Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 35
Текст из файла (страница 35)
пространявтся в сторону убывания л 1см. т. 1, формулу (78.з)1 215 соотношение '): с Переходя от круговой частоты со к обычной т и обозначая частоту т' в системе источника через то, получим: о 1 —— с то о 1+— (41.4) Скорость о источника по отношению к приемнику есть величина алгебраическая. При удалении источника о>() и согласно (4).4) о<то, при приближении источника к приемнику о < 0 и т >то. В случае, если о~ с, формулу (4)т4) можно приближенно записать следукицим образом: 1 о ! — —— 1оо)2с)12с)' 2 с откуда, ограничиваясь членами порядка о(с, получаем те во() — — ) ° (41.5) Из (41.5) можно найти относительное изменение частоты: от о (41.6) и с' где под Рв подразумевается т — то. Из теории относительности следует, что, кроме рассмотренного нами продольного эффекта, для ') Сопоставление уравнений (41.2) и (41.3) дает, что а =.сс'.
Следовательно, положив в (41.1) мс О, нужно в (41.2) считать а = О..Это объисниетси очень просто: преобразовании (3731) предусматривают такой вибор начала отсчета в системах К и К', что при л' = О и И О значении л и 1 также обращаютси в нуль. 216 Уравнение (4!.3) описывает в системе К ту же волну, что и уравнение (41.2). Поэтому должно выполняться световых волн должен существовать также поперечн ый эффект Допплера. Он заключается в уменьшении воспринимаемой приемником частоты, наблюдающемся в том случае, когда вектор относительной скорости направлен перпендикулярно к, пряыой, проходящей через приемник и источник')(норда, например, источник движется по окружности, в центре которой находится приемник).
В этом случае частота тв в системе источника связана с частотой т в системе приемника соотношением: гг г 1 отт гт =но рт 1 ег = ага~1 2 — г). (41.7) Относительное изменение частоты при поперечном эффекте Допплера (41.8) пропорционально квадрату отношения о/с и, следовательно, значительно меньше, чем при продольном эффекте (для которого относительное изменение частоты пропорционально первой степени о/с); Существование поперечного эффекта Допплера было доказано экспериментально Айвсом в 1938 г.
В опытах Айвса определялось изменение частоты излучения атомов водорода в каналовых лучах (см, т. П, 5 89). Скорость атомов составляла примерно 2.10а мосек. Эти опыты представляют собой непосредственное экспериментальное подтверждение справедливости преобразований Лоренца. В общем случае вектор относительной скорости можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена параллельно, а Другая — перпендикулярно к лучу. Первая составляющая обусловит продольный, вторая — поперечный эффект Допплера. Продольный эффект Допплера исйользуется для определения «радиальной» скорости звезд.
Измеряя относительное смещение линий в спектрах звезд, можно по формуле (41.6) определить о. Тепловое движение молекул светящегося газа приводит вследствие эффекта Допплера к уширениго спектральных линий. Из-за хаотичности теплового движения '1 Напомннм, что ллн авуковмх волн поперечгиата эффекта Допплера не существует.
фу все направления скоростей молекулы относительно спектрографа равноверонтны. Поэтому в регистрируемом прибором излучении присутствуют все частоты, заключенные в интервале от ъо(1 — о/с) до но(1 + о/с), где тв — частота, излучаемая молекулами, о — скорость теплового движения (см. формулу (41.6)). Таким образом, егнстрируемая ширина спектральной линии составит ноо/с. Величину о бно = 2то— с (4!.9) называют допплеровской шир иной сп ектральной линии').
По величине допплеровского уширения спектральных линий можно судить о скорости теплового движения молекул, а следовательно и о температуре светяшегося газа. $42. Релятивистская динамика ') Строгое рассмотрение требует учета распределения молекул но скоростям. Под н в !41.9) подразумевается наиболее вероятная скорость молекул. 218 Принцип относительности Эйнштейна утверждает, что все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Уравнения !1ьютона, как мы знаем, инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея (см. т.
1, 9 17). Однако легко убедиться в том, что по отношению к преобразованиям Лоренца эти уравнения не инвариантны. С этой целью рассмотрим, как выглядит в инерциальных системах К и К' абсолютно неупругое центральное столкновение двух одинаковых шаров ,",(рис. 145,а). Пусть система' К' движется относительно системы К со скоростью н, В системе К шары движутся навстречу друг другу вдоль оси х с одинаковыми по величине скоростями, проекции которых на ось х равны: иы = о и и,е = — о. Прн этих условиях после столкновения шары в системе К будут покоиться: иы = и„я = О. Полный импульс системы и до и после столкновения равен нулю — в системе К импульс сохраняется. Теперь рассмотрим тот же процесс в системе К'. Воспользовавшись первой из формул (40.3), найдем для скоростей шаров до столкновения значения и„', =О и й — 2о/(1+ от/ст), а для скоростей шаров после столкновения значение й., = и„' = — о.
Полагая, как это делается в ньютоновской механике, массу шаров инвариантиой, получим для суммарного импульса до столкновения значение — 2то/(1 + от/сз) и после столкновения †значен — 2гло. 'Таким образом, исходя' нз представлений ньютоновской механики, мы пришли к выводу, будто в системе К' импульс не сохраняется. Один ~7 У У л' 1Г' т Я л' а/ Ог Рис. 145. из основных законов механики — закон сохранения импульса — в ньютоновской формулировке оказывается не инвариантным.
Инвариантная относительно преобразований Лоренца форма уравнений механики была найдена Эйнштейном. Рассуждения Эйнштейна слишком сложны для того, чтобы их излагать на страницах учебника обшей физики. Поэтому мы выберем другой путь. Прежде всего заметим, что сохранение суммарного импульса шаров в системе К' можно получить, если допустить, что масса шара зависит от величины его скорости.
Для выяснения вида этой зависимости рассмотренное нами неупругое 219 столкновение не годится, поскольку при таком соударении не сохраняется кинетическая энергия системы, что, как мы увидим ниже, приводит к дополнительному своеобразному эффекту, Поэтому мы рассмотрим другой мысленный' эксперимент, 'предложенный Толменом. Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух одинаковых шаров, которое в системе К выглядит так, как показано на рис.
145,6!). Проекции на оси системы К скоростей шаров, до и после соударения имеют значения, приведенные в табл. й. Легко видеть, что в систе- таблица 2 После сшлнновення До столкновения 2-В шер 2-а шер 2-а шер та швр н„ рот+от ~ р де+в' ~ '!а+а ,2+ат — 2д — 2д де 1+ —, сл д' 1+— се — 2д !+ал 1+ а' — l д' -ьу !— с2 дя — Ь$/ 1-— с д2 1+— с2 д2 1 —— ст де 1 —— се :7 1+ а' 7 1- ал 1 — а' )/ чд2.1 22 ! +а2 адт .1.,2 1+ а' У 1 — а' ') Отметим; что хотя скорости шаров до и'восле столкновения иоллштеарны, рассматриваемый удар является иецентральным. 220 ме К имеет место сохранение как импульса, так и энергии (указанные в третьей строке таблицы величины скоростей шаров и до и после соударения одинаковы).
Теперь рассмотрим тот же процесс в системе К'„движущейся относительно К со скоростью о, равной а. Расчет по формулам (40.3) дает для проекций скоростей значения, приведенные во второй части табл. 2. Для упрощения записей применены обозначения: с'-' а у=й 1гг 1 — —, а = —. сс 1 с (42.!) В последней строке таблицы даны величины скоростей шаров до и после удара. Из табл.
2 следует, что составляющая суммарного импульса по оси х' будет одинакова до и после удара при любой зависимости т от и' (величина скорости и' для каждого из шаров до и после удара одна и та же, проекция скорости на ось х' также одна и та же). Иначе обстоит дело 'с срставляющей импульса по оси у'. В предположении инвариантности массы для проекции суммарного импульса на ось у' получаются значения до удара и после удара. Поскольку зти значения неодинаковы, мы приходим к несохранению импульса.
Допустим, что т = т(п'), и потребуем сохранения проекции суммарного импульса на ось у'. В результате получим следующее функциональное уравнение: т —.( +т ! (- )— у '! т ( $~4а~ + т~~ — т 1-а'/ 1 — а2 ( 1+а' / 1+ас =т ! — +т = ~-)- т '! — т (~/4а~ +т21 т 1 — а'/ ! — а' ~ 1+а' ) !+а' Сократив па отличный от нуля общий множитель у и приведя подобные члены, придем к соотношению: Это соотношение должно выполняться при любых значениях а и Ь. В частности, оно должно выполняться и при Ь, равном нулю. В этом случае соотношение (42.2) принимает внд (у обращается в нуль вместе с Ь; см.
формулы (42.1)): Подставив значение (42.() для а, перепишем (42.3) следующим образом: ас с П1 (()) с (42;4) Это соотношение связывает массу шара, движущегося со скоростью (42.5) 1+— сс с массой покоящегося шара спа = л1(0). Перепишем равенство (42:5) следующим образом: а 2— и' с с а' 1+— с1 Отсюда 2— 1+ — 1+ 1+— с' а 2— и' ( с д2 ас 1+ — 1+— с' с' Перемноясив эти равенства, получим, что 2 (1 с) 1 —— откуда а~ !+в с' 1 а ~ ии У '- — ",. Подставив это значение в формулу (42.4) и заменив обозначение величины скорости и' на в, придем к окончательной формуле: ги = (42.6) ~/ с' Здесь гл0 — инвариантная, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
