Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 37

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 37 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 372013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Однако на самом деле существует ее единственное решение э у= -(х +2)+ — + — )х(, 7 2 14 дважаы непрерывно дифференцируемое при всех х б (-сю, +оэ), и его можно получить из более общего решения данного уравнения у = Сэ(х + 2)+ Сгх + Сэ/х), подчинив последнее заданным дополнительным условиям. ~ Заиечавве. Рассмотренный пример показывает, что если коэффицаент Рз(х) при старшей производной обращается в нуль при х = хз, то соответствующее дифференциааьное уравнение и-гс порядка может иметь больше чем и линейно независимых частных решений. Последнее означает, чга некоторые диффереициальнме задачи, кажущиеся неразрешимыми с первого взгляда (т.е.

лереоарелвтешгмми), вполне могут иметь единственное решение. б 4. Линейные дифференциальные ураввеивя с веремеввымв кеэффвциеитамв 161 Зб(Ь. Заменой независимой переменной ! = (а(х) уничтожить член с первой производной в уравнении х (1 — х )у' + 2(х — х )у' — 2у = О. !2 222 ,!г в Сначала выразим производные ~~, — у через производные Вйа, — у.

Имеем х' агх !'ш' (у а!у (! (у а!у а(х ай !(х а(х а((' в у а! ('Ну(х) ву') а( !р(х) ву ду(х) а! !'а~у') а( (а(х) ву (!йу~т)) а! у Йхг йх ~ дх аЫ / йхг й! дх Пх (,(! / Охг й ', Пх / й!' Подставив значения этих производных в уравнение, получим г,!г г аур(х) а(' (х) — — — + (2( — * ) + * (! — ) , ) — — 2 = О. Замечаем, что если функцию р выбрать из условия бр(х) а(~ар(х) 2 — +х =О, ,(х а(ха то цель будет достигнута.

Последнее уравнение легко решается, и мы имеем с, р(.) = — +с,. х Поэтому исходное дифференциальное уравнение можно представить в вице: 2 1 2!У Сгг (Х вЂ” — ! у! — — 2у =- О, (х2 ) й2 или, если учесть, что х = 2С- = ?--+-, в виде Ог — 2 — г ' г ((! — Сг) — С,) — — 2У = О. а(!2 Произвольными постоянными можно распорядиться в зависимости от дополнительных условий. М Зб7.

Доказать, что в случае е(х) < О решения уравнения ух+ р(х)у'+ !?(х)у = О не могут иметь положительных максимумов. и Предположим, что в точке х, б (в, Ь) имеется максимум решения у = у(х), равный у(хо) ) О. Тогда, как известно, в силу дифференцируемости этого решения, обязательно у'(ха) = = О. Подставив в уравнение х = хо и приняв во внимание последнее условие, имеем уа(хо) = -р(хо)у'(хо) — о(хо)у(хо) = -2?(хо)у(хо) > О.

Следовательно, в точке х, имеется минимум функции у. Полученное противоречие и доказывает предложенное уаерждение. М 363. Могут ли графики лвух решений уравнения у'+е(х)у = О, где е — не- ! прерывная функция, располагаться так, ! ! как на рнс. 28, а)? так„как на рис. 28, б)? Уг Уг < В случае а), очевидно, выполня- Уг ются равенства 1 ! Уг(хо) = Уг(хо)! Уг(хо) = Уг(хо) ! ! Так как задача Коши О ха я О ( у" = -!?(х)у У(хо) = Уо, У'(хо) = Уа Рво. 2а в силу непрерывности функции !? имеет единственное решение, то у,(х) ш уг(х), что противоречит рис. 28, а).

Следоватедьно, такое расположение графиков решений у,(х) и уг(х) невозможно. 162 Гл. 2. Дифферевцвальвые урамаеввя выевтвк пазрядков В случае б), исходя нз рисунка, можем написать: уз(х) = -Я(х)уз(х) < О, уа(х) = -у(х)уз(х) > О зух Е (ха, х,), откуда следует, что 1((х) < О и д(х) > О згх е (ха, х,) одновременно. значит, и в этом случае такое расположение графиков решений у,(х) и уз(х) невозможно. М 369. Доказать, что в случае е(х) > О для любого решения уравнения уа+ у(х)у = О отношез ние а- убывает при возрастании х на интервале, где у(а) за О. у М Вводя в рассмотрение новую функцию и по формуле и(х) = У-, получаем дифференцну' аланов уравнение ц (х) = -е(х) — вз(х), из которого, вследствие условия у(х) > О, следует, по ц'(х) < О, т.е.

функция ц = ~ убывает у на интервале, где у;а О. м 370. Доказать, что в случае д(х) < О все решения уравнения у" ь у(х)у = О с положительными начальными условиями у(ха) > О, у'(ха) > О остмозся положительными при всех х > ха. М Дважды интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем: у(х) = у(ха) + у'(х,)(х — ха) + / (х — а)( — е(а))у(в) т(а. «а В силу положительности у(ха) и непрерывности функции у, при досшточно малом х > ха правая часть уравнения (1) полохапельная. Покюкем, что она останется положнтельттой при увеличении х > ха. Предположим, что прн некотором хз > ха функция у все же обратится в нуль (первый нуль справа от точки ха).

Тогда из (1) получим равенство у(хз) = О = у(ха) + у (ха)(хз ха) + /(хз — а)(-д(а))у(а) т(а. аа (2) Поскольку у(а) > О при ха < в < х„то (х, — а)( — е(в))у(а) > О зта Е (ха, х,). Следователь- но, выражение в правой части равенства (2) строго положительно. Полученное противоречие и доказывает, что ах > ха у(х) > О, м г(г — 1) + г = О, откуда находим г, = О, гз —— О. Следовательно, частными решениями будут уз = х = 1, у, а = )и |а(, а общим решением— у = Сз+Сз)пф. м 372. (х+ 1)'у"' — З(х+ 1)зуа+ 4(х+ 1)у' -4У = О.

м Это уравнение Эйлера. Епз частные решения ишем в виде у = (х+ 1) (х > -1). Подставляя (1) в уравнение, получаем г,=гз=1, гз=4- Поэтому частными решениями будут уз = х+ 1, у, = (х + 1) 1п(х + 1), уз = (х + 1)а, а общим решением— У = Сз(х + 1) + Сз(х + 1) йз(х + 1) + Сз(х .1- 1) ° М Решить следуюШие уравнения.

371. хуа + у' = О м Так как это уравнение Эйлера, то частное решение ишем в виде у = х', где г = сонат. Тогда для г получаем уравнение $4. Лввейиме лифбмреициальвме ураавеввя с неремеиимми козффяциевтамв 163 М Положим С = шсгу х. Тогда фу 2(у 2 Йу 4 4У 2 2 Н 24У 2 2 2 2 4У . 4У вЂ” = — соз С, — = — ~ — соз С~ =с2и С вЂ” ~ — соз С~ =соя С соз С вЂ” — ип2С— 4х ~ 41 ! 41 ~ 41 у' ') 412 н уравнение примет вид С2 —.! у=О. 412 решая его, получаем СС Сзх у = С2 созС+Сз2!пС = + й!+хг 22!+хт 374. х'у" + 2Х'у'+ у = О. М Положим С = р(х) и подберем функцию р так, чтобы после замены отсутспювал член с первой производной.

Тогда получим 4У 4У,С С 4У~ 4У 2 42У вЂ” = — х'(х), — = — ! и (х) — 1 = х"(х) — + 12' (х) —, 4х 41 ' 4Х2 2(х ~ 41) 41 412' (1) В СИЛУ ПсетаВЛЕННОГО уСЛОаня, ИМЕЕМ Хре+ 2р' = О, ОтКуда С = р(Х) = -~ + Сз. УраВНЕКИЕ (1) инимает вид С,'у" + у = 0 и легко решается. Окончательно можем написать, что 1, 1 у = Асоз — +Вз!и —. В» х х Представить в канонической форме следующие уравнения второго порядка. 375. (х'+ !)у" + 5ху'+4У = О.

и Согласно п.4.7, производим замену 1 Г 5Мх~ з(х) У=акр~ -/ 2 )' (*)=Т. 2 Х +1 (Х2+!) ° В результате получим уравнение 4 — + 7(х)з х О, Ыхз где у(х) = — 2 — -г. м *'+ 4 4(х +1) 376. (1 - х')у"-2ХУ'+ в(я+ 1)у = О. м пшгберем функцшо в так, чтобы после замены у = в(х)з(х) дифференциальное уравнение относительно функции з не содержало производную з'. Имеем в(1 — х')з' +(2й(1 — х ) — 2хв)з + ((1 — х')в" -2хв'+ в(п+ 1)в)л = О. (1) В соответствии с поставленной целью, полюзюм (1 — х')в' — хв = О, откуда в = ф1-а~! Подставив полученное значение в(х) в дифференциальное уравнение (1), после упрощений будем иметь окончательно з + з = О.

М (1 — х2)2 Гл. 2. Дяф!(мреициальяые уравнения высшик иоряюгов Следующие уравнения привести к самосопряженной форме. 377. ху" — (гх+ 1)у'+ гу = О. м Сравнивая коэффициенты данного уравнения с коэффициентами самосопряженного уравнения <Р~ — (р(х) — )+с(х)у =р(х) — +р'(х) — + с(х)у = О, !(х !(х !(хз !(х получаем соотношения р'(х) 2х + 1 с(х) 2 — — — (х Ф 0). р(х) х ' р(т) х е -2» 2е и Из первого соотношения находим р(х) =, а из второго — д(х) = — в-г-. е х Таким образом, при х ~ 0 данное уравнение приводится к самосопряженной форме 378. х(х' + 6)у" — 4(х' + 3)у'+ бху = О. М По аналогии с проделанным в предыдущем примере, имеем р'(х) 4(х + 3) о(х) 6 р(х) х(хз + 6)' р(х) хз + б' откуда 1 6 р(х) = хз(аз+6) хг(.в+6)з' о(х) = Следовательно, при х Ф 0 данное уравнение представимо в самосопряженной форме г( ~ ! !(у1 бу — + =О.м !(х (хз(хз+6) !(х/ хз(хз+ б)з 379.

Привести к линейному уравнение ху' — бу — у' — х' = О. ° а Согласно замене (13), п.4.8, можем написать хи' у = — — (и ~ 0). и Тогда !з -(и' + хив)и -1- хи' у = из и данное уравнение преобразуется к виду хив — 4й+хи = О. и 380. Пусть у и в — решения уравнений у" + о(х)у = 0 и зв + ()(х)з = О с совпадающими начальными условиями у(хв) = в(хв), у'(хв) = в'(хв), и на интервале (хм х,) выполняются неравенства ()(х) > о(х), у(х) > О, в(х) > О. доказать, что на этом интервале отношение в у убывает. ~ Умножая первое уравнение на в, а второе — на у и затем почленно вычитая их, получаем ( У У )= (Я 0)У Интегрируя полученное соотношение в пределах от хз до х Е (хв, х,) и принимая во внимание начальные условия, будем иметь Ф ! г! з у — у в = — 1 ((3(з) — д(з)) у(в)в(в) г(в, или ( — ) = — — 1 (Ц(з) — д(з)) у(з)з(з) г(в.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее