Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Следовательно, у +х Сз'м 44б. х(у + з) з(х - у) у(у - з)' и Из последнего уравнения системы находим уху+ зал = — г((у + х ) = О, 2 Интегрируя это уравнение, имеем йг14 = -уз|совр — илр~+йгСз, Ст С1Ст х= . = — ' х(х у)=Сз ° созуг — яп(О х — у' откупа следует у + зт = С|з — первый интеграл. Полагая в нем у = С~ згп)з, з = С~совр, из первого уравнения данной системы получаем ох зшгг+соаи йр. х соыр — ип)з 204 Гл. 3. Системы ли(а)муеицвалыиах уравнений г(х г(у г(г 447. * х(з — у) у(у — х) уг — хх < Имеем по свойству пропорции: г(х + г(х йу г((х — у+в) = О, х(х — у) + уг — хх у(у — х) ' откуда находим первый интеграл х — у+ * = Сг. Подставив значение х = Сг — х + у в первое уравнение, получим г(х Ну г У У или у + — = х(С, — х) у(у — х) Сг — х х(С, — х) Это уравнение Бернувли. Его общее решение имеет вид х — С| )п1х1+ С Исключив из него с помощью уже полученного интеграла постоянную С„приходим к еше одному первому интегралу йг~х( Сг у 448.
йх йй х(у' — г') у(х' + г') г(х' + у') И В силу свойства пропорции имеем: хг(х+ уау ог г(уг гг) „г( г + гг) г( г + уг)' откуда й(х' + у' + г') = О. Интегрируя это уравнение, находим первый интеграл: а+у+а =Сг. г Используя его, последнее уравнение данной системы представляем в виде: йу гЬ + г у(С~ — у') з(С~ — хг) откуда интегрированием получаем еще один первый интеграл: М у х 1и = Сг~ вли г Сг ,гд-у7с, ~ ' ь' пх ' ° гг (здесь постоянная С, была исключена с помощью ранее найденного первого интеграла).
Полученный интеграл можно упростить следующим образом: у х г г г г С,С, = Сг ==а у г = — х ==а Ух = Сгх, я~+ х (Сг — х )+г У 1-С, где Сг — новая произвольная постоянная. м Зиаечмае. ПоследниИ антеграл можно получить сразу, если "увидеть", что хуг(а+хгг(у — угйв ггг хуг(хг + уг) — хуг(хг + гг) — хрг(у — гг) г(хг + рг) Отеюла следует, что гг 1г~-) = О, ялн Ух — = сг. йх г, г(у х 449. — =у +яп(, М ' х( 2у ггв < Значение х = 2у2т~, найяенное из второго уравнения системы, подставим в ее первое уравнение. Тогда получим ( Ф) г( г г — 12у — ~1 = — г(уг) = у'+шгй 205 б 2. Не4п5иейиые системм Отсюда находим 2 4 у = С,е +С,е — — ипб 2 А тогда Обшее решение у = С2х — ах1пф, А тогда из первого уравнения системы получаем 4(Х 1 4Ы = х(С2 — а — а )и 1х1) бх Ф х(С4 — а — а!л 1х~) откуда 1 2 ( = ( х(С2 — а — а(в /х/) ах + Сз = — (С~ — а)х — — (22 1л ~х! — х ) +Сз = — (2С2 — а — 2а1п /х!) + Сг, и 2 4~ 4 ~ 451.
— = 2хз + хз — уз Л( 2хзу ° Аналогично предыдузцЕМУ примеру имеем: 4((У ) — = 2х+1— Йх у 2' откуда 1 1 Г 2 у' = С,е* + е* / (2х+ 1)е Подстановка у' в первое уравнение системы дает: 2 4(х = С2 ел + х . 2З Ж = (2х~ -С2е*) бх, откуда интегрированием находим 1+ С2 = — — С2 / е* 4(х. И 2 452.
~ < Полагая и = -22., х = 24(-, приходим к системе 4(х 4(а * = (и + 1(и, и), у = (е + (((и, е). Дифференцируя по 1 слева и справа последние равенства и учитывая, что и = х, с = у, полу ием и(1 + У„') + е~,' = О, йу„+ 6((+ д.) = О. Отсюла слелует две возможности: либо й = е = О, либо определитель х = — (у ) = С,е — С,е - — сох б ь 4(( 2 а 2 М Из второго уравнении следует, что — з( — = —.
Дедя почленно зто уравнение на первое уравнение системы, получаем линейное уравнение относительно функции ( 4 у: 2. 4((У~) У вЂ” = — — а. бх Гл. 3. Системы днффеуехихальнык уравнений В первом случае имеем х = С„е = Сг. Следовательно, х=Сг(+2(Сг, Сг), У=С21+ч(СП Сг) — общее решение рассматриваемой системы.
Во втором случае возможны другие решения. Попытаться найти их предоставляем читателю. М 45З. ° У = а(у — 1) < Применяя метод исключения, имеем г(л у+ 22 — 1 2 ш — л+ 1. Ф у — 1 у — 1 Огсюда л = С,(у — 1) — у+ 1. Подставив значение л в первое уравнение системы и разделив 2 переменные, имеем: Интегрируя, получаем 1п (х! = 1п )Сг(у 1) !) 1и )у 1! + !пСгг х=С2(Сг — — ) =ау= Подставив (1) в выражение для л, находим Сг — Сг 2 Х Ь (х+ Сг) 454.
2 у'=у' — л'+1, л'= у. ° а Значение у = л' — л из второго уравнения подставим в первое: а 2 2лл — л' — 1 = О. Уравнение явно не содержит аргумента, поэтому парялок его можно понизить, положив л' = р. Тогда л" = р Я и уравнение примет внд: г(Р г ,2лр — — р — 1 = О. г(л Разделив переменные и проинтегрировав, получим; (л Г р=~~( — — 1, — =*,( — -!. )(Сг ' Ох Интегрируя последнее уравнение, после простых преобразований имеем 1 2 л = Сг + — (в+Сг) 4Сг А тогда 1 1 2 у =я' — л = — (я+Сг) — — (х+С,) — Сп ~ 2С, 4Сг Для данных систем дифференциальных уравнений и данных функций уг проверить, являются ли соотношения р = С первыми интегралами этих систем: 2 455.
х = ау, у =х +у'! (22 = х(пу-х'у; угг = У вЂ” 2(пх. 2 хг и Так как Угг = С„то лг(ргг) ш О. Следовательно, уу(х 1п У вЂ” х У) ш О, нли а в' 2 х!пу+ — — 2хху — х у ш О. ху у Подсшвив сюда значения х, у, определяемые уравнениями системм, имеем ху!пу+ — (х +у ) — Зх у — а шО. /22\224 У в 2. Нелвиейвые свстемы 207 П) Подставляя (1) в (в), имеем (у (- -) + х (-) — и (- -) — х) аи ш О. Последнее тождество, очевидно, справедливо, поэтому соотношение у = С действительно является первым интегралом рассматриваемой системы. М 457. Проверить, юииются ли независимыми первые интегралы х+«У = Сг, — +у — — Сг ех ее е« М Сначала проверим, что указанные соотношения действительно являются интегралами.
Имеем х + у) (» — у) г(х + (х + «) Ну — (х + у) ~Ь г( ( х+ « (х+ х)г Подставив сюда значения г(х = — * г(«, г(у = ах <Ь, получаем й ) ( )- х+уг (х — у)й+(х+х)йх — (а+у) йх шО. х+ х) (х+ х)' Аналопвчно устанавливаем, что — -~~ = С, есть интеграл. Теперь проверяем ил независимосп. Определив, например, у = С,(х + х) — * из первого соотношения, подставляем во второе: (х+х)(1 — Сг — С,Сг) = О, 1-Сг — СгСг=б (х+хгВО). Видим„чго между функциями у, = — Д и уг —— х ч у усуществует зависимость 1 — уг — у,уг ш О, указывающая на то, что данные первые интегралы являются зависимыми. М 458.
хйу — у Ь = х Ь, г(хг+ аут = Ь'. н Положим г(х = г(»сову, еу = гЬнпу. Тогда второе уравнение превратится в тождество, в из первого слелует, что х = * вш у — у сов у. Отсюда лифференцированием по у лепго получить йх / г(х г'г(х, г(у — =хсову+увгпу 11 — ( — а(пу — — сову) юО)- ~йу ~й Ь (2) Как видим, полученное тождество невозможно, поэтому равенспю у, = С, не является интегралом данного уравнения. Проверяем второй интеграл. Имеем иу(уг)— ш О, или л ,1 ( уг '1 2у))хг 2хйуг 2х — 1 — — 2(их) = — — ш О.
гй 1,хг ) хв х Отсюда а силу уравнений системы получаем: ху(х +у)-ху — х у=О, хуО. г г 3 3 Последнее означает, что выражение уг = С, является первым интегралом данной системы. и г(х Ну й«г(и 456. — = — — = — = — —; у = ух — их. у х и х < Поскольку у = С, то должно быть й(у« — их) = О, или угу+ хг(у — иг(х — хди ыО. (в) Из уравнений системы находим у х и дх = -- гЬ; г(у = — гЬ; Нх = -- йи. х х х Так как Функции Х, У, Я линейны, то функции ((, 2), ~) ь тХ ~ (62) 0 У(К ((, у, () -.Х(К ('= -Х, г)'= У, ('= г, является линейной и однородной, м т =-тТ (2) С помощью приема Гессе решить следующие системы: 2(у ~~2 2 461.
— =у+ах, — =а+ух, — =*+2. 2(1 ' а( ' Ж < Так как в данном примере Х = у, У = а, Х = е, Т = х, то х(1 -", ~) ="-, у~~-,"-, ~) = ~, г(1, "-,-) = — ', т(1 -"-,-) =-. Следовательно, система (2) из предыдущего примера представится в виде: 2(с 42) 2К г(т =2) =6 =ь а( ' «1 ' 2(1 ' 2(1 Из первых двух уравнений этой системы находим ( = С2е'+ Сге ', 21 = С|е' — Сзе '.
С учетом последнего соотношения из третьего уравнения получаем ( = С,е' — Сзе '+ Сз. Интегрируя послелнее уравнение, имеем: т = -С,е — Сзе ~ — Сз(+ Со Наконец, возвращаясь к переменным я, у, х, е + «~е е — «,е е — «,е + «2 2 -2 2 -а а -с — 2 У= -е' — «Ф-' — «21 + «з' — е' — «~е-' — «21 + «з' е' — «1е-' — «21 + «2' с с, с «! з «2 з «3 с,' с,' с,' 2Ь ду да 462. — =*+*(*+У), — =а+у(*+у), — =у+а(*+у) 2й 2(1 2Ы м Аналогично предыдущему примеру имеем: Х = х, У = х, Х = у, Т = я+у. Следовательно, Х(1 2) () ( У(1 22 С) ( й(1 У () 2) Т(1 22 () (+2) Согласно примеру эбб, пишем: ('=б, у'=(, ('=у, '=-б-у Из первого уравнения получаем: б = С2е~; из системы второго и третьего уравнений следует, что 2) = Сте +Сзе , ( = Сзе — Сзе также линейны, поэтому если в (1) положить — =-ТЯ, х Я, то правая часп системы (1) станет линейной относительно переменных (, 2), (, т.
Таким образом, система уравнений 2РЗ Гл. 3. Сисгвмы диф4юуеициальвык уравнений Из четвертого уравнения находим т = -(С, + С2)е + Сзе + С4. Таким образом, общее решение данной системы имеет вид: С,е' х= -(С2+ С2)е'+ Сге-'+ С,' Сге'+Сзе ' -(С2 + С2)е'+ Сзе ' + С4 ' Сте' — Сзе ' -(С2+ С2)е'+ Сзе-'+С4 463. Пусть в пространстве Охул задано поле скоростей т течения жидкости ч = ((у — х у)у, (х +ху + 1)у, (х + у'а+ 1)2). Найти линии тока этой жидкости. и согласно определению линии тока, т а 2(г, 4(г = (4(х, 4(у, 2(з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
