Fxyz (864554)
Текст из файла
∗Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçóÔÍ, I êóðñ, 2 ñåìåñòð2 ìîäóëü ½Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõÏóãà÷åâ Î.Â.âåñíà 20171. Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè âRn2. Íåïðåðûâíîñòü ÔÍÏ3. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñêàëÿðíûõ ÔÍÏ4. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíûõ ÔÍÏ5. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âûñøèõ ïîðÿäêîâ6. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ÔÍÏ7. Âîññòàíîâëåíèå ÔÍÏ ïî ãðàäèåíòó8.
Áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì9. Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíûõ ÔÍÏ10. Ãëàäêèåk -ìåðíûåïîâåðõíîñòè11. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì12. Èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà∗Çàïðåùåíî ïå÷àòàòü ôîðìàòîì ìåëü÷å À5 èëè ôîòîãðàôèðîâàòü.01Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè â RnÒî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà Rn ÿâëÿþòñÿ íàáîðû n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàåìûõêîîðäèíàòàìè òî÷êè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A = (a1 , . . . , an ) è B = (b1 , . . . , bn )îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîévu nuX~ = t (ai − bi )2%(A, B) = |AB|i=1Äëÿ Rn è % âûïîëíåíû âñå àêñèîìû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà:1. Ïîëîæèòåëüíîñòü: %(A, B) ≥ 0; %(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B ;2.
Ñèììåòðè÷íîñòü: %(A, B) = %(B, A);3. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: %(A, C) ≤ %(A, B) + %(B, C).Ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè A äî ìíîæåñòâà S íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà %(A, S) = inf %(A, B).B∈SnÎïðåäåëåíèå 1.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {Ak }∞k=1 â ïðîñòðàíñòâå R ñõîäèòñÿ ê òî÷êå B , åñëè %(Ak , B) −→ 0. Îáîçíà÷àåòñÿ Ak −→ B èëè lim Ak = B .k→∞k→∞k→∞Ëåììà 1.1. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê Ak = (a1k , .
. . , ank ) ê òî÷êåB = (b1 , . . . , bn ) ðàâíîñèëüíà ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè:Ak −→ Bk→∞⇐⇒aik −→ bik→∞∀ i = 1, . . . , n.Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒): Åñëè ∀ε > 0 ∃M : ∀k > M %(Ak , B) < ε, òî äëÿ êàæäîéêîîðäèíàòû ïîëó÷èì |aik − bi | < ε.√(⇐): Íàéäåì òàêèå M1 ,. . . ,Mn , ÷òî ∀kp> Mi |aik − bi | < ε/ n. Òîãäà ïðè âñåõ k >√max{M1 , . . . , Mn } ïîëó÷èì %(Ak , B) < n(ε/ n)2 = ε.Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ∃ lim Ak , òî îí åäèíñòâåííûé.k→∞Îïðåäåëåíèå 1.2.
ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè A ∈ Rn (ε > 0) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Uε (A) = {P ∈ Rn : %(A, P ) < ε} (øàð ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì A). Ïðîêîëîòîéoîêðåñòíîñòüþ íàçûâàåòñÿ U ε (A) = Uε (A)\{A}.Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâàÎïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü S ⊂ Rn . Òî÷êà A íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíî-æåñòâà S , åñëè ∃ε > 0: Uε (A) ⊂ S .Òî÷êà B íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé òî÷êîé ìíîæåñòâà S , åñëè ∀ε > 0 îäíîâðåìåííîUε (B) ∩ S 6= ∅ è Uε (B) ∩ (Rn \S) 6= ∅.1Âíóòðåííèå òî÷êè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó S , à ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ìîæåò ëèáîïðèíàäëåæàòü S , ëèáî íåò.
Ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê S íàçûâàåòñÿ åãî ãðàíèöåéè îáîçíà÷àåòñÿ ∂S .Îïðåäåëåíèå 1.4. Ìíîæåñòâî G ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè âñå åãî òî÷êèâíóòðåííèå, ò. e. ãðàíè÷íûõ òî÷åê îíî íå ñîäåðæèò: ∂G ⊂ Rn \G.Ìíîæåñòâî F ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîèãðàíè÷íûå òî÷êè: ∂F ⊂ F .Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà S ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî [S] = S ∪ ∂S .Çàìå÷àíèå 1.1. 1) Ïîñêîëüêó ãðàíèöà ó ìíîæåñòâ S è Rn \S îäíà è òà æå, èçîïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äîïîëíåíèå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà çàìêíóòî è íàîáîðîò.2) Ìíîæåñòâî S áóäåò îäíîâðåìåííî îòêðûòûì è çàìêíóòûì, ëèøü åñëè ó íåãî íåòãðàíè÷íûõ òî÷åê, ò.å.
åñëè S = ∅ èëè S = Rn .Ëåììà 1.2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê Ak ∈ S ⊂ Rn ñõîäèòñÿ ê òî÷êå B , òîB ∈ [S].Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, %(B, S) = 0. Åñëè ïðè ýòîì %(B, Rn \S) = 0, òî òî÷êà B ãðàíè÷íàÿ äëÿ S , åñëè æå %(B, Rn \S) > 0, òî âíóòðåííÿÿ.Ïðèìåð 1.1. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ìíîæåñòâ íà ïëîñêîñòè R2 .1) U = {x2 + y 2 < 1} îòêðûòîå. Åãî ãðàíèöà ∂U = {x2 + y 2 = 1}; åãî çàìûêàíèå[U ] = {x2 + y 2 ≤ 1}.2) Π = {x ≥ 0} çàìêíóòîå; åãî ãðàíèöà ∂Π = {x = 0}.3) ` = {y = x2 } çàìêíóòîå; åãî ãðàíèöà ∂` = ` (âíóòðåííèõ òî÷åê íåò).4) Q2 = {x, y ∈ Q} íå îòêðûòîå è íå çàìêíóòîå. Ãðàíèöà ∂Q2 = R2 .Ëåììà 1.3.
1) Îáúåäèíåíèå ëþáîãî íàáîðà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèåêîíå÷íîãî íàáîðà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûìè.2) Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî íàáîðà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî íàáîðàçàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè.SSÄîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè P ∈ Gi , òî ∃Gk 3 P =⇒ ∃ε > 0: Uε (P ) ⊂ Gk ⊂ Gi .Åñëè æå P ∈ G1 ∩ . . . ∩ Gm , òî ïðè êàæäîì i = 1, . . . , m íàéäåì εi : Uεi (P ) ⊂ Gi ; âçÿâε = min{ε1 , . . . , εm }, ïîëó÷àåì Uε (P ) ⊂ G1 ∩ .
. . ∩ Gm .2) Ñëåäóåò èç 1) â ñèëó çàìå÷àíèÿ 1.1 è èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèé èç òåîðèè ìíîæåñòâ(ìíîæåñòâà Gi áåðóòñÿ â ëþáîì êîëè÷åñòâå):[\\[(X\Gi ) = X\ Gi ;(X\Gi ) = X\ Gi .Îïðåäåëåíèå 1.5. Ìíîæåñòâî K ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ êîìïàêòîì, åñëè èç ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê Aj ∈ K ìîæíî âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ajk(j1 < j2 < . . .), ñõîäÿùóþñÿ ê òî÷êå B ∈ K .2Òåîðåìà 1.1. Ìíîæåñòâî K ⊂ Rn êîìïàêòíî ⇐⇒ îíî çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî.Äîêàçàòåëüñòâî.
(⇒): Åñëè áû K íå áûëî îãðàíè÷åííûì, òî íàøëàñü áû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, óõîäÿùèõ â ∞, à èç íåå íåëüçÿ âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè áû K íå áûëî çàìêíóòûì, òî íàøëàñü áû ãðàíè÷íàÿ òî÷êà C ∈/ K,íî ∀j ∈ N ∃Aj ∈ K : %(Aj , C) < 1/j =⇒ Aj → C =⇒ ëþáàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Aj } ñõîäèòñÿ òîëüêî ê C ∈/ K (äðóãîãî ïðåäåëà íåò ïîñëåäñòâèþ 1.1).(⇐): Ïóñòü K çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî; {Aj = (a1j , .
. . , anj )}∞j=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòî÷åê K . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîîðäèíàò {aij }∞,i=1,...,n îãðàíè÷åíû =⇒ ìîæíîj=1âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ j1 < j2 < . . . òàê, ÷òîáû a1jk ñõîäèëèñü êíåêîòîðîìó b1 ∈ R; çàòåì èç ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûáåðåì íîâóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàê, ÷òîáû a2jk ñõîäèëèñü ê íåêîòîðîìó b2 ∈ R, è ò.
ä. Ïðîäåëàâýòó ïðîöåäóðó n ðàç (íà êàæäîì øàãå áóäåò ïîëó÷àòüñÿ áåñêîíå÷íàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü), ìû ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, ïîêîîðäèíàòíî ñõîäÿùèõñÿ êB = (b1 , b2 , . . .) ∈ Rn . Ïîñêîëüêó K çàìêíóòî, òî ïî ëåììå 1.2 ïîëó÷àåì B ∈ K .Ñêàëÿðíûå è âåêòîðíûå ÔÍÏÑêàëÿðíîé ôóíêöèåé n ïåðåìåííûõ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f : D(f ) 7→ R, ãäå ìíîæåñòâî D(f ) ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ(â ñëó÷àå n = 2 ëèíèÿìè óðîâíÿ) íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâà {P ∈ D(f ) : f (P ) = C},ãäå C ∈ R êîíñòàíòû.Ïðèìåð 1.2.
Ïóñòü n = 2; f (x, y) = y/x. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = {(x; y) : x 6=0}. Îáëàñòü çíà÷åíèé = R. Ëèíèÿ óðîâíÿ C ïðÿìàÿ y = Cx, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè(0; 0).Ïðèìåð 1.3. Ïóñòü n = 3; f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = R3 .Îáëàñòü çíà÷åíèé = R. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ:ïðè C < 0 äâóïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû,ïðè C = 0 êîíóñ,ïðè C > 0 îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû.Âåêòîðíîé (k -ìåðíîé) ôóíêöèåén ïåðåìåííûõ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå V~ :D(V~ ) 7→ Rk , ãäå ìíîæåñòâî D(V~ ) ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèèV~ .  ñëó÷àå k = n îòîáðàæåíèå V~ èíîãäà íàçûâàþò âåêòîðíûì ïîëåì, òàê êàê åãî~ (P ), òîð÷àùèõ èç ñîîòâåñòâóþùèõìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîâîêóïíîñòè âåêòîðîâ Vòî÷åê P .~ (P ) = (v1 (P ), . .
. , vk (P )), òî ñêàëÿðíûå ôóíêöèè vi (P ), i = 1,. . . ,k , íàçûÅñëè V~ . Ìíîæåñòâàìè óðîâíÿâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè âåêòîðíîé ôóíêöèè V~ ) : V~ (P ) = (C1 , . . . , Ck )}, ãäå Ci ∈ R íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâà âèäà {P ∈ D(Vêîíñòàíòû. Î÷åâèäíî, òàêîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ~ ) : vi (P ) = Ci }, i = 1, . . . , k .êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé {P ∈ D(V32Íåïðåðûâíîñòü ÔÍÏÈçâåñòíû äâà ðàçíûõ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ÔÍÏ â òî÷êå.Îïðåäåëåíèå 2.1. (Êîøè) Ïóñòü f (x1 , . . . , xn ) ñêàëÿðíàÿ èëè âåêòîðíàÿ ÔÍÏ;òî÷êà A ∈ [D(f )].
Ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå A ðàâåí y , åñëèo∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀P ∈ U δ (A) ∩ D(f )|f (P ) − y| < ε.Îïðåäåëåíèå 2.2. (Ãåéíå) . . . ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå A ðàâåí y , åñëè äëÿ ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê Ak ∈ D(f ), Ak 6= A, ñõîäÿùåéñÿ ê A, èìååì f (Ak ) → y .Îáîçíà÷åíèå:îïðåäåëåíèé.èëè f (P ) −→ y .
Äîêàæåì ðàâíîñèëüíîñòü äâóõlim f (P ) = yP →AP →AÄîêàçàòåëüñòâî. (Êîøè⇒Ãåéíå): Åñëè D(f ) 3 Ak → A, Ak 6= A, òî ∀ε > 0 ∃N : ïðèoâñåõ k > N Ak ∈ Uδ (A) =⇒ Ak ∈ U δ (A) ∩ D(f ) =⇒ |f (Ak ) − y| < ε.(Ãåéíå⇒Êîøè): Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåò ñõîäèìîñòè ïî Êîøè. Òîãäà ∃ε > 0: ∀δ > 0, âo÷àñòíîñòè, äëÿ δ = 1/k , ∃Ak ∈ U δ (A) ∩ D(f ): |f (P ) − y| ≥ ε. Ìû âèäèì, ÷òî Ak → A,íî f (Ak ) 9 y .Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ÔÍÏ1. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (P ), òî îí åäèíñòâåííûé.P →A2. Ñõîäèìîñòü âåêòîðíîé ÔÍÏ lim V~ (P ) = Y = (y1 , . . . , yk ) ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñòèP →Aåå êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé lim vi (P ) = yi , ∀ i = 1, . . .
, k (âûòåêàåò èç ëåììû 1.1,P →Aïðèìåíåííîé ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f (Ak ), ñì. îïðåäåëåíèå 2.2).3. Äëÿ ñêàëÿðíûõ ÔÍÏ: åñëè lim f (P ) = y , lim g(P ) = z , òî ñóùåñòâóþò ïðåäåëûP →AP →Af (P )y= .P →A g(P )zlim (f (P ) + g(P )) = y + z , lim f (P )g(P ) = yz , à ïðè z 6= 0 òàêæå limP →AP →A~ (P ) = Z , òî ñóùåñòâóþò4. Äëÿ k -ìåðíûõ âåêòîðíûõ ÔÍÏ: åñëè lim V~ (P ) = Y , lim WP →AP →A~ (P ) + k W~ (P )) = cY + kZ ; ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåïðåäåëû ëèíåéíîé êîìáèíàöèè lim (cVP →A~ (P ), W~ (P )) = (Y, Z); ïðè k = 3 òàêæå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.äåíèÿ lim (VP →AÎïðåäåëåíèå 2.3.
ÔÍÏ íåïðåðûâíà â òî÷êå A ∈ D(f ), åñëè lim f (P ) = f (A).P →AÈç ñâîéñòâ ïðåäåëîâ ÔÍÏ âûòåêàåò:I. Íåïðåðûâíîñòü âåêòîðíîé ÔÍÏ ðàâíîñèëüíà íåïðåðûâíîñòè åå êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé.II. Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíûå (åñëè çíàìåíàòåëü íå îáíóëÿåòñÿâ A) ÔÍÏ, íåïðåðûâíûõ â òî÷êå A, òàêæå íåïðåðûâíû â A.Åùå îäíî ñâîéñòâî: Ïðåäåë ñëîæíîé ôóíêöèè.4Ëåììà 2.1. Åñëè ∃ ïðåäåë y = lim f (P ); y âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(Φ) ⊂ Rm , è åñëèP →Aôóíêöèÿ Φ íåïðåðûâíà â òî÷êåy , òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim Φ(f (P )) = Φ(y).P →AÄîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Ak ∈ D(f ), Ak 6= A, Ak → A, òî f (Ak ) → y =⇒ Φ(f (Ak )) →Φ(y).Ñëåäñòâèå 2.1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå P , y = f (P ) âíóòðåííÿÿòî÷êà D(Φ) ⊂ Rm , è ôóíêöèÿ Φ íåïðåðûâíà â òî÷êå y , òî ôóíêöèÿ Φ◦f íåïðåðûâíàâ òî÷êå P .Îïðåäåëåíèå 2.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
