Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 40

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 40 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 402013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

о С(х, в) = д2 ищем в виде С = е у и(х), где функция и есть общее решение уравнения ей + и" = О. Последовательно интегрируя его, получаем Гл. 2. Днфймрепцнальпме ураапппш высших порядков 176 Воспользуемся теперь краевыми условиями и нзвестнымн свойствами функции Грина. Тогда полу»им следующую систему алгебраических уравнений относительно С; (г = 1, 2, 3, 4)г г »г Сз ~ е Т Ые + С» = О, а зе Т ~ е г Ы() + ве г С» о Сг=б, С 1+ из которой находим С,=егу ~ ), Сз=еу, С,=-егф(з), Ф(в)= / е ТЫй " г'гр(в) — р(1)д ' уг(з) Р(1) ) ' Р(1)' Подставив нагшенные значения С; в (1), завершим этим самым процесс построения функции Грина С.

Она имеет вид вг л гг г гг дГ/е г Ы(/е Т Ый ! з г д~~-/е г гй~е г Ый О(х<з, С(х, з) = з(х(1. ~ о г 401. ((х' — 1)У') — 2У = ~(х)1 /У(1)~ < +со, У(2) = О. м Очевнано, что функция С = х удовлетворяет уравнению ((х — 1)С') — 2С = О, х Е (1, 2), х ~ в. Поэтому общее решение уравнения можно искать в виде С = хи(х). В этом случае функция и является решением уравнения (4хг — 2)и'+ (хз — х)и" = О, х к в, интегрируя которое, находим Следовательно, Сг (1+ $1п<х+ 11<) + Сгх, если 1 < х ( з, С(х, з) = Сг (1+ 2 )п <- — 4-(<) + С»х, еслн 3 < х ~( 2.

1 вьпекает, что С, = О. Определяя известным р(2) С»=в С»=- — в ) где р(з) 1+ в )п < в — 1 < Таким образом, х(р(в)+ 2((пЗ вЂ” 1)), если 1 <х(в, С(х, з) = з((з(х)+ ~2(АЗ вЂ” 1)), если в < х < 2. П Из условия ограниченности С(х, з) при х— способом оставшиеся Сг (г = 2, 3, 4), имеем р(2) Сг — — — — в+ р(в), 2 г г С, ~ е г Ыз = С, / е г Ыз + С», а з — Сг 1+ ве Т / е г Ы() = е Т, з 402.

Оценить сверку и снизу решение задачи хоро + 2хр' — 2у = Г(х) и его первую производную, если известно, что у ограничена при х о 0 и при х -+ +ос, а функция У удовлепюряег условию 0 < У(х) < ш. и Предоставляем читателю возможность убедиться в том, что функция Грина данной задачи имеет вид если 0<а<в, С(х, в) = Зз ' — если з < х < +оо. Зх ' Согласно формуле из п. 5.2, записываем решение задачи в виде +ОР у(х) = / Г(з)С(х, в)о(з. о Теперь займемся требуемыми оценками.

Поскольку ох -йю о +оо — у(х) = / У(з)(-С(х, з))о(в < по 1(-О(х, в))йз =гп ~ — + ~ — бз )./ Зх l Ззэ ) 2 о о о а и у < О, то лля решения р имеем оценку — — < у(х) < О. / Г(з)С*("з)йз+ l Г(з)С*(" з)йз l Г(з) З эйз l 3 бз<"',/ 3 пз 3 ' о и о и о 2в Г 1(з) Г Фз гп у'(х) = 1 у(з) — Нз — о — о(з > -по г — = — —. Зхз ./ Зв' э' Звэ Зх о Таким образом, производная р' удовлетворяет неравенствам гп ш — — < р (а) < — (х > 0). ~ Зх Зх 403. Свести к интегральному уравнению задачу Штурма — Лиувилля -(1+ е*)р" — е*у' ж Лх у, 0 < х < 1, у(0) — 2р'(0) = О, Р (1) = О.

и Прежде всего займемся построением функции Грина следующей краевой задачи: -(1+с*)р — е*р'= У(х), 0 < х< 1, у(0) — 2р'(0) = О, р'(1) = О. Согласно п.5.2, искомая функция С удовлетворяет условиям: — (1+ е*)С",, — с*С', = О, х б (О, 1), х ~ з, С(0, з) — 2С',(О, в) = О, С,'(1, з) и О, 0(в — О, в) = 6(з+ О, з), о~ =тоо ~о1*ю-О +,. Из уравнения (1) получаем: е* С,1п — в — +Сэ, если 0<х<в, С(х, з) = Сэ Ш е — + Со! в < х < 1.

Используя краевые условия и свойепи функции Грина, вычислим величинм Со (о = 1, 2, 3, д), Затем, цсдставив ик в выражение для функции Грина, закончим процесс ее построения. Она имеет вид 1 х-1п(е'+1)+1+1п2, если 0<а <з, 1 в — 1п(е'+1)+1+1п2, если з кх <1. Гл. 2. Дифферяшиальвме урааиеивв высших порядков Теперь, в соответствии с п.5.3,менем записать требуемое интегральное уравнение: ! у(х) = Л ( з у(з)б(х, в) о(з, м о И Записав дифференциальное уравнение задачи в форме (-т/ху') = Лу, 0 < х < 1, функцию Грина определяем из условий: (-,/хб',)' =О, 0<х<1, х~з, Шп(ь/хб'.) = О, б(1, з) =О, б(в — О, з) = б(з+ О, «), бе/,, о — б',/ Имеем 2 (1 — е/в), если 0 ( х < з, б(х, з) = 2(1 — е/х), если в < х ( 1.

Следовательно, у(х) = Л ~б(х, в)у(в)!(в. и о С помощью функции Грина решить следующие а«дачи, 4О5 — — — = «е(х)! 1 ( х ( е, у(1) = О, у(е) — еу'(е) = О, где е — основание хув у' 1+х (1+х)о натуральных логарифмов. и Из уравнения хб",, бе / хб', е) : — 1 — /1 =О, х~в, 1+х (1+х)о 1,1+в( получаем: С!! если х < в, ( С~(х +!их) + Сц если 1 < х ( в, б(х, з) = 1 1+х ( Сз, если х > з, ' ( С«(х+1пх)+Се, если в < х <е, Пользуясь заданными краевыми Условиями и свОйствами фупкцни Грина. нахпаим С! — — в+1пз, Сз = -в — 1пз, С« = в+1пв — 1, Се = О. Следовательно ( в+)пз)(х+1пх — 1), если 1 (х < в, б(х, в) = (х+)пх)(в+1пв — 1), если з (х < е.

й соответствии с формулой (2), и. 5.4, решение поставленной задачи записывжтся в виде с у(х) = ~/(в)б(х, з)!(в. ° ! 40ф. -(1+ сов х)у" + яп х у' = /(х)! 0 ( х < ~т! у(0) - 2у'(О) = О, у Н) = О. м Из уравнения -(1+ сова)б" + япх - б', ш -((1+ сова)б',) = О (х Ф в) 404. Свести к интегральному уравнению накопление решений уравнения -2хув — у' = = 2Ле/ху, 0 < х < 1, при граничных условиях йш(е/ху) =О, у(1)=0.

179 последовательным интегрированием получаем С1 га $2 + Сз, если О < х < в, С(х, в) = Сзглу+Сы если в < х < 2. Краевые условия и свойства функции Грина приводят к равенствам С~ — С, — — (1 — Ьу ), Сз — (1 + Га ), Св (1 +ГЛ Таким образом, 0<х<в, в<х<2, а а решение поставленной задачи имеет вид к у(х) = ~0(х, в)у(в)ов. > о 407.

Доказать, что краевая задача -у" + 9(х)у = 7(х), у'(а) — Лу(о) = Сп у'(6) + Ну(6) = Сз эквивалентна трем задачам Коши: 1) -д +д = д(х); д(а) = -Л; 2) У' — д(х)У = -7(х); У(а) = С,; с — у(ь) 3) у'+д(х)у = У(х); у(Ь) = н — д(ь) ' Л Дифференцируя уравнение 3) и используя при этом 1) и 2), имеем у +д(х)у+д(х)у = У(х), у + ( — я(х)+д (х))у+д(х)(У(х) — д(х)у) = -у(х)+д(х)К Отсюда получаем уравнение -у + д(х)у = у(х).

Подставив в 3) х = а, находим: у'(о) + д(а)у(а) = У(а), или у (а) — Лу(а) = Со (2) Подставив в 3) х = Ь, имеем (3) где -у(х)+у =д(х). у'+ у(х)у = У(х), У' — д(х)У = - У(х). (6) Полагая в (5) получаем (7) у'(ь)+ д(ь)у(ь) = У(ь). Но у(6) = Сз + у(Ь)(д(6) — И), поэтому из (3) следует р'(ь)+Ну(ь) = с,.

(4) Таким образом, исхода нз трех указанных задач Коши, получили краевую задачу (1), (2), (4), С другой стороны, дифференциальное уравнение краевой задачи можно представить в виде (у' +у(х)у) — у(х)(р' +у(х)у) = -у(х), (5) Гл. 2. Дифференциальные ураммшш высших порядков 180 Далее, подставляя в (7) х = а, х = Ь и пользуясь краевыми условгшми, можем записать С, — (Л+у(а))у(а) = Зг(а), Ст — (Ы вЂ” р(Ь))у(Ь) = У(Ь). Как видим, условий здесь два, а неизвестных три. Поэтому можно положить р(а) = -Л.

(9) Тогда Сз — Зг(Ь) Г(а) = С, у(Ь) = Ы - у(Ь) (1О) Следовательно, получили три задачи Коши (6)-([0). м Примечание. Очевидно, что для справеллижкти проделанных операций необходимо, чтобы зздвча Коши (6), (9) имела решение нв сегменте [в, УЬ 408. Найти собстиенные значения и собственные функции задачи у" = Лу; у(0) = О, у(!) = о. < Общее решение данного уравнения имеет вид у = С, зн чгЛх + С, си тг'Лх. (1) Использовав краевые условия, находим С, = О, Сг зй чгЛ! = О.

Так как мы ищем те значения Л, при которых существуют ненулевые решения, то из последней системы уравнений следует, что з1г зГЛ! = 0 (Л ,-Е 0). Отсюда, в силу тождества зЛ ъ'Л! = Ьт = т з[п чг-л! получаем ьг-Л! = Ьгг, Л„= — — ~г- (Ь Е Ь[). Полагая в (1) Сг — — т, находим собствен! ные функции уь — — з[п +- (Ь Е [г[), м Примечание. Собственные функции нашдятся, нюбше говоря, с точностью до произвольного числового множителя. Однако для многих целей удобно записывать собственные функции в так называемом нормированном виде, подбирая каким-либо способом произвольныа множитель.

В данном случае мно! житель Сг бьш выбран из условий: .ц [рь ~ дх = 1 и уь — действительнав функции, 1 Г 2 Упрюквешш для самостоятельной работы Построить решения следующих зацач Коши. 1. У" = У + У', У(0) = 1, У'(0) = О. 2. Ув' = [[[[ — Уе г У(0) = О, У'(О) = О, Ув(0) = 1. гв 4. ул' = бх 'ув+ [бх зу — 16х зу'+ х з(ху' -у) '(харя -4ху'+4у)~, у(1) = [, у'(!) = 2, уя(!) = 3.

Произвести указанную замену переменных в линейных уравнениях: 5. ув + у = О, х = 1'. 6. хам + ув = 0 х = [п !. 7. 2у" — Зу' + х у = О, у = ха в(х) + х. 8. ум — ху'+ ху = О, х = 1, у = !и(!). Методом вариации произвольных постоянных проинтегрировать уравнения: 9. у" + Зу'+ 2у.= -з — --, у, = е ~, ут —— е *.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее