Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 39
Текст из файла (страница 39)
*в В случае неоднородных краевых условий задачи (1), т.е. при »вы + »1 ф О, следует ввести в рассмотрение новую функцию «по формуле у(х) = «(») + и(х), где вспомогательная функция и выбирается таким образом, пабы она удовлетворяла неоднородным краевым условиям задачи (1) (часто это линейная функция). Тогда относительно функции «получается краевая задачи вила (1) с однородными краевыми условиями. 5.3. Задача Штурма — Лнувилля.
Задача об отыскании тех значений Л, при которых уравнение б Г ИуЛ вЂ” (р(х) — ) + О(»)у = Лу, йх (, б»Г' где р Е С'(хз, х,], р(х) ф О, д Е С[хе, »1), имеет ненулевые решения у, удовлетворяющие краевым условиям оу'(хв)+)уу(хз) =О, уу(х~)+бу(х~) =О, где аз е )уз ф О, уг -~- бз Ф О, называется юдичвй Штурма — Лиувивяя. При этом числа Л назмвавпся собственными зничениями, а соотвегствуюпгие им функции у — собственными функциями рассматриваемой зазачи. 5.4. Условие зквнвалевтноетн краевой задачи интегральному уравнению.
Если Л = 0 не является собственным значением задачи Штурма — Лиувилля и у Е С(хз, х~) г1 гз йз(хз, х,), то кРаеваЯ задача дла УРавнениЯ И У буй — ( р(х) — ) + с(х)у = Лу+ у(х) равносильна интегральному уравнению у(х) = Л~С(х, в)у(в)йв+ /С(», в)у(в)бж (2) Напомним чИтателю, что символом Ьз(хв, х,) обозначаетсЯ класс фУнкций, интегРиРУемых с квадратом на (хм х,). Решить следующие краевые задачи. 388. у"-у'=О.
у(О) т-), ~(1)-у(1) т2. < Записываем общее решение данного уравнения у = С, + Сзе*. 171 Подставляя общее решение в заданные краевые условия, получаем систему уравнений относи- тельно постоянных Сг и Сгг' Сг + Сг = -1, Сге — Сг — Сге = 2. Отсюда находим Сг — — — 2, Сг = 1. Следователыю, у=-2+с*, 0(х(1.и 389. у" — у' — 2у = 0; у'(0) = 2, у(+со) = О. и Легко находим общее решение данного уравнения: у = С,е *+ Сге*.
(1) Так как у(+со) = йгп у(х) = О, то из (1) следует, что С, = О. Из краевого условия у'(О) = 2 следует, что С, = -2. Окончательно имеем у=-2е *, 0(а<+со.м 390. у" — 2гу = 0; у(0) = -1, у(+со) = О. и Известным способом находим: У = С ег'+гг*+ Сге О+О* = Сге*(созе+ вагиз)+Сге *(созе — !ипх). Поскольку Йп у(х) = О, то Сг — — О. Далее, из условия у(0) = — 1 получаем Сг —— -1.
Поэтому +ЗО у=с *(гзшх — совх), 0 <х <+со. > 391. х'у" — 2ху'+ 2у = 0; у(х) = о(х) при х -~ О, у(1) = 3. М Это уравнение Эйлера. Его частные решения ищем в виде у = х", где А удовлетворяет характеристическому уравнению А' — ЗА -ь 2 = О, из которого находим Аг = 1, Аг = 2. Тогда у=Сгх+С,х г есть общее решение данного уравнения. Первое краевое условие означает, что йгп У( — = О. Поэтому С, = О.
Из второго краевого ~ в х условия следует, что Сг —— 3. Таким образом, у = 3х (О < х < 1) есть решение данной краевой задачи. > 392. При каких а краевая задача у" + ау = 1, у(0) = О, у(1) = О, не имеет решений? и Записываем общее решение данного уравнения а + Сге~ + Сге т г*, если а ~ О, х 2" + г(ге + г(гг если а = О. Принимая во внимание краевые условия, имеем С, + Сг + — = О, С,е ' + Сге + — = 0 (а ув О), (1) а а 1 г(г = — — г(г = 0 (а = 0). 2' Система (1) неолноролная, поэтому, как известно, она не имеет решений в том и тагько в том случае, когда определитель этой системы (2) и хотя бы один из определителей (3) не равен нулю. Из (2) следует, по а=да, в%2.
(4) Гл. 2. Дифферевцвальзвш уравнения высших ворвдиш 122 Для каждой нз следующих краевых задач построить функцию Грина. 393. уа = У(х); у(О) = О, у(1) = О. м Согласно п. 5.2, для функции Грина С имеем задачу: С",,=О, С(о,в)=С(1,в)=0 (0<я<1; хФв), Интегрируя уравнение С",, = О один раз, находим ( С„если 0<х<в, ( Сэ, если в<я<1. Здесь С, ~ Сэ, так как по условию производная Св терпит разрыв при х руя 6"„получаем П) = в. Далее, интегри- ( Сгх+Сэ, если О ~< х < в, С(х, в) = 1 Сэх + Со если в < х < 1.
Поскольку функция С непрерывная, то должно выполняться условие С~в + Сэ Сэв + Со Из краевых условий для функции С следует, что Сэ — — О, Сэ + С4 —— О. Условие скачка производной С', при х = в приобретает вид С,-С, =1. (2) (З) (4) (5) Решив систему уравнений (3)-(5) относительно постоянных Сг (г' = 1, 4), получим: С~=в — 1, Сэ=в, Сэ=о, Св=-в.
Подставив значения Сг в (1), заканчиваем построение функции Грина для предложенной задачи: ( (в — 1)х, если 0 < х < в, ( в(х - 1), если в < х < 1. 394. у" + у = У(х); у(о) = у(я), у'(о) = у'(з). м Решая уравнение С"„+ С = О, х эз в, имеем / Сгяпх+Сгсозх, если 0 < х < в, ), Сэяпх+С~созх, если в < х < а.. Из краевых условий для функции С получаем: С, = -С„С, = -С,. (1) Из непрерывности С(х, в) при х = в, а также скачка производной С', при х = в следуют соот- ношения Сг япв + Сэсозв — Сэ яп в + С4 сова Сэ Из системы уравнений (1), (2) находим 1 С, =-С =-- озв, 2 созе — Свяпв — С~ созв+ Сэяпв = 1 ° (2) 1 Сэ — — -Св — — — яп в. 2 Таким образом, имеем э яп(в — х), 0(х, з) = — яп(х — в), ес 0<х<, если в(х(я, нли 6(х, в) = 2~ яп (х — в! при 0 (~ х < я.
я Принимая во внимание (4), из (3) следует, что сов Ьг 4 1, т.е. число й не должно быть четным и й ~ О. Итак, если а = (2пт+ 1)~я~, гп Е Е, то система (!) решения не имеет. При этом же условии не имеет решения и предложенная краевая задача. В 395. х'у" + зх'у'+ ху = у(х); у(1) = о, у(2) + 2у'(2) = о.
м Из уравнения х гз",, + За С, + хС = О, 1 < х < 2, х га з, находим 396. у"соз х — у'мп2х = у(х); у(0) = у'(0), уЯ) +у ® =О. чг Поскольку С~сов'х — С',ил2х = (С',соз'х)„ то иэ уравнения (С',соа х)',=О, 0<х< —, х4з, легко находим С ,Гах+Сг, если 0 < х < з, С(х, з) = я Сзгкх+ С„если з < х <~ 4. Краевые условия приводят к равенствам С Сг = Сн Сг+ Сз+ — „= О. созг —" у Из свойств функции Грина получаем С С, созг з созг з созг з С~ГКз+Сг Сгщз+Со (2) Решив систему уравнений (1), (2), имеем: 1 1 С~ — — Сг = — (щ з — 3), Сз = — (гк з + 1)~ 3 Сз — — — -(щз+ 1).
4 Таким образом, 4(щз — 3)(щх+1), если 0 < х < з, 1 С(х, з) = 4(щз+1)(щх — 3), если з <х< 4. М 397. у" + 4у' + Зу = у(х); у(0) = О, у(х) = 0(е ~) при х -+ +ос. м В ланном случае ( Сге™+Сте и, если 0<и<а, т( Сзе +Сзе ь', если з<х <+со. Из условия задачи Сге *+Сев г* / О, если С =О, +а е-т* ( сог если Сз ГЗ О, слслует, что Сз = О. Из первого краевого условия получаем, что Сг + Сг — — О. Непрерывносп функции Грина и условия скачка ее производной при х = з соответственно данн: Сге *+Сте = Сзе, — ЗСзе +Сге '+ЗСте = 1.
С (х, з) = Чхг + с2-ьаь, если 1 < х < 3, (1) -л+-З вЂ” е, если з<х<2. х х Подчигия функцию С по переменной х краевым условиям, а также пользуясь ее свойствами, перечисленными в п. 5.2, получаем систему уравнений относительно С, (г = 1, 2, 3, 4): Сг г' 1 )пз'г 1 Сг О) Сг 0 Сг 1пз Сн Сг зг г(,зг зг ) з' Решив систему и полсивив значения С; в (1), окончательно имеем … — зз, если 1 < х < з, й(х, з) = — — если з<х<2.а Гл. 2. Днфферещщалввме уравнения в«вилик нордицщ 174 -'е'(е и — е *), если 0 <х<в, С(х, в) = -'е'(1 — е~)е, если в < х < +со.
М 398. При каких а существует функция Грина краевой задачи у» + ау = У(х), у(0) = О, у(П =о. и Пуеп а ~ О. В этом случае функция Грина имеет вид С«е~*+ С«е ~*, если 0 < х < в, С«е" » + С»е ' , если в < х < 1. Из краевых условий и свойств 1) — 3), п.5.2, следует система уравнений относительно С; (« 1, 2, 3, 4): 0 С а д С -«/=» О С»/=Й С -~~6» С»-и С -»/:Н Полученная система уравнений неоднородная, поэтому для сущеспювания ее решения необходимо и достаточно, чтобы для определителя системы выполнялось условие 1 ! 0 0 О 0 -» е «/:»» — »»:»» е -е »с»» — е —,/-» фО, 0<в<1, е - "-»в е »/-м -е — г ва или Ф х/-а Н'. О.
Очевидно, что если а ( О, то последнее условие выполняется. Если а > О, то в силу равенства зл(««/а) = «ип т/а определитель системы не равен нулю при условии нп т/а ~ О. Следовательно, «/а ~ йх (й Е Е), или а ~ й«хт. Пусть а = О. Тогда ! ~ ~ ~ ~ ~ !» 1 1 ! | | С,х+С«, если О ( х < в, С(х, в) = С«х+С«, если в <х(1. Относительно постоянных С«(« = 1, 2, 3, 4) имеем систему уравнений С«О«С«+ С» О«С«в С«в + С««С«С«1« иэ которых находим С« = в, С» = — в. С«-— в — 1, Следовательно (в — 1)х, 0 ( х ( в, С(х, в) = » 2 г ~ ~ ~ ~ ~ т ! | | ~| в(х — 1), в(х(1. Таким образом, если а Ф й'ят (й Е !«(), то фушощя Грина данной задачи существуег и единственна. м Найти функцию Грина следующих краевых щяач.
399. (ху')' — (1+ х)у = /(х); у(1) = О, (у(0)! <+со. и Для функции Грина имеем дифференциальное уравнение х6'„', + б/, — (1+ х)С = О, 0 < х ( 1« * ~ в. Применив подстановку б = у«(х)(/(х), где ««(х) е*, приводим уравнение к ввлу х«/'+(2х+ 1)н = О. Следовательно, С« = -Ст = -те*, С« = УГ(! — е"), и функция Грина рассмотренной задачи имеет вид Последователъно интегрируя его, получаем -з* й= — е *, и=С, / — >(х+Сз.
х х Если ввести в рассмотрение функцию Ф, где > е" Ф(х)= / — а, то функцию и можно представить также в виде и = С,Ф(х) + Сз. Следователъно, С ,е*Ф(х) + С,е*, если 0 < х < з, С(х, з) = Сзе*Ф(х) + Сое*, если з < х < 1. Запишем теперь систему уравнений относительно С; (о = 1, 2, 3, 4); С> — — О (так как йп Ф(х) = +оо), * +о Со = 0 (посколъку Ф(1) = 0), Сзе' = е'СзФ(з) (так как Функция С непрерывная)„ е'>), 1 Сз Ф(з)е — — ~ — Сзе = — (скачок производной С,). в / з Решив систему и подставив значения С; в (1), получим окончатглъно со+> /~,(( ! г -и если 0(я<в, С(х, з) = если з < х ( 1.
М >> >> З> 400. е з р' ~ — е з у = у(х)„' у(0) = р(1) = О. Л Функцию Грина С, удовлетворяющую дифференциальному уравнению с ,> > е уб,~ -е зб=0,0<х<1,хФз> Ф> г 4> и'=С>е У, и=С>/е Т>((+Сз. о Принимая во внимание, по производная С', разрывная при х = в, имеем г дв С>еу/е т>((+Свет, если 0<я<в, о *'г Р Свез /е з >((+Свет> если з <х(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
