Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 43

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 43 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 432013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

!. 1, х = С ен + С е" (соз С + а яп С) + Сэе (соз С вЂ” в яп С), у = С»О+в)е (сов!+вял!)+Сэе (1 — а)(созС вЂ” аяпС), з = С<е '+ Сг(2 — а)е (созС+ Сяп() + Сэ(2+ в)еи(созС вЂ” вял С), где С<, С„Сз — произвольные (вообще говоря, комплексные) постоянные. В частности, если положить Сг = С, + вС„Сэ = С, — вСэ, где Сг, Сз — действительные постоянные, то из (2), считая что С, — действительная постоянная, можно получить общее решение данной системы дифференциальнък уравнений уже в действительной форме: х = С,е + 2ен(СгсозС вЂ” Сэипз), у = 2е ((Сг — Сэ)с<из — (Сг+ Сэ) япС), э = С<е + 2е '((2Сг+ Сэ)созз+ (Сг — 2Сэ)з!пС). я 424. й = 2х+2» — у, у= х+2», з = — 2х+у — э.

М Нетрудно найти корни характеристического уравнения Л вЂ” 2 1 -2 — 1 Л -2 =О. 2 -1 Л+1 Они имеют внд: Л, = 1, Лэ = в, Лэ = — в. Поэтому, как и в предьшущих примерах, можно записать частные решения данной системы: х< — — Аэе', ха =Аге, хэ =Азе ", а у<=В<с> уг=Вге, уз=Взе я э хэ = Сэе, эг = Сге', ээ = Сэе а -а где постоянные Аы Вк, С», й = 1, 2, 3, связаны соотношениями А»(Л» — 2)+Вк — 2С» = О, — А»+В»Л» — 2С» =О, 2А» — В»+С»(Л»+ 1) =О, у = 1, 2> 3. Решив эти алгебраические системы уравнений, имеем: 1 1 А< =0> В, =2С<! Аг=Вг, Сг = — (-Аг+СВг)! Аз — — Вз, Сз = — (-Аз — аВэ).

2 В частности, С<=!> В>=2; Аг=Вг=2, Сг=в — 1; Аэ=Вз=2> Сэ=-1 в. Гл. 3. Системы дмфферевциальвык уравнений 190 можно сформировать так: 2е " 2е " -(1+г)е " А тогда из (1) следует, что фундаментальную матрицу 0 2еа Х(1) = 2е' 2еа е (з — 1)ез а общее решение данной системы будет х = 2Сзеа 42Сзе ", у = 2Сзе'+ 2Сгеа+2Сзе ", Положив здесь Сг = Сг + зСз, Сз = Сг — зСз, где Сг, решение можно получить в дейстшпельной форме: х = 4(Сг сот(-Сзипг), у = 2Сзе+4(С!сох(-Сз з(п(), з = Сзе'+ Сг(! — 1)еа — Сз(1+ з)е ". Сз — действительные постоянные, общее з = Сзе'-2(Сг+Сз)соз( — 2(Сг-Сз)нпй В.

хг — — (Е+Г(Лг)1)Аге ', где /1 О О( 1' -2 — Лг 1 -2 Е= О 1 О, Г(Лг)= 1 -2 — Лг 2 О 0 1 3 — 3 5 — Лг/ /аз '( а вектор Аг — — аг удовлетворяет уравнению: аз / — 4 4 -8 зз ззазЛ Ра(лг)Аг — — О, нли ~ 4 -4 8 аг = О, 12 -!2 24 аз что соответствует одному скалярному уравнению а, — аг + 2аз = О, или аз — — аг — 2аз (аг, аз— произвольные постоянные). Таким образом, приняв во внимание равенство Р(Лг)А, = О, соглас- но (1) имеем вектор-решение (2) Вектор-решение, соответствующее корню Л,, имеет вид х, = В,е, где постоянный вектор В, зз удовлетворяет уравнению (см.(14), п. 1.4): Р(Лз)вз = О или ! -5 2 Ьг =О.

Легко получить одно из решений этой системы: Ьз=-1, Ьг= 1, Ь3= 3. Произвольная линейная комбинация вектор-решений есп общее решение х данной системы дифференциальных уравнений, поэтому 1' -С,е" С,(аг — 2а,)е ' -С,е '+ Сг(аг — 2аз)е х = Сгхз + Сгхг = Сзе + Сгаге = Сзе + Сгаге л -з М ЗС,е зз Сгазе -3 ЗС С ,е + газе Полохщв здесь С,аг = Сг, С!аз = Сз и приняв во внимание, что х = (х, у, я), окончательно имеем: *= — Сзе +(Сг — 2Сз)е ', у=Се" +Се ', з =ЗСеи+Сзе '. м 425. х = -2х+у — 2е, у = х — 2у+ 2г, 3 = Зх — Зу+ 5з. и Поскольку среди корней характеристического уравнения имеются кратные (Л, = 3, Лг = = Л, = -1), то, согласно формуле (16), п.

1.4, частное вектор-решение, соответствующее этому корню, ищем в виде: 191 426.х=2х-у-г, у=2х-у-2, х=-и+у+2 . и Характеристическое уравнение данной системы имеет лишь один трехкратный корень Л = = — 1, поэтому, согласно формуле (16), п. 1.4, можем записать: х = (В+ Г(Л)1+ — Р (Л)1 з'Ае „ 2 где 1 -1 -1( )'0 0 О( Р(Л)= 2 -2 -2), Р(Л)= ~ 0 0 0) . 0 0 0 Вектор А удовлетворяет уравнению гс(Л)А = 0 (см. (17), и. 1.4) и в силу тождества лс(Л) = 0 является произвольным. Таким образом, общее решение в векторной форме имеет вид: /1+! -1 — 1 Зз зГС '1 х = (х, У, г) = (Е+Р(Л)1)Ае' = 21 ! — 21 — 21 ) ~Сг) е'. — 1 1 1+8 Сз Отсюда находим х = е'(Сз(1+1) — (Сг+Сз)1), х = е (Сз+(Сз — Сг Сз)1), у = е'(2Сз(+ Сг(1 — 21) — 2Сзз'з), г = е'( — Сзз+ Сг(+ Сз(1+ 1)) ~ у = е'(Сг+2(Сз — Сг — Сз)З) х = е'(Сз+(-Сз+Сг+Сз)1) > х = (х, у, г) = (Е+ Р(Л)1+ — Ф(Л)1 ) Ае, )'С, ( где А = Сг — произвольный постоянный вектор, 'з,с,) з' 2 -! ОЛ з'1 Г(Л) = ~ 3 — ! — 1), Е~(Л) = ~2 -2 2), Ф(Л) = О.

1 0 -1 1 -1 1 (2) Из представления (1) на основании (2) следует общее решение в скалярной форме: и 1 х = е (С, + (2С, — Сг)1+ — (Сз — Сг + Сз)1 ), 2 у =е (Сг+(ЗСз — Сг — Сз)1+(Сз — Сг+Сз)1 ), гг з ! гй г =е ~Сз+(Сз — Сз)1+ — (С, — Сг+Сз)( ~. м 2 4гз. У вЂ” х+2у — 2у=О, х — х+у+у=О. чз Ищем частные решения в виде х = Ае"', у = Ве~. Подстановка их в систему дает А(Л вЂ” 1)+ 2В(Л вЂ” 1) =О, А(Л вЂ” 1)+В(Л+ 1) = О.

Отсюда в силу условия А Ф 0 и В ~ 0 следует, что !' Л вЂ” 1 2(Л вЂ” 1)( Л вЂ” 1 Л + ! иви (Л вЂ” 1)(3 — Л) = О. Таким образом, Л, = 1, Л, = — 1, Лз — — 3 — простые корни характеристического уравнения (2). Им соответствуют следующие частные решения: г -з М х, =А,е, хг =Аге, аз =Азе, (3) уз=Взе~, уг=Вге-,' уз=Взе -г (2) 427. й = 4х — у, у = Зх+ у — г, г = х+ х. и Нетрудно убедиться, что Л = 2 — трехкратный корень характеристического уравнения, позтому, согласно формуле (16), п.

1.4, общее решение данной системы имеет вид: 192 Гл. 3. Снстнвы дифференциальных урагшенгйг Связь межлу коэффициентами Ао, Во, Ь = 1, 2, 3, мы найдем, последовательно лонставляя корни Лг, Ь = 1, 2, 3, в систему (1). Имеем Аг(Лг — 1) + 2Вд(Лг — 1) = О, Аг(Ло — 1) + Вг(Ло + 1) = О. Отсюда находим В! — — О (А! — произвольно); Аг — — О (Вг — произвольно); Вз = -1, Аз = 2. Учитывая зти соотношения и полагая, например, А! — — Вг = 1, из частных решений (3) комбинируем общее решение данной системы дифференциальных уравнений: х =Стхэ+Сгхг+Сзхз = Сзе'+2Сэе ', У =С>У! 4СгУг -ЬСзрэ =Сге ' — Сзе '.

М 429. й + 5А + 2у + у = О, Зх + 5х + у + Зу = О. < Полагая х = Ае"', у = Ве"', как и в предыдущем примере, имеем А(Л + 5Л) + В(2Л -ь 1) = О, А(ЗЛ + 5) + В(Л+ 3) = О, (1) откуда, учитывая условие А и' О н В зо О, находим Л! — — Л, = 1, Лэ = -1. Частные решения, соответствующие простому корню, имеют шщ: -! -! хз = Азе, уз = Взе Связь между Аз и Вз находим из системы (1) известным способом: Вз — — -4Аз. Поэтому, по- ложив, например, Аз —— -1, имеем Вз — — 4. Следовательно, частные решении, соответствующие корню Л, = — 1, будут аз = -е ', уэ —— 4е '. Далее, в силу того, что Л = 1 — двукратный корень, мы должны искать чаем!не решения, соответствующие этому корню, в виде: х = (а+ И)е', у = (с+ >(!)е > (2) где а, 6, с, >( — пока неизвестные постоянные.

Для их определения подставим (2) в данную систему уравнений. После некоторых упрощений, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений: ба 4 76+ Зс 4 2>( = О, 2Ь+ >( = О, 8а + бЬ+ 4с+ т( = О, из которой находим >г = -2Ь, с = -2а — Ь, где а, Ь вЂ” произвольные постоянные. Таким образом, общее решение предсташшется следующим образом: х = (а+ И)е' — Сзе ', у = (-2а — Ь вЂ” 2И)е + 4Сзе ', а Применяя метод вариации, решить следующие системы: 2 3 430. х = -4х — 2у+ —, у = ба+ Зу— е' — 1 е' — 1 М Прежде всего решаем однородную систему уравнений, соответствующую данной системе: х = -4х — 2у, у = бх+ Зу. Подставив значение у = -2х- 2 х во второе уравнение, получаем й+й = О, откуда х = С +С е 1.

А тогда у = -2С! — 2Сге '. Для определения общего решения неоднородной системы, согласно методу вариации произвольных постоянных, считаем С! и Сг некоторыми дифференцируемыми функциями. Зги функции мы найдем из системы уравнений, которая получается в результате подстановки значений х и у в неоднородную систему. Таким образом, мы имеем: 2 . 3 ., 3 С! + Сге = —, -2С! — — Сге е' - 1 2 е' — 1 Отсюда находим Сг = -э —, С, = О. Интегрируя последние уравнения, получаем 2е' е — 1' С! = С!о, Сг = 2)п!е' — Ц+ Сто> где См, См — произвольные постоянные.

Наконец, подставляя значения С, и Сг в общее решение однородной системы, имеем общее решение данной системы; — С! + Сге '+ 2е ' (п 1е' — Ц, у = -2С! — — Сге — Зе 1п)е — Ц -! ! 2 где С„Сг — новые произвольные постоянные. м 193 () 1. Лвиейвые свстемы 1 431. х = *- у — — 4 = 2» — у. сгп! < Легко найти (хотя бы методом исключения) общее решение соответствующей однородной системы х=С,в!п(+С,сов(, у=(С,+Сг)яп(+(Сг — С)сов(.

(1) Считая (в согласии с методом вариации произвольных постоянных), что С, и Сг — некоторые дифференцируемые функции, и подставляя значения х и у нз (1) в данную систему, будем иметь 1 ... 1 С, сов( — Сг яп! =, Сз яп(+ Сг сов! = —, сов( сов! откуда находим с, = 1+ гй(, Сг = 1 — зй(. интегрируя эти уравнения, имеем С, =! — (в|сов!!4Сн, Сг=!+!п!сов(!+Сго. (2) Наконец, подставляя (2) в (1), получаем обзцее решение предложенной системы: х = 1(япг+ сов!) 4 (сов( — япг) 1п ! сов !! + С, яп(+ Сг сов(, у = 2(в!п!+ 2сов(+ !и |сов4+ (Сз + Сг)яп(+ (Сг — С )сов(, где С„С, — новые произвольные постоянные. м Решить следующие системы: 432. (х+ 2(х — у) = 1, (у+ х+ 5у = !'. < Производя замену аргумента 1 по формуле т = 1п |!), ! Ф О, приходим к неоднородной системе с постоянными коэффициентами: г(х Ау г — + 2(х — у) = »е', — + х+ 5у = е '.

Йт г(т Определив иэ второго уравнения системы г г(у »=е — 5у —— г(T козфф у= Ае +Ве . Подставляя у в неодноролное уравнение и приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, будем иметь: А = 75, В = »20. Таким образом, 2 у = Туев' » 2бе'. А тогда общее решение -м -и 2 г„1 у=Сге +Сге + — е х — е'.

15 20 Подстаюшя значение у в (*), получаем -м -з~ 7 и 3 х = -Сзе — 2Сге + — е ~ — е'. 3 10 Вернувшись к аргументу 1, имеем окончательно Сз 2Сг (г ЗЩ Сз Сг 2 г 1 х=- — — — + — ~ —, у= — + — + — !гх — !!(, 14 Щз 15 10 (а Щз 15 20 1~0, м 433. Ву+ бх — у — 3» = О, (у+ 23х — бу — 9» ы О, Б+ х+ у — 2» = О. м Аналогично предыдущему примеру имеем: т = 1п !!!, ! ,-в О, и г(» г(у да — + бх — у — 3» = О, — + 23х — бу — 9» = О, — + х+ у — 2» = О. гтт г!т г(т и подставив его в первое уравнение, получаем у 4 7у+ 12у = 4ег' ~ е'.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее