MA2 (864555)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ËåêöèÿN o 1.Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàëÎïðåäåëåíèå 1.1. Ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé èëè íåîïðåäåëåííûìèíòåãðàëîì ôóíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R, åñëè ∀ x ∈ I F (x) = f (x), è0îáîçíà÷àåòñÿZF (x) =f (x)dx.Åñëè F è G äâå ïåðâîîáðàçíûå f íà I , òî F −G = const íà I . Äåéñòâèòåëüíî,åñëè (F − G)0 ≡ 0 íà I , òî ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ïðè a < b, a, b ∈ I , èìååì(F − G)(b) − (F − G)(a) = (b − a)(F − G)0 (c) = 0,ãäå a < c < b.Ëèíåéíîñòü.Ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâZZaf (x) + bg(x)dx = aòîZf (x)dx + bg(x)dx.Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Åñëè f è g äèôôåðåíöèðóåìû íà I ,Zf (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) −Zg(x)f 0 (x)dx.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåòñÿf (x)g 0 (x)dx = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) − g(x)f 0 (x).Ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:ZZf (x)dg(x) = f (x)g(x) −g(x)df (x).Çàìåíà ïåðåìåííîãî (ñëåäñòâèå ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè).

Ïóñòü ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà I . ÒîãäàZZ0f (ϕ(x))ϕ (x)dx =f (y)dy y=ϕ(x).Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëèïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû,ïîëó÷èòñÿ f (ϕ(x))ϕ0 (x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x).Måòîä ïîäñòàíîâêè. Ïóñòü x = ξ(u), ξ0 ñîõðàíÿåò çíàê íà J . Òîãäà ôóíêöèÿξ áèåêòèâíî îòîáðàæàåò ïðîìåæóòîê J â ïðîìåæóòîê I , è ïåðâîîáðàçíàÿ f (x) íàI ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëåZZf (x)dx =f (ξ(u))ξ 0 (u)du.1Ñëåäóþùèå èíòåãðàëû ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò ïðîâåðèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåìè âûó÷èòü íàèçóñòü:ZZ1xa+1+ C, a 6= −1;dx = ln |x| + C;x dx =a+1xZ1 xax dx =a , a > 0, a 6= 1;ln aZZcos x dx = sin x + C;sin x dx = C − cos x;ZZdxdx=tgx+C;= C − ctg x;cos2 xsin2 xZdxx√= arcsin + C, a > 0;aa2 − x2Zdx1x= arctg + C, a > 0;a2 + x2aaZpdx√= lnx + x2 + b + C, b 6= 0.x2 + baÈíòåãðàëû ñëîæíûõ ôóíêöèé âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâ, ïåðå÷èñëåííûõâûøå.

Íî óñïåõ íå ãàðàíòèðîâàí!Îïðåäåëåíèå 1.2. Íåáåðóùèìèñÿ èíòåãðàëàìè íàçûâàþò ïåðâîîáðàçíûåýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, íå ÿâëÿþùèåñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.Åñëè èíòåãðàë ñâîäèòñÿ ê íåáåðóùåìóñÿ, çíà÷èò, îí òîæå íåáåðóùèéñÿ. Ïîëåçíîçíàòü íàèáîëåå èçâåñòíûå ïðèìåðû íåáåðóùèõñÿ èíòåãðàëîâ, ÷òîáû íå ïîòðàòèòüâðåìÿ íà áåçóñïåøíûå ïîïûòêè èõ âûðàçèòü:Z±x2eZdx;sin xdx;xZZ pa2 cos2 x + b2 sin2 x dx,Zexln(1 + x)dx;dx;xxsZa 6= 0,1 + ax2b 6= 0,dx,1 + bx2a 6= b.Ðàññìîòðèì ïðèìåðû èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè ïîìîùè çàìåíû ïåðåìåííîãî.Ïðèìåð 1.1.Z√çàìåíàdxdx = [y = 3x + 5 =⇒ dy = 3dx]3x + 2Z√1dy1 y2√3x + 5 + C.=+C =√ =3y3 1/23Ïðèìåð 1.2.Z√cos xdx =5 − cos2 xZcos x dxpdx =4 + sin2 x2Zdyp=4 + y2[çàìåíà: y = sin x =⇒ dy = cos x dx]pp= lny + 4 + y 2 + C = lnsin x + 4 + sin2 x + C.Ïðèìåð 1.3.çàìåíàZhix dx1d(x2 )==y = x2 + 3x4 + 6x2 + 902(x2 + 3)2 + 81Zdy1y1x2 + 31=arctg+C=arctg+ C.=2y 2 + 81189189ZÒåïåðü ðàññìîòðèì ïðèìåðû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.Ïðèìåð 1.4.Ïóñòü n 6= −1.Zxn ln x dx =1n+1Zln x d(xn+1 ) =Z1xn+1 ln xxn+1n+1n+1 dx=xln x − x=−+ C.n+1xn+1(n + 1)2Ïðèìåð 1.5. ýòîì ïðèìåðå íóæíî 2 ðàçà èíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì.Z1(x + x)e dx =222xZ(x2 + x)de2x =Z1 2(x + x)e2x − e2x (2x + 1)dx =2Z1e2x 2=(x + x) −(2x + 1)de2x =24Ze2x 212x=(x + x) −(2x + 1)e − e2x 2dx =24e2x 2=2(x + x) − (2x + 1) + 1 + C =4==x2 e2x+ C.2Ïðèìåð 1.6.

 ýòîì ïðèìåðå òîæå ïðèäåòñÿ èíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì äâà ðàçà,3íî çäåñü ïåðâîîáðàçíàÿ âûðàçèòñÿ ñàìà ÷åðåç ñåáÿ:ZF (x) =ex sin 2x dx =Zsin 2x d(ex ) =Zex d sin 2x = ex sin 2x − 2 ex cos 2xdx =Zx= e sin 2x − 2 cos 2x d(ex ) =Z= ex sin 2x − 2ex cos 2x + 2 ex d(cos 2x) =Zxx= e sin 2x − 2e cos 2x − 4 ex sin 2xdx == ex sin 2x −Z= ex sin 2x − 2ex cos 2x − 4F (x) + C,îòêóäà ïîëó÷àåì, ïåðåíåñÿ 4F (x) â ëåâóþ ÷àñòü,F (x) =1 xe sin 2x − 2ex cos 2x + C1 .5Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 1Âû÷èñëèòü íåîïðåäåëåííûå èíòåãðàëû, âûáðàâ çàìåíó ïåðåìåííîãî:ZZdx1.1.

√dx.1.2.(x + 2)7 x dx.35x + 1ZZdx−x2 /2√ .1.3. xedx.1.4.(x + 1) xZZtg3 x dxx − arctg x.1.6.dx.1.5.cos2 x1 + x2Z √2 ln x + 11.7.dx.x äàííûõ çàäà÷àõ ïðèìåíèòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì:Z1.8. arcsin x dx.Z1.9. arctg x dx.ZZZln sin x1.10. x2 sin 2x dx. 1.11. x3 ex dx. 1.12.dx.cos2 xËåêöèÿN o 2.Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèéP (x)Îïðåäåëåíèå 2.1.

Ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà Q(x),ãäå P è Q ìíîãî÷ëåíû. Äàííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé äðîáüþ,åñëè ñòåïåíü P íèæå ñòåïåíè Q.Ëåììà 2.1. Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ P/Q íåïðàâèëüíàÿ äðîáü, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèåP (x)R(x)= S(x) +,Q(x)Q(x)ãäå S ìíîãî÷ëåí, R/Q ïðàâèëüíàÿ äðîáü.Ëåììà äîêàçûâàåòñÿ àëãîðèòìîì äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ â ñòîëáèê. Èíòåãðèðîâàòüìíîãî÷ëåíû ëåãêî, ïîýòîìó ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà ïðàâèëüíûõ äðîáÿõ.Îïðåäåëåíèå 2.2. Ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîñòåéøåé äðîáüþ,åñëè èìååò âèä+Cà) (x −Ax )k èëè á) (x2 Bx,(1)+px+ q)koãäå êîíñòàíòû A, B, C, xo , p, q ∈ R, k ∈ N, è p2 − 4q < 0.Äàëåå áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó ìíîãî÷ëåíà Q ñòàðøèéêîýôôèöèåíò ðàâåí 1. Èç îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû ñëåäóåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Q(x)ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ìíîæèòåëèQ(x) =mYi=1(x − xi )kirY(x2 + pj x + qj )lj ,j=1ãäå x1 ,.

. . , xm äåéñòâèòåëüíûå êîðíè, kj êðàòíîñòü xj ; p2j − 4qj < 0, è lj êðàòíîñòü êîìïëåêñíûõ êîðíåéq1−pj ± p2j − 4qj .2Òåîðåìà 2.1. ÅñëèðàçëîæåíèåP (x)Q(x)m ïðàâèëüíàÿ äðîáü, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåkrljiX X Bjl x + CjlP (x) X XAik.=+Q(x)(x − xi )k j=1(x2 + pj x + qj )li=1k=1l=15(2) ýòîé ôîðìóëå êîëè÷åñòâî íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ Aik , Bjl , Cjl ñîñòàâëÿåòmXki + 2i=1rXlj = deg Q.j=1×òîáû èõ âû÷èñëèòü, íóæíî ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïðàâóþ ÷àñòü (2)è ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ x îò deg Q − 1 äî íóëåâîé.

×èñëîóðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ.Ïðèìåð 2.1.3x + 5A1A2=+=(x − 1)(x + 3)(x − 1) (x + 3)A1 (x + 3) + A2 (x − 1)A1 + A2 = 3A1 = 2==⇒=⇒3A−A=5A2 = 1.(x − 1)(x + 3)12Ïðèìåð 2.2.A1A21A223x2 + 2x + 1=++=(x + 1)(x − 1)2(x + 1) (x − 1) (x − 1)2A1 (x2 − 2x + 1) + A21 (x2 − 1) + A22 (x + 1)=,(x + 1)(x − 1)2A1 + A21 = 3−2A1 + A22 = 2A1 − A21 + A22 = 1.îòêóäàÏðèìåð 2.3.x3 − x + 1x3 − x + 1= 2=4x +4(x − 2x + 2)(x2 + 2x + 2)=B2 x + C2B1 x + C1+ 2.2x − 2x + 2 x + 2x + 2Òåïåðü íàì îñòàëîñü íàó÷èòüñÿ èíòåãðèðîâàòü ïðîñòåéøèå äðîáè îáîèõ âèäîâ,ñì. (1):à) çàìåíîé y = x − xo ïîëó÷àåìZA dx=(x − xo )k(A ln |x − xo | + C, k = 1;A/(k − 1)C−, k > 1;(x − xo )k−1á) âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò â çíàìåíàòåëå:x2 + px + q = (x − xo )2 + a2 ,Ñäåëàåì çàìåíó y = x − xo :ZBx + C1dx =(x2 + px + q)lZa > 0.By + C 0dy =(y 2 + a2 )lB=26Zd(y 2 + a2 )+ C0(y 2 + a2 )lZdy.(y 2 + a2 )lÏåðâîå ñëàãàåìîå ïîñëå çàìåíû z = y2 + a2 èíòåãðèðóåòñÿ òàê æå, êàê äðîáü âèäàà).

Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðè l = 1 òàáëè÷íûé èíòåãðàë (ñì. ñòð. 6), à ïðè l > 1ïðèìåíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Pàññìîòðèì ñëó÷àé l = 2.Zy 2 + a2 − y 2dy =(y 2 + a2 )2ZZy 2 + a2y21dy −dy == 2a(y 2 + a2 )2(y 2 + a2 )2ZZ1dy11= 2+yd 2=ay 2 + a22y + a2Z1 1y 1y11= 2arctg +−dy =aaa 2 y 2 + a22y 2 + a211yyarctg + 2+ C.= 22aaa y + a2dy1= 2(y 2 + a2 )2aZÀíàëîãè÷íî ìîæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàëZ(y 2dy,+ a2 )kèíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì k − 1 ðàç.

Ðåçóëüòàò âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:Z(y 2dy=+ a2 )k=y(2k − 3)y+ 4+a2 (2k − 2)(y 2 + a2 )k−1a (2k − 2)(2k − 4)(y 2 + a2 )k−2(2k − 3)(2k − 5) . . . 3 y+ . . . + 2k−2+a(2k − 2)(2k − 4) . . . 2(y 2 + a2 )y(2k − 3)(2k − 5) . . . 3 y+ 2k−1arctg .a(2k − 2)(2k − 4) . . . 2(y 2 + a2 )a×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü ýòî ðàâåíñòâî, ïðåäâàðèòåëüíî âûâåäÿ ñîîòíîøåíèå02y(y 2 + a2 )n=1 − 2n2na+ 2.(y 2 + a2 )n(y + a2 )n+1Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ðåøåíà äëÿ âñåõñëó÷àåâ.Ïðèìåð 2.4.7Äåëàåì çàìåíó y = x + 1; çäåñü a = 2.Zxdx =(x2 + 2x + 5)2ZZZ1d(y 2 + 4)dyy−1dy=−==(y 2 + 4)22(y 2 + 4)2(y 2 + 4)211 1yy1=−−arctg++C =2 y2 + 4 8 22 y2 + 4111 1x+1x+1=−−arctg++ C.2 x2 + 2x + 5 8 22x2 + 2x + 58Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 2Ïðîèíòåãðèðîâàòü ïðàâèëüíûå äðîáè, ðàçëîæèâ èõ íà ïðîñòåéøèå:Z2.1.Z2.3.Z2.5.(x − 2)dx.x2 − 2x + 10x+5dx.x3 − 4xZdx.(x + 1)x2Zdx.x3 − 82.2.2.4.x2 + x + 1dx.x3 + 4x2Ïðîèíòåãðèðîâàòü íåïðàâèëüíûå äðîáè, ñíà÷àëà âûäåëèâ öåëóþ ÷àñòü, çàòåìðàçëîæèâ ïðàâèëüíûå äðîáè íà ïðîñòåéøèå:Z2.6.Z2.8.Z2.10x3 dx.2x − 2x + 52.7.x3 dx.(x − 1)2 (x − 2)2.9.x4 dx.(x − 1)(x − 2)(x − 3)Zx2 + 1dx.x2 − 1Zx5dx.x2 + 9ËåêöèÿN o 3.Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõôóíêöèéÍàó÷èìñÿ èíòåãðèðîâàòü ôóíêöèè âèäàf (x) =P (cos x, sin x),Q(cos x, sin x)ãäå P (u, v) è Q(u, v) ìíîãî÷ëåíû.

C ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ çàìåí ïåðåìåííûõáóäåì ñâîäèòü çàäà÷ó ê èíòåãðèðîâàíèþ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé.Ñëó÷àé I. Ïóñòü f (π − x) ≡ −f (x). Òîãäà cos x âõîäèò â ÷èñëèòåëü òîëüêî âíå÷åòíûõ ñòåïåíÿõ, à â çíàìåíàòåëü òîëüêî â ÷åòíûõ (èëè íàîáîðîò, íî òîãäàäîìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà cos x). Ïðîèíòåãðèðóåì ñ ïîìîùüþ çàìåíûy = sin x:ZZf (x)dx =ZP1 (1 − sin2 x), sin xP2 (y)d sin x =dy.Q2 (y)Q1 (1 − sin2 x), sin xÏðèìåð 3.1.çàìåíàZZZhi2 dx2 cos x dx2 d sin x===y = sin xcos xcos2 x1 − sin2 xZZZ2dydy| sin x + 1|=dy =−= ln+ C.1 − y2y+1y−1| sin x − 1|Ñëó÷àé II. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íå÷åòíà. Òîãäà sin x âõîäèò â ÷èñëèòåëü òîëüêî âíå÷åòíûõ ñòåïåíÿõ, à â çíàìåíàòåëü òîëüêî â ÷åòíûõ (èëè íàîáîðîò, íî òîãäàäîìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà sin x).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций