Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. одинаковая во всех инерциальных системах отсчета, величина, называемая массой покоя данного тела; гл = т(и) — масса того же тела, которой оно обладает, двигаясь со скоростью ш Величина т называется релятивистской массойй или просто массой тела. Формула (42.6) нам уже хорошо знакома. Напомним, что Томсон в опытах по определению удельного заряда электрона наблюдал изменение получаемых им значений е/т, происходившее в точном соответствии с формулов (42.6) [см. т. И, $66].
Умножив (42.6) на скорость ч, получим релятивистское выражение для импульса материальной точки: тОт (42.7) При о «с выражение (42.7) переходит в классическое выражение для импульса р = глзт, где ги — постоянная величина. Аналогично, все другие формулы релятивистской динамики переходят Ори скоростях, много меньших скорости света в пустоте, в формулы классической механики.
Одна из формулировок второго закона Ньютона гласит, что производная импульса материальной точки по времени равна действуюшей на тело силе (см. т. 1, формулу (22.3)). В такой формулировке уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца, если под импульсом подразумевать 223 величину (42.7Г. Следовательно, релятивистское выра- жение второго закона Ньютона имеет вид: ~( .'". )-$, (423) где 4 — результирующая сил, действующих на тело. При переходе от одной системы отсчета к другой сила $ пре- образуется по определенным законам. Рассмотрение этих законов выходит за рамки нашего курса. Найдем релятивистское выражение для энергии ма- териальной точки (для краткости будем называть ее частицей).
Будем исходить из уравнения движения (42З). Умножим его на т Ш: ф( " ) а=ма. Правая часть этого соотношения дает работу ИА, совер- шаемую над частицей За время Л. Из закона сохранения энергии следует, что работа, совершаемая над частицей, должна быть равна приращению энергии частицы г(Е. Поэтому можно написать: т( ~о~ Преобоазуем правую часть этого выражения, помня, что и' =. т, а о ои = ч гЬ: "Ь'")1 "ЪЪ'~--."р Г э2 тосчг —, ~пот ит (\ — ) 2~\. — ) (ф' \ — ) Интегрирование полученного нами соотношения дает: Е = ~ + сопз(. аЯ 1 —— Эйнштейн положил константу равной нулю.
Прн этом условии,пля энергии частицы получается выражение: Е ~'~ = тс' (42.9) где и! — релятивистская масса частицы. В случае, когда скорость частицы о = О, энергия принимает значение Е = !пост. (42. 10) Величина (42.10) носит название э н е р ги и п о ко я частицы. Эта энергия, очевидно, представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. Кинетическую энергию частицы Т естественно определить как разность Е н Ем Подставив значения (42.9) ' ' '(~=-"-:: ) ( — ' —:: ') (42.11) В случае малых скоростей (о « с) эту формулу можно преобразовать следующим образом: Т = и!!ст — глдс ~1 + я — ~ — 1) = —, ! — —— 2 а' Мы пришли к классическому выражению для кинетической энергии частицы. В этом нет ничего удивительного — выше уже отмечалось, что при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики переходят в формулы классической механики.
Исключив из уравнений (42.7) и (42.9) скорость и (уравнение (42.7) нужно взять в скалярном виде), получим выражение энергии частицы через импульс р: Е = с "у рт -1- уп~тсз (42.12) (классическое выражение имеет вид: Е рз/2л!). Формулы (42.9) и (42.10) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из. многих частиц. Энергия Еа покоящегося а и. В. савелъев. т.
!и 226 тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра инерции тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию (42.9), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Из соотношения (42.9) вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое' ) изменение энергии тела гзЕ сопровождается изменением массы тела Ллт = ЛЕ/сз и, наоборот, всякое изменение массы Ьпт сопровождается изменением энергии ЬЕ = = сзЛт. Это утверждение носит название з а к о н а взаимосвязи или закона пропорциональности массы и энергииз).
Отметим, что пропорциональность между релятивистской массой и энергией приводит к тому, что утверждение о сохранении суммарной релятивистской массы частиц представляет собой сказанное иными словами утверждение о сохранении суммарной полной энергии. В связи с этим в физике не принято говорить о законе сохранения релятивистской массы как об отдельном законе. Обратимся снова к неупругому соударению двух шаров (рнс. 14б,а). На первый взгляд может показаться, что записав закон сохранения импульса в системе К' в виде лт(й) и' = 2пт(сс') и' (42. 13) (где й= — 2п/(1+ пт/ст), а и' = — и) и взяв в качестве пт(и') функцию (42.6), мы получим тождество.
Однако нас ждет .разочарование. В самом деле, подставив й (42.13) функцию лт(й) и соответствующие значения проекций скоростей, получим соотношение: « / ( Зв/() + е «/с«))«о» / и« ') За нсключеннел~ изменения потенциальной энергии во введь нем поле свл. ') Иногда говорят об эквнвалентностн »~ассы н энергии, подразумевая под этим нк взаимосвязь н яропорцнональность друг другу. Очевидно, что термнн «пропорцнональность» правнльнее отражает сушество дела, чем термнн «эквнвалентность».
226 которое после элементарных преобразований приобретает вид: ! ! $=~Г х,' ' Таким образом, никакого тождества не получилось. Причина нашей неудачи заключается а том, что мы без должных на то оснований полагали, что масса покоя М0 составного тела, возникающего после удара шаров, равна удзоенной массе покоя каждого шара в отдельности. В действительности внутренняя энергия составного тела больше суммы внутренних энергий шаров перед ударом (удар неупругий), а следовательно, и масса покоя М0 должна быть больше 2т0 (см.
формулу (42 10)]. Если не делать заранее никаких предположений относительно Мм в правую часть уравнения (42.14) нужно вместо 2тл0 подставить М0. Тогда после преобразований мы придем к соотношению: Мо= ~, =2ш(о). (42.15) 1 —" е~ Заметим, что формула (42.15) следует непосредственно из закона сохранения энергии. В этом можно убедиться, умножив обе части формулы на сз и приняв во внимание выражение (42.9). Итак, при неупругих соударениях масса покоя образующегося составного тела не равна сумме масс покоя соударяющихся частиц. При взаимодействиях частиц суммарная масса покоя не сохраняется. ГЛАВА ЧП ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ ф 43. Дисперсия света Дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от частоты (или длины) световой волны.
Эту зависимость можно охарактеризовать функцией .=~(.), (43.1) где Аа — длина световой волны в вакууме. Первое экспериментальное исследование дисперсии света было выполнено Ньютоном в 1672 г. по способу преломления в стеклянной призме. «а ф ф а Рис. 146. Характер дисперсии становится особенно наглядным, если применить метод скрещенных призм.
Первая (вспомогательная) стеклянная. призма разворачивает пучок света вдоль одного. направления (см. пунктирную полосу на рис. 14б,аиб). Вторая призма, изготовленная из исследуемого вещества, .отклоняет каждый из лучей в 228 другом направлении. Это отклонение определяется значением п(Хе) для данного вещества, так что получающаяся на экране искривленная радужная полоса наглядно передает ход показателя преломления с длиной волны Хо. Для всех прозрачных бесцветных веществ функция (43.1) имеет в видимой' части спектра вид, показанный на рис.
146,в. С уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается со все возрастающей скоростью, так что величина дп/ИХо, называемая дисперсией вещества, также увеличивается по модулю с уменьшением Хэ. Такой характер дисперсии. называют н о р м а л ь н ы м. Рис. 146, а соответствует случаю нормальной дисперсии.
Зависимость и от Хэ в области нормальной дисперсии может быть представлена приближенно формулой: в=п+ — + — + ха хо (43.2) где а, Ь, с, ... — постоянные, значения которых для каждого вещества определяются экспериментально. В большинстве случаев можно ограничиться двумя первыми членами формулы, полагая Ь аг а+ —,. хо В этом случае дисперсия вещества изменяется по закону: из~ эь хэ' Если вещество поглощает часть лучей, в области поглощения и вблизи от нее ход дисперсии обнаруживает аномалию (рис. 146,6). На некотором участке более короткие волны преломляются меньше, чем более длинные.
Такой ход зависимости л от Аэ называется аномальной дисперсией. 5 44. Групповая скорость Волна, описываемая уравнением й = А соз (е1 — Йх), (44.1) представляет собой последовательность горбов и впадин, имеющую бесконечные протяженность и длительность, яйь В самом деле, уравнение (44.1) определяет смещение $ для всех значений х и г, заключенных в пределах от — оо до +со. Ясно, что с помощью такой волны нельзя передать никакого сигнала. Для того чтобы волна могла быть использована для передачи сигнала, на ней нужно сделать «отметку», скажем, оборвать ее на какой-то проме>куток времени.
Однако в этом случае нолна уже не будет описываться уравнением (44.1). Возьмем фиксированное значение фазы волны (44.1): е>г — йх = сопз1. Дифференцирование этого выражения дает: ь> й — й дх= =О, откуда для скорости о = дх/Ж, с которой перемещается данное значение фазы в пространстве, получается значение: (44.2) Величина о, как мы знаем, называется фззовой скоростью волны. В $ 19 мы уже отмечали, что даже свет, определяемый как монохроматический, представляет собой наложение волн вида (44.1) с частотами, заключенными в интервале Ьь>. Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте (илн длине волны), называется г,р у п п о й в о л н.
Выражение группы волн имеет вид; Л„соз (ь>1 — Й«х) г(ь>. (44.3) Суммируемые в (44.3) волны отличаются друг от друга по Х, а следовательно и по й (Й = 2а>й). В некоторый момент времени 1 отличие по фазе складываемых волн в разных точках (длн разных х) будет различно. В одних точках волны усиливают друг друга больше, в других — меньше. В том месте, где волны в данный момент больше всего усиливают друг друга, будет наблюдаться максимум интенсивности. С течением времени этот максимум перемешается в пространстве. Сказанное можно пояснить нэ примере сложения двух волн с различными Х (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
