(1), где й(1)— часпюе решение неоднородного уравнения, которое проще всего найти методом неопределенных коэффициентов. В результате будем иметь х = С,япт+Сзсазт+ Зт — 1 — 1. Далее, подставив значение х в первое уравнение системы, найдем у = Сз яп1 — Сз сох 1 + 1 + 2.
в 2 411.й=-я+у+2, у=х-у+2, 2=а+у-е. < Дифференцируя первое равенство и используя затем все три уравнения данной системм, имеем й = -у+ у+ х = Зх — у — 2 = Зх — (х+ х) = 2х — х, У+х — 2х = О. Интегрируя полученное уравнение, находим *= С,е +Сзе Далее, вычитая почленно из первого уравнения второе и учитывая уже известное значение для функции х, приходим к уравнению у + 2у = ЗС,е'. Решив его, получим у = Сзе + Сзе . Наконец, подсшвляя х и у в первое уравнение системы, находим 2 = х + х — у = (зСз е + Сзе в) + (зСзе + С е и) — Сзе " — С е' = С~ е' — (Сз + Сз)е ", З» 412.
х=-у+2+2х, у=х+2у — з, 2=я — у+22. и Продифференцировав третье равенспю системы и воспользовавшись всеми уравнениями, имеем: 2 = х — у + 22 = 2х — у+ 2 + 2(х — у+ 22) — (х + 2у — 2) = Зх — 5у + 62. Дифференцируя полученное соотношение и пользуясь уравнениями системы еще раз, приходим к уравнению з = Зх — 5у + бд = 7х — 19у + 202. Остается исклю ппъ переменные х и у из системы уравнений: х = х — у+ 22, у = Зх — 5у+ 62, "2' = 7х — 19у+ 202. В результате исключения будем иметь одно уравнение относительно функции 2: '2' -62+ !12 — 62 = О. При этом 1, 5, 1, 3, х = — - 2+ — 2 — 22, у = — — 2 + — 2.
2 2 ' 2 2 Корни характеристического уравнения Лз — 6Л2+ 11Л вЂ” 6 = 0 суть Л, = 1, Лз = 2, Лз = 3. Следовательно, общее решение 2 = Сзе + Сзе + Сзез'. (2) Подставляя (2) в (1), получаем х = Сзе" + Сзе, у = Сзе'+ Сзе". > 413. х = у — 2, у = х+ у, 2 = х+ 2. м Путем дифференцирования первого равенства системы н использования двух других получаем уравнение: У = у — л, или У = х.
Общее решение полученного уравнения имеет внд: х = С, + Сзе'. Полсщвшш значение х в третье уравнение и инщгрируя его, будем иметь л = (Сз + С21)е — Сз. Наконец, из первого уравнения получаем у = е'(Сз + Сз(1+ 1)) — Сз. М Гл. 3. Системы диффереиииалымиг уравнений 186 414. 4=3»-у+а, у=»+у+а, а=4» — у+4». < диалогично проделанному в примере 412 имеем: х = ЗУ вЂ” у + а = 3(Зх — у + х) — (х + у+ з) + (4» — у + 4») = 12х — 5у + 6»; 'х = 126 — 5у+ бз = 12(3» — у+») — 5(х+ у+ л)+ 6(4х — у+ 4а) = 55х — 23у+ 31».
Исключив из системы » = Зх — у+ з, У = 12» — 5у+ бз, 'х = 55х — 23у+ 31» переменные у, з, получим дифференциальное уравнение относительно функции х: х -8У + 17х — 10» = О. При этом у = х — бх+ бх, з = У вЂ” 5У + Зх. Общее решение уравнения (1) имеет вид х = С~с + Сзе + Сзе . а х 5Ф (2) (3) Используя (3), из (2) находим у= С~с — 2Сзе +Сзе, з = -С~е — ЗСге +ЗСзе . м х я г л я хш — 5У+ 4» = О. Решив это уравнение известным способом, имеем х = С,е + С,е + Сзе +Сае П) Вычитая почленно из первого уравнения системы второе н пользуясь решением (1), но~кем записать: у — 4у = -ЗСге' — ЗСге -Ф х -к у =Сге +Сее +С,е +Сзе '. Наконец, палсшвшш решения (1), (2) в первое уравнение системы, находим к = С~е + Сзе — (Сз + Сз)е — (Сч + Сг)е 417. У+х+у-2у=О, У-у+х=О. м Складывая почленно оба уравнения системы, имеем У + 2» + х = 2у, откуда находим 1 у = — (У + 2У + х).
2 (П Подставляя значение у нз (1) во второе уравнение системы, получаем дифференциальное уравнение относительно ф)шанин х: (2) '» +2У вЂ” У вЂ” 2» = О. Решив его, будем иметь х = С~е '+ Сзе'+ Сзе '. Учитывая полученное решение, из (1) находим 1 У= — С,е и+2Сзе'. м 2 415. х = Зх+ 4у, у = -х — у. М Определив» из второго уравнения системы и подставив его в первое уравнение, пол)чим (-У- у)"= 3(-у - у) +4у, у" -2у'+ у = О.
Решив последнее уравнение, будем иметь у = (С~ + Сзт)е' + (Сз + Счг)е '. Наконец, из второго травнения находим х = — у — у = 2(Са — Сз — Сгй)е ' — 2(Сг + Сз+ Сдт)е'. > 416. »=Зх — у — з, у= — х+Зу — а, У=-х — у+За. М Дифференцируя первое равенспю дважды и учитывая все три уравнения системы, получаем х~ = ЗУ вЂ” у — з = 3(Зх — у — з) — ( — х+ Зу — з) — (-х — у+ Зг) = 11х — 5у — 5» = 11»+ 5(У вЂ” 3»), 187 $1. Лииейвме системы 418. У вЂ” 2у+ у+ х — Зу = О, 4у — 2У вЂ” х — 2х+ 5у = О.
< Умножив почленно первое уравнение на 2 и сложив со вторым, приходим к равенству 2у †х †. (1) Дифференцируя (1) и учитывая первое уравнение системы, получаем х = Зу. Подставляя значение х в (1), имеем дифференциальное уравнение у + у = О, из которого легко находим у = Се А тогда у = 2х — Сзе' — Сзе ' в первое уравнение системы, будем иметь дифференциальное уравнение лля функции х: У вЂ” 4х+ ЗСзе' — Сзе ' = О. Общее решение этого уравнения ! х=Сзе +Сзе +Сзе — — Сзе ~.
3 Наконец, подставив (2) в (1), имеем у = 2Сзев+2С„е в+С,е' — — Сзе '. м 3 (2) 420. 2У+ 2х+ х + Зу+ у+ у = О, У+ 4х — х + Зу+ 2у — у = О. м Разрешив систему уравнений относзпельна старших производных, имеем х = 2У+у — 2х — 2у7 у = — 2х — у+а+у. (1) Дифференцируя последовательно даа раза первое равенство системы (1) и пользуясь при этом ее уравнениями, можем записать: х = -у — Зх — Зу, х = -х — 2у — х — у. ш (2) Разрешив систему (2) относительно у и у и подставив их значения в перюе уравнение системы (1), получим уравнение Ши функции х: х — х+х — х = О.
ы При этом 1г ш у = — (х — 2 х +х — 5х) . 5з Интегрирование последнего уравнения дает х = Сз + Сзе' + Сз созг+ Сз йп 1. Наконец, подпилив значение х в (3), окончательно находим 1 1 у = — С, — Сзе + — (-4Сз + ЗС ) сзж( — — (4С4 + ЗСз) ив 1. м 5 5 (3) Применяя метод Эйлера, решить следующие системы уравнений: 421. *' = х — у, у = д — 4х. ° Сопзасно метоау Эйлера частные решения системы ищем в виде х = Ае, у=Во, А, В, Л вЂ” постоянные. и и Подставив (1) в систему, имеем алгебраическую систему АЛ=А — В, ВЛ= — 44, из которой в силу нетривиальности искомых решений следует, что определитель (2) 4 Л вЂ” 1! х= ЗСе з, м 419.
У+ 4У вЂ” 2х — 2у — у = О, У вЂ” 4х — у+ 2у+ 2у = О. м Сложив пачленно эти уравнения, получим (2х-у)" = 2х-у„откуда 2х-у = С,е'+Сзе '. Подставив значение Гл. 3. Системы дифбмревшильаых ураавевий 188 или (Л вЂ” 1) — 4 = О. Корни характериспзческого уравнения Л, = 3, Лз = — 1 — простые. Следовательно, частные решения, им соответствующие, имеют вид: 3! -» 3» хз — — А,е, хз — — А,е, у, =В,е, уз =Взе Связь между постоянными А», В» мы найдем, воспользовавшись системой уравнений (2). Имеем А,Л, = А, — Вп Л,А» — — Аз — Вз (вторые уравнения являются следствием записанных),.
откуда находим В, = -2А„В» = 2А». В силу произвольпости А, и Аз можем, например, положить, что А, = А, = 1. Тогда В, = -2, В, = 2. Таким образом, фундаментальная матрица запишется в виде: е е'з ' =(- .-) Общее решеиие в векторной форме, согласно (5) п. 1А, будет *() ( ) ~(~) — ( 2 з» 2 -») (С ) — ( 2С в+2С Отсюда следует„что у= — 2Сзез + 2С»е '. > х=Се +Сзе ', 422. х = * — у+ з, у = х + у — з, 3 = 2х — у. и Ищем решения в виде х = Ае"', у = Ве"', з = Се '.
Подставив (1) в систему, имеем (2) А(Л вЂ” 1) +  — С = О, — А+ В(Л вЂ” 1) + С = О, -2А+ В+ СЛ = О. Поскольку мы ищем ненулевые решения, та должны положить Л вЂ” 1 1 -1 -1 Л вЂ” 1 1~=0, -2 1 Л, откуда Л' — 2Л' — Л+ 2 = О. Корни этого уравнения Л, = 1, Лз —— 2, Лз — — -1 — простые.
Поэтому частпые решения представляются следующим образом: зз *, = А,е, хз — — Азе, хз = Азе 3 х -( у, =Взе, уз =В»с, уз =В»с зз — — С,е, зз — — Сзе, зз — — Сзе '. в Для установления связи мелгду пастоянпыми А», В», С» пользуемся системой (1). Имеем А»(Л» — 1)+В» — С» — — О, -А»+В»(Л» — 1)+С» =О, — 2А»+В»+С»Л» =О, 8=1,2, 3.
Нетрудно получить решения цоследней системы: Вз =Аз =Сз; Аз =С», В» =О; Вз =-ЗАз, Сз = -5Аз. Поскольку часть из найденных посимнпых произвольна, то можно положить Сз —— 1, Сз — — 1, Аз — — 1. Тогда Вз — — Аз = 1; Аз — — 1; Вз = -3, Сз = -5. Таким образом, фунаамеитальпая матрица рассматриваемой дифференциальной системы имеет вид: зе' е' е'з» Х(1) = ~е' О -3 -'~. ез» -5е»~' Общее решение будет у = Х(1) Сз = Сзе' — ЗСзе х = Сзе'+Сзе +Сзе ', у= С»с» — ЗСзе», л = Сзе +Сзе — 5Сзе . »» () 1, Линейные системы 189 423. х = 2х+ у, у = х+ Зу — э, э = -х+ 2у+ Зэ. и Действуя аналогично предыдущему примеру, имеем Л< — — 2, Лг = 3+ в, Лэ = 3 — в.
При этом частные решения будут ха=А<ев, хг-Аге' «> хэ=Аэе'-'а, гв <э»<э <э->эа У, = В,ег', Уг = Вге<э>'х> Уэ = Вэе< э, = С,ег', зг = Сге<э»<Х ээ = Сэе<' " Для определения постоянных А», В», С», й = 1, 2, 3, пользуемся системой алгебраических урав- нений; А»(Л» -2) В» = О, -А»+В»(Л» — 3)+С» = О, А» 2В»+С»(Л» — 3) =О, й = !> 2, 3. Решив систему уравнений относительно А», Вк, С», получаем: В> — — О, А< = С< = 1; Аг = 1, Вг = 1 + в, Сг = 2 — з; Аэ = 1, Вэ = 1 — в, Сэ = 2 + в. Следовательно, фундаментальную матрицу можно записать в виде: /е е (созС+аяпС) е (созС вЂ” Сэ!пС)>( Х(С) = О (!+ в)е '(сов!+ аз!пС) (! — в)е (созС вЂ” вяпС) е (2 — в)е (созС+вяпС) (2+ в)е '(созС вЂ” аяпС) А тогда согласно (5), п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
