Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 37
Текст из файла (страница 37)
147). Одна из волн изображена сплошной линией, вторая — пунктирной. Интенсивность максимальна в точке А, где фазы обеих волн в данный момент совпадают. В точках В и С обе волны находятся в противофазе, вследствие чего интенсивность результирующей волны минимальна. Точку, в которой амплитуда (а следовательно н интенсивность) группы волн имеет максимум, называют центром группы волн. Если все составляющие группы волн распространяются с одинаковой фазовой скоростью о, то относительное расположение волн остается все время неизменным. Следовательно, центр В А С л / 1 / ! Ф Ф Ъ Рнк !4Л группы также будет перемещаться в пространстве со скоростью о. Иначе обстоит дело, если наблюдается дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости волн от ча'- стоты.
В этом случае центр группы волн перемещается со скоростью нм (44.4) называемой гр уппо вой с корость ю. Заменив согласно (44.2) ы через ой, выражение для групповой скорости можно представить в виде д(оц ло И= — г В+й —. аь жг' Заменим в этом выражении Фо/Ы через (г(о/пЛ) Х Х(Ж/гй). По определению й = 2п/Л или Л = 2п/й. Следовательно Ю/Н = — 2п/йз — Л/й, так что пи/Ы = = — (по/г/Л) (Л/й).
Подставив это значение в формулу для и, получим: а=о — Л вЂ” Л ° аЛ ' (44.5) Очевидно„что выражения (44.4) и (44.5) эквивалентны. Докажем правильность формулы (44.4) на примере двух слагаемых волн, описываемых уравнениями ~, - а соз (м/ — Ах), ~, = а соз [(со+ Ьв) / — (й+ М) х1 231 Для упрощения выкладок мы положили амплитуды обеих волн одинаковыми. Будем предполагать выполня1ощимися условия: Ьтв « ьп Ай « й.
Сложив уравнения и произведя преобразования по формуле для суммы косинусов, получим уравнение результирующей 'волны: +Цт=~йпсоз( 2 Š— 2 х)1соз(гаŠ— Йх) (44.6) (во втором множителе мы пренебрегли Лго по сравнению с 2го и Егк по сравнению с 2)г). Множитель, стоящий в квадратных скобках, изменяется с Е и х гораздо медленнее, чем второй множитель. Поэтому выражение (44.6) можно рассматривать как уравнение плоской волны, амплитуда которой изменяется по закону ') /Лм Лк Амплитуда = ~2а соз ~ — Š— — х)1. ( 2 2 Максимуму амплитуды соответствует фаза, равная нулю (или +тп, где т — целое число).
Следовательно, координата х центра )руппы волн в момент времени Е определяется из условия: ам лй — Š— — х =О. 2 2 Отсюда для групповой скорости и = г(хм/г(Е получается значение: и = Ага/ЬЕг. Перейдя к дифференциалам, получим формулу (44.4). Из формулы (44.5) видно, что я зависимости от знака с(иИХ групповая скорость и.может быть как меньше, так и болыпе фазовой скорости и. В отсутствие дисперсии Ип/гй = О и групповая скорость совпадает с фазовой.
Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому в тех случаях, когда понятие групповой скорости имеет смысл, скорость переноса энергии волной равна групповой скорости. Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Такой случай имеет место в области аномальной дисперсии. В этой ')' Ср. с т. й формулами (702) и (702). Зависимость функции (44.6) от к ири фиксированном Е иаобрангаатск кривой, аналогичной кривой на рис. !7З,а в т. й 232 области поглощение очень велико и понятие групповой скорости оказывается неприменимым.
Из сказанного в этом параграфе ясно, что во всех описанных в $4 опытах определялась не фазовая, а групповая скорость световых волн (напомним, что в вакууме эти скорости совпадают). й 45. Элементарная теория дисперсии Дисперсия света может быть обьяснена на основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Для этого нужно рассмотреть процесс взаимодействия света с веществом. Движение электронов в атоме подчиняется законом квантовой механики (см. 3 66). В частности, понятие траектории электрона в атоме теряет всякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов и молекул электронов, связайных квазиупруго.
Будучи выведены нз положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергйю колебания на излучение электромагнитныд воли. В результате колебания будут затухающими. Затухание можно учесть, введя «силу трения», пропорциональную скорости. Прн прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон оказывается под действием электрической силы, изменяющейся по закону: ~ = еЕ0 сов(мг+ а), (аЕ9/ш) ц и з)з+, ргали 2рв 18 ч = мо м (45.2) (см. т. 1, формулы (75.7) и (75.8); вм — собственная частота электрона, (3 — коэффициент затухания).
233 где а в величина, определяемая координатами данного электрона, Ез — амплитуда напряженности электрического поля волны. Под воздействием этой силы электрон начинает совершать вынужденные колебания, амплитуда (г ) и фаза (4) которых определяются формулами: Колеблющийся электрон возбуждает вторичную вол- ну, распространяющуюся со скоростью с. Вторичные волны, складываясь с первичной, образуют результи- рующую волну. Фазы вторичных волн отличаются от фазы первичной волны (см.
(45.2)]. Это приводит к тому, что результирующая волна распространяется в веще- стве с фазовой скоростью п, отличной от скорости волн в пустоте (фазовая скорость первичной и вторичной волн в веществе ранна с). Различие между о и с будет тем больше, чем сильнее вынужденные колебания электро- нов (т. е. чем ближе частота волны к резонансной ча- стоте электронов). Отсюда вытекает существование за- висимости и от го, т. е. дисперсии.
Чтобы упростить вычисления, затуханием за счет из; лучения вначале будем пренебрегать. Впоследствии мы учтем затухание, внеся в полученные формулы соответ- ствующие поправки. Положив в формулах (45.2) р = О, получим: (еле/~н) р=О. мое Таким образом, при отсутствии затухания электрон будет совершать под действием силы (45.1) колебание, описываемое формулой: г(/) = е г сон(ог/+ а), мв Учтя, что мгновенное значение напряженности электрического поля в данной точке вещества равно Е(/) = = Ее сов(со(+ а), мгновенное значение смещения электрона из положения равновесия можно представить в виде: (е/гн) Е(Л ~ц — м В результате смещения электронов') из положений равновесия молекула приобретет электрический дипольный момент (см. т.
П, формулу (!З.ЗЦ: гл-Х...не-(л, ./1еп е~/т~ мог ') Масса ядер во много раэ больше массы электронов, поэтому смещеннямя положятельяых зарядов можно пренебречь. 234 а/е/ (суммированне производится по всем электронам, входящим в состав молекулы; направления смещений г/(/) совпадают с направлением Е(/), поэтому геометрнчеческое сложение можно заменить алгебраическим).
Умножив р(1) на число молекул в единице объема й/, получим мгновенное значение вектора поляризации вещества: е/с=е~/р-е1у —,' /ер/, ер.р е;/' е/ Диэлектрическая проницаемость вещества по опредеделению (см. т. П, формулы (16.8) и (15.2)) равна: Р з = 1+//= 1 + —. еаГ Подставив сюда значение Р/Е нз (45.3) и заменив согласно (16.6) р через //е, получим формулу: и =1+ — ',~~ (45.4) рр /рр/ При значениях частоты волны ы, заметно отличающихся от всех собственных частот р/рь сумма в (45.4) будет мала по сравненн/о с единицей, так что пе = 1. Вблизи каждой из собственных частот функ- //" 1 ция (45.4) терпит' раз! 1 / 1 рыв: прн р/ — ы„она 1 1 обращается' в + оо, если р/ < р/р/, и в — ор, если т р/ > р/р/. Такое поведение функции обуслов/ 1 / 1 / / лено тем, что мы пренебрегли затуханием /р (если положить 6 = О, то выражение (45.2) Рис. //з. для амплитуды вынужденных колебаний обращается в со прн р/ = р/р, когда р отлично от нуля, амплитуда при всех значениях р/ остается конечной).
Учет затухания приводит к зависимости а' от р/, показанной на рнс 148 (пунктиром показы ход функции (45.4Ц. Перейдя от п/ к и и от /р к )ьь получим кривую, изображенную на рис. 149 (дан лишь участок кривой 23е в области одвой из резонансных длин волн). Пунктирная кривая изображает ход коэффициента поглощения света веществом (см. следующий параграф). Участок 3 — 4 аналогичен кривой, приведенной на ряс.
)45, в. Участки 1 — 2 и . 3 — 4 соответствуют нормальной дисперсии (й~/Фз < 0). На участке 2 — 3 дисперсия авомальна (ЙФйэ > 0). В области 1 — 2 показатель преломления меньше единицы, следовательно, фазовая скорость волны превышает с. Это обстоятельство не противоречит теории относительности, оспою вывающейся на утверждении, у что скпрость передачи сигнала не может превысить с. В преу — Л дыдущем параграфе мы выясу ! ! нилн, что передать сигнал с ! помощью идеально моиохрома/ Ы тической волны невозможно. Г Передача же энергии (т. е. сиг- 4, пала) с помощью не вполне мопохроматической волны Ряс. !49.
(группы волн) осуществляется со скоростью, равной групповой скорости (44.5). В области нормальной дисперсии дп/Ю> 0 (дп и Ии имеют разные знаки, а пп/~%< 0), так что, хотя и с, групповая скорость оказывается меньше с. В обласги аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл (поглощение очевь велико). Поэтому вычисленное по формуле (44.5) значеиие и ие будет характеризовать скорости передачи энергии. Соответствующий расчет дает и в этой области для скорости передачи энергии значение, меньшее с. В заключение отметим, что при известных допущениях, хорошо оправдывающихся иа опыте для многих веществ, из формулы (45.4) может быть получена приближенная формула (43.2). $ 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
