Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для этого представим себе эвакуированную полость, стенйи которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и(в, Т), определяемой условием: Ии„ = и(в, Т)дв, где Ии — доли плотности энергии, приходящаяся на интервал частот Ив.
Полная плотность энергии может быть представлена в виде: и(Т) = ) и(в, Т) дв. о (52.1) Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зависит только от температуры и не зависит от свойств стенок полости. Это следует из термодинамических сообра« жений. Рассмотрим две полости, стенки которых изготовлены из разных материалов и имеют первоначально 253 одинаковую температуру Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, и~ (Т) ) из(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 158) и тем самым позволим стенкам полостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению щ ) им поток энергии из первой полости во вторую должен быть больше, чем поток, текущий во встречном направлении.
В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет У Р повышаться. Стенки же первой полости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они и, = а„. будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобреРис.
158. сти различные температуры — это запрещено вторым началом термодинамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости и, и из должно быть признано неправомерным. Вывод о равенстве и~(Т) и ие(Т) распространяется на каждую спектральную составляющую и(в, Т). Независимость равновесного излучения от природы стенок полости можно пояснить следующими соображениями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на ннх энергию 6Ъ и испускали бы такой же по величине поток энергии Ф Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФ, упавшего на них потока Ф, и отразят поток, равный (1 — а)Ф,.
Кроме того, они излучат поток аФ, (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Ф, (1 — а)Ф,+ аФ такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки. Равновесная плотность энергии излучении и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела простым соотношением, которое мы сейчас выведем.
В случае плоской волны (т. е. когда энергия переносится волной в одном, определяемом вектором й направлении) плотность потока энергии ! может быть представлена как произведение плотности энергии и на скорость волны с: Т = си (см. т. 1, формулу (82.8)). Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное ко- 254 личество волн, направления которых равномерно распределены в пределах телесного угла 4п. Поток энергии ! = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла ИИ будет заключен поток энергии, плотность которого равна: сУ = — с(И. 4и Возьмем на поверхности полости элементарную площадку ЛЯ (рис. 159). Эта площадка посылает в пределах телесного угла сИ = з1пбс(Ос(ф в а'~ направлении, образующем с нормалью угол О, поток энергии: с(Ф,=Ы ° Ло созб= = — сИ ° ЛЗ соз О = лБ Рис.
159. = — АЗ соз О з(п О г(О с(ф. 4н Ф = ИФ = — ЬЗ„созбз(пбс(О Иф= — 'иЬЯ. ,1 э 4н 4, о а Вместе с тем поток Ф, должен быть таким, какой излучали бы абсолютно черные стенки. Последний же поток по определению равен г(,ЬЯ. Следовательно, с К .= — и. э 4 (52.2) Соотношение (52.2) должно выполняться для каждой спектральнрй составляющей излучения. Отсюда вытекает, что 1(в, Т) = — ~(в, Т).
(52.3) Радей и Джинс исходили из того, что равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что замена поглощающих стенок полости идеально отражающими По всем направлениям, заключенным в пределах телесного угла 2н, площадка Л5 посылает поток энергии: стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий (см. т.
1, $ 85). Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами а, Ь и с. Совместим с ребрами параллелепипеда координатные оси х, у, х (рис. 160). Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид: я я а=т,— =т,— или й„=т,— 1 (52.4) (т,=1,2, ...), где А„— модуль волнового вектора, совпадающий в данном случае с проекцией волнового вектора на ось х. Заметим, что данная стоячая волна образована наложением двух бегущих волн, для которых значе- $ ния й отличаются знаюл $ КОМ.
ДЛЯ СТОЯЧИХ ВОЛН, устанавлнвающихся вдоль ОСИ Я ИЛИ ОСИ З, ДОЛЖНЫ выполняться условия, анаг логичные (52.4). Если Рие !60. волновой вектор. й не сов- падает с направлением ни одной из координатных осей, условия, аналогичные (52.4), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора 11: йх т1 Ау тх ~ Ал (52.5) (т„т„та=О, 1., 2, ...). В этом случае стоячая волна с данным значением л (т.
е. й) представляет собой суперпозицню восьми бегущих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны: (1) +й„, +й„, +А,; (5) — й„, — й„, +й;, (2) — А, + й„, + А;„(6) — й„, + й„, — А,; (8) + й~~ йм + йм (~) +йю (4) +А, +й„, — А,; (8) .— й„, — й, — А,.
(У вЂ” объем полости). Произведя в (52.6) замену: й = а/с, ~0) = г(а)с, найдем число волн дЖ, частоты которых попадают в интервал от а до а + пы: в~ дв дЖ У вЂ”. е 2а2сз Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на 1(ва. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости У. Поэтому можно говорить о числе колебаний да„, приходящихся на единицу объема полос~и. Учтя оба направления поляризации„получим".
(52.8) Умножив (52.8) на среднюю энергию одного колебания, получим приходящуюся на интервал частот да энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. и(в, Т)г(г». Исходя из закона равнораспределения энергии по степеням свободы, Рэлей н Джинс приписали каждому колебанию энергию, равную йТ (см. выше). В этом случае и (о, Т) Йо = ЙТ да„= —,, йТ й» или (52.9) Перейдя от и(ы, Т) к 1(в, Т) по формуле (52.3), получим: 7(~, Т) —,, йТ.
(52. 10) Выражение (52.10), равно как н (52.9), называется формулой Рэлея — Джинса. Заметим, что функция (52.10) удовлетворяет полученному Вином условию (51.3). Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рнс.
162, на котором сплошной 258 линией изображена экспериментальная кривая, пунктиром — кривая, построенная по формуле Рэлея— Джинса). Интегрирование выражения (52.9) или (52.10) по ы в пределах от 0 до ао дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости )с, бесконечно большие значения.. Этот результат, получивший Р Ц ~ Р У. Р Ю 4 5 Е 7 Р РА,ли Рис. 162. название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях и(Т). 9 53. Формула Планка Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-та закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики. В 1900 г. Планку удалось найти вид функции ) (а, Т), в точности соответствующий опытным данным.
Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, эФ 259 что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии е (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения: в = йге. (5ЗА) Коэффициент пропорциональности Ь получил впоследствии название постоянной Планка' ). Определенное из опыта значение равно: 6=1,054 10 дж сек=1,054.10 ' эре сек. (53.2) В механике есть имеющая размерность «энергияХ Х время» величина, которая называется действ нем, Поэтому постоянную Планка иногда называют к в а нтом действия.
Заметим, что размерность й совпадает с размерностью момента импульса. Если излучение испускается порциями йго, то его энергия е„должна быть кратной этой величине: еп пп ийгп (и = О, 1, 2, ...). (53.3) Согласно закону Больцмана вероятность Р того, что энергия излучения имеет величину е„, определяется выражением: Р— Ае лпlег — Ае и л'ет л (53.4) Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Р„должна быть равна единице. Действительно, сумма Р„представляет собой вероятность того, что энергии имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
