Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Итак, Р А ~' е — лалсег 1 л 0 откуда А= 1 -«аптег Х е л е ') Собственно говоря, постоянной Планка Ь называют козффнцяент пропорцнональностй между е н частотой, е й». Постоянная а (й перечеркнутое) есть постоянная Планке й, деленная на 2н. Чнсленное аначенне посюянной Планка равно: й 6,62 1О а' дж ° сек 6.62 16-тг аре.сек. 266 Подставив найденное значение А в формулу (53.4), получим: ОЛООГ Рл = Х -ОО ООГ е л О а =. л. 'г' 1тлел = — ~ ЮРлел = ~ Р„ел (53.5) л О л=О л О 1ср. с т. 1, формулой (106.11)). Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты ОО определяется следующим выражением: ~ лл .
— льМкг л О е= (53.6) Х вЂ” ОлГОГ е л-О Чтобы произвести вычисления, обозначим йОО/йТ = х и допустим, что величина х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для й можно записать в виде: ~Ч~~~ ЛО-ЛЛ = — йв — 1п '~ е . (53,7) д лл л О Е = йОО е л-О Выражение, стоящее под знаком логарифма, пред- ставляет собой сумму членов бесконечной геометриче- ской прогрессии с первым членом, равным единице, и зв! Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени.
Произведем через равные промежутки времени М очень большое число таких измерений У. Разделив сумму полученных значений на число измерений Ф, мы найдем среднее по времени значение энергии е. При очень большом Ф количество измерений У , которые дадут результат е„, будет равно УРО. Поэтому знаменателем прогрессии, равным е . Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле 1 е-лк 1 е — х л 0 Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив дифференцирование, получим: 1 е" Ьв е= — Ьв — (и „=Ьв — = дх 1-е " 1 — а х е"-1 Наконец, заменив х его значением йа(йТ, получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты ен ДОДД' (53.8) Заметим, что при Ь, стремящемся к нулю, формула (53.8) переходит в классическое выражение з = йТ. В этом можно убедиться, положив е"'альт = ! + йы(ИТ, что выполняется тем точнее, чем меньше л.
Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывныйряд значений, ее среднее значение было бы равно йТ. Заменив в формуле Рэлея — Джинса йТ выражением (53.8), получим формулу, найденную Планком: в )( з ) щр т бемг Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до сю. Она удовлетворяет критерию Вина (5!.3).
Прн условии, что Ьа!ИТ ч," ! (малые частоты или большие длины волн), е" 1ьт можно положить равным приближенно ! + Ъы(ЙТ, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это следует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (53.8) приближенно равняется йТ.
Осуществив преобразование по формуле (50.9), получим: На рис. 1.63 сопоставлены графики функций (63.9) и (53.10); построенные для одной и той же температуры (5000'К). Масштабы по оси,абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением Х = 2пс/а значения 3 и в совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота в, соответствующая максимуму )(в, Т), не совпадает с 2яс/Х, где Х вЂ” длина волны, отвечающая максимуму ~р(Х, Т). а~ юг Е ав ы дг а:г я,. х(ВВ ЙЮ ~и гх ЬВ аа ага ~а, Рис.
1Я. Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение: о о Введем вместо е безразмерную переменную х = = Ьа)яТ. Подстановка м (И(й)х, йо =(ИТЯйх преобразует формулу для Я, к виду: о Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равен я'/15 = 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана: ° я2а4 Я, = —,,„, Т~ = аТ'. Подстановка в эту формулу численных значений Й, с и л дает для постоянной Стефана — Вольцмана величину 5,6696 ° 1О-а вт)ма град», очень' хорошо согласующуюся с экспериментальным значением (И.2). В заключение найдем значение постояннои в законе смещения Вина (51.5). Для этого продифференцируетл функцию (53.10) по Х и прнравняем получившееся выражение нулю: ,~, (» г) 4,Рй ~((йнй Улт») ~л лтл б( та»метл 1)) О. лл Хе (еъ»лмлтл 1)а Удовлетворяющие этому уравнению значения Х = 0 и Х = оо соответствуют минимумам функции ~р(Х, Т).
Значение Х, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2пйс/АТХ = х, получим уравнение: хе — 5(е — 1) = О. Решение ') этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2пйс)йТ) = 4,965, откуда упйс 4 Эббе (53.12) Подстановка численных значений Ь, с и й дает для Ь величину 2,90 ° 10а мк.град, совпадающую с экспериментальным значением (51.7).
Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения. 9 54. Оптическая пирометрня ') Решение можно найти методом последовательных приближений. Замечая, что еа л. 1, можно в первом приблшкепии ааписать уравнение в виде: хе" — бе" = О, откуда к = 6. Второе приближение получим иа уравнения: хе» вЂ” 6(е» вЂ” 1) = О, и т.
д. В соотношения (53.10), (53.11) и (53.12) входит температура излучающего тела. Поэтому любое из ннх может быть использовано для определения температуры раскаленных тел. Соответствующие приборы называются оптическими и и р о м ет р а и и. Онн подразделяются на три основные группы: 1) радиационные, 2) яркостные и 3) цветовые пирометры. Радиационные пирометры. Схема радиационного пирометра показана па рнс. 164. Прибор наводится на излучатель так, чтобы резкое изображение излучающей поверхности, даваемое объективом Об, полностью перекрывало приемник излучения 77р Контроль за этим осуществляется при помогцн окуляра Ок.
В качестве приемника обычно применяется термостолбпк (см. рис. 17). По отклонению стрелки гальванометра Г можно су- /" дить о температуре излучателя. Покажем, что это действительно так. Рл Кроме энергетической светнмости Йм для характеристи- /7р ки излучающего тела можно ввести энергетическую Рис. 164. я р к а с т ь В„аналогичную яркости В, определяемой выражением (6.9). Очевидно, что соотношения, существующие между световым 'потоком Ф, светнмостью Я и яркостью В (см.
$6), справедливы для потока энергии Фч, энергетической светимости И, и энергетической яркости В,. В частности, согласно (6.11) для ламбертовского излучателя (54.!) Приняв во внимание (53.!1), получим для энергетической яркости абсолютно черного тела выражение: В, — 7"'. (54.2) Пусть ЛЗ' на рис.
165 — площадь приемника, а ЛЗ— та часть поверхности излучателя, изображение которой перекрывает площадку ЛВ'. Тогда по определению поперечного увеличения Д можно написать, что ЛБ' ьн соь в (54.4) В соответствии с формулой (6.10) поток энергии ЛФм излучаемый светящейся площадкой ЛЗ в пределах телесного угла Лй по направлению, образующему угол д с нормалью к площадке, равен ЛФ, = В,. АО Л5 соз б. (54.3) Согласно формуле (9.11) (У =)тих', где ~ — фокусное расстояние объектива, х — расстояние от переднего фокуса объектива до Ь5, практически равное расстоянию от объектива до Л5.
Подставив это значение рх в формулу (54.4), найдем, что Л5 соз б = Ь5' —,. (54.5) Те,чесный угол Ь11, под которым виден объектив из любой точки площадки Л5, равен 4~' (54.6) где  — диаметр объектива. Подстановка значений (54.5) и (54;6) в формулу (54.3) дает для потока энергии, падающего на приемник, следующее выражение: Ьср9 — — В,— ( — ) Ь5 (54.7) (ср.
это выражение с формулой (15.6)). Из (54.7) видно, что если изображение излучателя полностью перекрывает приемник, поток энергии, падавший на приемник, будет, независимо от расстояния до хЮлхг ст М АЮ дФ Рис 166. излучателя (это расстояние должно быть велико по сравнению с фокусным расстоянием объектива пирометра), пропорционален энергетической яркости излучателя Вэ. Последняя же для абсолютно черного тела связана е температурой соотношением (54.2). В нашем расчете мы принебрегли рядом факторов: поглощением излучения на пути к приемнику„теплообменом приемника с остальными частями прибора, неодинаковым поглощением приемником излучения разных частот и т.
д. Действие всех этих факторов трудно учесть. Поэтому прибор градуируют по абсолютно чер- 266 ному телу, нанося против делений шкалы соответствующие температуры. Для нечерного тела показания радиационного пирометра дают не встинную температуру Т, а то значение температуры Тээю при котором энергетическая светимость абсолютно черного тела )т, равна энергетической светимости Я, исследуемого тела при его истинной температуре Т: Я,(Т,.„)=)(,(Т) (54.8) Подставив это значение в (54.8), получим: Тг,'(Т„Д = аф; (Т). Выразив )г, через температуру согласно закону (53.! 1), придем к соотношению: оТ',=а оТ'„ (54.9) откуда 1 Т=, Т„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
